逆向思維訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的運(yùn)用分析

逆向思維訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的運(yùn)用分析

摘要：正所謂“反其華還就實(shí)，反其偽還就真”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用逆向思維訓(xùn)練，不僅可以提高學(xué)生治學(xué)的興趣，更可以活躍解題思維、縮短解題時(shí)間。本文探討了初中數(shù)學(xué)逆向思維的訓(xùn)練方法，并根據(jù)實(shí)際例題，講解了逆向思維教學(xué)的實(shí)際運(yùn)用策略。Keys：逆向思維；初中數(shù)學(xué)；思維訓(xùn)練引言2019年教育部頒布了《關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》，意見中指出初中學(xué)業(yè)水平考試命題應(yīng)該注重學(xué)生“思維過程、創(chuàng)新意識和分析問題、解決問題的能力”以及“提高探究性、開放性、綜合性試題比例”[1]。考試命題的變化，顯示出初中教育在提升學(xué)生思維和實(shí)踐能力方面的新要求。二、初中數(shù)學(xué)逆向思維教育的基本概述數(shù)學(xué)思維是人類個(gè)體運(yùn)用特定的邏輯方式認(rèn)識數(shù)學(xué)規(guī)律和其本質(zhì)特征的一種思維活動(dòng)，它屬于一般思維規(guī)律的范疇，有正向思維和逆向思維兩種。正向思維即按照現(xiàn)有條件和認(rèn)知規(guī)律，去分析、處理和解決問題的過程；而逆向思維則是與正向思維相對應(yīng)的一種思維方式，它是從反面對問題進(jìn)行思考、分析與解決的思維方式。[2]相比小學(xué)生，初中學(xué)生生理和心理發(fā)展迅速，已經(jīng)有了獨(dú)立思考與實(shí)踐的能力與訴求。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的逆向思維培育價(jià)值有：①加強(qiáng)思維訓(xùn)練，正向思維和逆向思維交叉運(yùn)用，拓寬邏輯視野。②反向推論認(rèn)證，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律與定理理解，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。三、逆向思維訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的主要運(yùn)用策略與實(shí)例分析——以九年級數(shù)學(xué)教學(xué)為例對比其他的學(xué)科，數(shù)學(xué)不論在概念定理的論述，還是在分析問題、解題邏輯和題目設(shè)置背景上都更加抽象。鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用逆向思維思考與學(xué)習(xí)，首先應(yīng)該運(yùn)用多種授課策略，激發(fā)學(xué)生形象思維，培養(yǎng)其多角度思考問題的習(xí)慣。當(dāng)前適宜初中數(shù)學(xué)逆向思維訓(xùn)練教學(xué)的方法主要有：公式法則與定義的逆向反推1.培育原則：鼓勵(lì)反向推導(dǎo)。初中數(shù)學(xué)的課程教學(xué)，已經(jīng)開始由簡單的數(shù)字算法向數(shù)學(xué)應(yīng)用轉(zhuǎn)變，教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)不是簡單地要求學(xué)生會(huì)算題；而是具備在繁多的公式法則中，能選取合適法則為我所用，實(shí)現(xiàn)靈活而效率地解決問題。這就需要教師鼓勵(lì)學(xué)生多多質(zhì)疑，凡事都要問個(gè)問什么。改變原有機(jī)械性地背誦公式法則與定義，不如直接以逆向思維先將其否定，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)，從而確定其準(zhǔn)確性。以人教版九年級數(shù)學(xué)下冊的《反比例函數(shù)》和《相似三角形》兩節(jié)內(nèi)容為例，設(shè)置逆向反推如下：例1：如果y是x的反比例函數(shù)，那么x也是y的反比例函數(shù)嗎？請理解反比例函數(shù)的定義加以解釋？例2：解釋相似三角形判定定理：“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，構(gòu)成三角形與原三角形相似”。2.例題解析：簡單設(shè)置反推。初中數(shù)學(xué)法則與定義的教學(xué)，要求反推求證設(shè)置環(huán)節(jié)宜簡潔而明晰，應(yīng)以最直觀的求證過程，加深學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容的印象。例1中，首先回顧反比例函數(shù)的定義：“如果兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示成(k為常數(shù)，k≠0，x≠0），則稱y是x的反比例函數(shù)”。假設(shè)如果y是x的反比例函數(shù)，而x不是y的反比例函數(shù)。則：關(guān)系存在，但關(guān)系不存在，這顯然是錯(cuò)誤的。因此反比例函數(shù)x和y之間是互為反比例函數(shù)的。僅用一步推導(dǎo)，結(jié)果就十分明了。同理在例2中，假設(shè)平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的兩個(gè)三角形不相似。如圖3-1（1）所示，直線DE//BC，假設(shè)△ADE和△ABC不相似，由于DE//BC，則同位角∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,兩個(gè)三角形有共同∠A，則△ADE和△ABC三個(gè)角分別相等，則三個(gè)角都相等的三角形為相似三角形，假定為錯(cuò)誤。圖3-1相似三角形判定定理反證法在課題解析中的運(yùn)用1.量化驗(yàn)算反證法。運(yùn)用逆向思維去反推定理的正確性，本質(zhì)是由已學(xué)的定理規(guī)則去判定新的知識。學(xué)生在逆向推導(dǎo)的過程中，容易陷入不斷證明定理的誤區(qū)。例2中，需要用“三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形相似”去反證“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，則兩三角形平行”，好像證明力度不夠。此時(shí)教師就可以將反證法拆解為量化計(jì)算，待學(xué)生掌握更多數(shù)學(xué)知識后重新回顧，則反證結(jié)果更為直觀。此題就可以運(yùn)用反證法和三角函數(shù)相關(guān)知識。例3：運(yùn)用三角函數(shù)相關(guān)知識解釋“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，構(gòu)成三角形與原三角形相似”這一定理。如圖3-1（2）所示，直線DE//BC且與△ABC相交于D和E點(diǎn)，證明△ADE和△ABC。解析：假設(shè)△ADE和△ABC不相似。因?yàn)镈E//BC，同位角∠ADE=∠ABC,自A點(diǎn)做AF⊥DE,AF=自D點(diǎn)DG⊥BC，DG=則根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)知識，sin∠ADE==sin∠ABC=，即可以證明==。而運(yùn)用三角函數(shù)面積公式=ABACsin∠BAC（推導(dǎo)過程略），=ADAEsin∠BAC，則可以推導(dǎo)出=。根據(jù)相似多邊形的定義，△ADE和△ABC三個(gè)角相等，且，則兩個(gè)為相似三角形，假設(shè)不成立。由該例題不難看出，定理的反向推導(dǎo)與反證是個(gè)復(fù)雜過程，不僅需要數(shù)據(jù)化的驗(yàn)算，必要的時(shí)候還需暫時(shí)擱置，等學(xué)生掌握新的知識，再回顧驗(yàn)算判定。2.預(yù)估結(jié)果，反證結(jié)果。在實(shí)際做題過程中，逆向思維優(yōu)勢在于不被題目條件迷惑，可以自行判定結(jié)果，再進(jìn)行反證。以人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《二次函數(shù)》課后題為例：例4：四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD互相垂直,AB＋CD＝10.當(dāng)ABCD的面積最大時(shí)，求AC與BD的長度（圖3-2）？圖3-2一元二次方程該例題是典型一元二次方程應(yīng)用題，,最后形成關(guān)于x（BD長度）和y（四邊形面積）的函數(shù)為：，可以用求根公式進(jìn)行計(jì)算。但此時(shí)應(yīng)該逆向求證大膽評估。首先，假如BD無限小接近為0.則四邊形ABCD接近于三條重合直線，面積也應(yīng)該為0.因此可以預(yù)估到y(tǒng)應(yīng)該是通過原點(diǎn)而開口向下的一段拋物線，且y=0的兩個(gè)X值中軸位置，就是y的最大值所在的位置。取，X=0或X=10，則X=5時(shí)，y的最大值為12.5。最后驗(yàn)算預(yù)判正確。（三）使用思維導(dǎo)圖鍛煉正反思維思維導(dǎo)圖是以框架脈絡(luò)的形式，可以很直觀地把問題、解決的目、解決方式和結(jié)果展現(xiàn)出來，將知識結(jié)構(gòu)串聯(lián)以方便學(xué)生理解和記憶。因此思維導(dǎo)圖不僅可以鍛煉學(xué)生分析問題、解決問題的正向思維能力，還能直接從結(jié)果出發(fā)，找到自身的弱點(diǎn)和待完善的問題，逆向找到問題所在。以九年級數(shù)學(xué)上冊《圓》為例，主要知識點(diǎn)思維導(dǎo)圖如3-3所示，并解析復(fù)習(xí)題。圖3-4有關(guān)圓的計(jì)算例5：正三角形ABC的連長為a，分別以A、B、C為圓心為半徑的圓相切于E、E、F點(diǎn)，求陰影部分面積（圖3-4）。由思維導(dǎo)圖可知，了解圓的定理與計(jì)算方法，首先需要了解圓的位置關(guān)系。該題目是圓面積和扇形面積的計(jì)算，利用思維導(dǎo)圖逆向?qū)ふ医鉀Q這類問題所需要的知識點(diǎn)只要有：圓的有關(guān)性質(zhì)、圓的位置關(guān)系、弧長、扇形面積等，利用思維導(dǎo)圖，可以從需要的結(jié)果出發(fā)，逆向串聯(lián)所涉及的知識面，這對正反雙向思維的訓(xùn)練都大有裨益。四、結(jié)語總之，學(xué)生的逆向思維能力的培育，是一個(gè)需要教師付出長期的專注與努力漫長過程。鍛煉學(xué)生的逆向思維能力，有助于提升其思維活躍度，拓寬解題思路，并在激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，強(qiáng)化其對數(shù)學(xué)基本規(guī)律的認(rèn)知。這對尊重學(xué)生個(gè)人發(fā)展、實(shí)現(xiàn)青少年創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，都有很大的助益。Reference:牛建民.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法[J].課外閱讀（中下），2012（17）：22-24.覃錫余.中學(xué)生數(shù)學(xué)逆向思維能力的培養(yǎng)芻議[J].數(shù)學(xué)學(xué)