測量第七章測量誤差與平差2課時

會計學1測量第七章測量誤差與平差2課時2

水準測量中，其閉合路線的高差總和往往不等于零;用經緯儀觀測同一個水平角，上下半測回的角值完全相同;同一段距離往返丈量的結果也不一定相等。這些差異現(xiàn)象的存在，表明測量觀測值中含有誤差。測量誤差及其來源測量誤差的分類及處理偶然誤差的特新衡量精度的指標誤差傳播定律授

課

內

容第1頁/共56頁3一、測量誤差及其來源1、誤差(error)定義：觀測值與其真實值(即“真值”)之間的差異。公式：

Δi＝li－l(7-1)誤差觀測值真值第2頁/共56頁42、測量誤差的來源（或原因）觀測值中存在誤差有下列三方面原因（1）測量儀器測量儀器存在構造上的缺陷或儀器本身精密度有一定限度。例：①水準儀：CC不平行LL②經緯儀:CC不垂直HH③卷尺的尺長（2）觀測者感覺器官的鑒別能力；技術水平和工作態(tài)度。例：對中、照準和讀數（3）外界條件溫度、濕度、氣壓、風力、大氣折光等外界條件因素例：距離丈量；角度和高程測量

第3頁/共56頁53、觀測條件與精度

觀測條件相同的各次觀測，其誤差出現(xiàn)的規(guī)律相同，稱為等精度觀測（equalobservations），觀測條件不同的各次觀測稱為非等精度觀測。

觀測條件：觀測條件＝觀測者＋儀器（工具）＋外界條件

對測量誤差的準確理解 誤區(qū)：誤差越小越好，甚至為零。 正確認識：將誤差限制在滿足測量目的和要求的范圍內。極高精度的儀器和極為嚴格的方法。消耗大量的物力和人力。第4頁/共56頁6誤差不可避免，則學習誤差知識的目的：確定最可靠值；評定測量精度；確定誤差限度；第5頁/共56頁7二、測量誤差的分類及處理1、誤差的分類（1）系統(tǒng)誤差(systemerror) Δs（2）偶然誤差(accidenterror) Δa（3）粗差(grosserror)

Δg第6頁/共56頁8（1）系統(tǒng)誤差(systemerror)（1）概念：在相同的觀測條件下對某一未知量進行一系列觀測，若誤差在大小或符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律變化，或者為某一常數。例：量距；水準；角度；（2）來源：①儀器自身的缺陷②觀測者的習慣③外界條件（3）特點：積累性——對測量結果影響較大（4）處理方法：①用計算的方法加以改正②用一定的測量方法中以消除③校正儀器第7頁/共56頁9系統(tǒng)誤差舉例30m的鋼尺，經鑒定其實際長度為30.005m，則用該尺每丈量一整尺就有+5mm的誤差，隨尺段數成比例地增加，并保持其符號不變。水準儀因視線與水準管不平行而引起的水準尺讀數誤差，它與視線長度成正比而符號不變。經緯儀因視準軸與橫軸不垂直而引起的方向誤差，它隨視線豎直角的大小而變，但符號不變。第8頁/共56頁10（2）偶然誤差（accidenterror）定義：在一定的觀測條件下進行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號均呈現(xiàn)偶然性；即從表面現(xiàn)象看，誤差的大小和符號沒有規(guī)律性。偶然誤差又稱為“真誤差”。產生原因：觀測者感官能力系限制、不可估量因素特點：

①不可避免②具有統(tǒng)計規(guī)律③多次觀測取平均可以削弱其影響第9頁/共56頁11偶然誤差舉例水平角度測量中照準目標時，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一樣。水準測量或鋼尺量距中估讀毫米位時，可能偏大也可能偏小，其大小也不一樣。

注意：偶然誤差的出現(xiàn)是不可避免的，其出現(xiàn)純屬偶然性質，其大小和符號也無法預知。但是在相同的觀測條件下，進行重復觀測所出現(xiàn)的大量偶然誤差，卻存在著一定的規(guī)律。第10頁/共56頁12比較：系統(tǒng)誤差與偶然誤差1、偶然誤差大小與符號，無法預知，在發(fā)生之前不存在；

2、系統(tǒng)誤差只要觀測條件不變，它的一些規(guī)律是可以重現(xiàn)的；

3、偶然誤差表面無規(guī)律，個體無規(guī)律，但群體服從統(tǒng)計規(guī)律。第11頁/共56頁13（3）粗差（grosserror）

定義：超出正常觀測條件所出現(xiàn)的、且數值超出規(guī)定的誤差。－－測量中的錯誤 特征：

1）一種大量級的觀測誤差；

2）粗差包括測量過程中各種失誤引起的誤差；

3）含有粗差的觀測值都不能使用，該觀測值必須舍棄并重測。 處理方法：

1）進行必要的重復觀測；

2）增加“多余”的觀測約束條件；

3）嚴格遵守相關測量規(guī)范。第12頁/共56頁14必要提示觀測量含有粗差時，須經過一定的方法探測并糾正、或返工重測。觀測量含有系統(tǒng)誤差時，可通過一定的數學模型來修正，如鋼尺尺長改正，測距儀的加常數/乘常數改正、和氣象改正等。而進一步的測量誤差分析與處理僅針對偶然誤差。第13頁/共56頁15實例：觀測誤差對模型參數確定的影響理論模型第14頁/共56頁16觀測點位存在偶然誤差時，參數求解結果理論模型含偶然誤差的點位求得的模型求解出的參數：a=10.2b=4.9第15頁/共56頁17理論模型含誤差的點位求得的模型求解出的參數：a=13b=9.8觀測點位存在粗差時，參數求解結果含粗差點位第16頁/共56頁18（4）總觀測誤差Δ＝Δg+Δs+Δa(7-2)規(guī)范規(guī)定：

1）測量儀器在使用前應進行檢驗和校正；

2）操作時應該嚴格按照規(guī)范的要求進行；

3）應有一定的多余觀測量（形成檢核條件）；總觀測誤差中Δs和Δg可以被消除或削弱到很小，此時，可以認為Δ

＝Δa，以后凡是提到誤差，通常指偶然誤差（或真誤差）。第17頁/共56頁19三、偶然誤差特性

從單個偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和大小沒有一定的規(guī)律性，但對大量的偶然誤差進行統(tǒng)計分析，就能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性，誤差個數愈多，規(guī)律性愈明顯。

下面，我們從一個實例——多個三角形內角和的誤差——來看偶然誤差的特性。

第18頁/共56頁20觀測實例觀測值：三角形內角和L真值：任一三角形內角和的真值X為180°aibici第19頁/共56頁21三角形內角和真誤差統(tǒng)計表（1）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差個數多；（2）絕對值相等的正負誤差的個數大致相等；（3）最大誤差不超過24″。第20頁/共56頁22偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律－－頻率直方圖橫坐標：x＝d縱坐標：y＝(k/n)/d1有限性一定觀測條件下的有限觀測中，誤差的絕對值不超過一定限值。2密集性絕對值小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的頻率小。3對稱性絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的頻率大致相等。4抵償性當觀測次數無限增多時，偶然誤差平均值的極限為零。偶然誤差的特點第21頁/共56頁23偶然誤差的正態(tài)分布曲線

若將觀測次數k無限增大，誤差區(qū)間（

d）無限縮，則右圖矩形頂部形成的折線就逐漸變成一條光滑曲線，此曲線稱為“誤差分布曲線?！?/p>

概率論稱為正態(tài)分布曲線

數學方程式如下：式中：是偶然誤差，σ為與條件有關的參數，數學上稱為標準差或均方差。第22頁/共56頁24由偶然誤差的補償性可知，偶然誤差的數學期望為0，則：第23頁/共56頁25

NeitherPreciseNorAccurate

PreciseButNotAccurate

PreciseandAccurate

兩個概念：Accurate

、Precise第24頁/共56頁26四、衡量精度的指標1、精度定義：對某一個量的多次觀測中，其誤差分布的密集或離散的程度。甲和乙打靶，甲平均4.5環(huán)，乙平均4.3環(huán)，滿分5環(huán)，打靶中誰的精度高？甲乙第25頁/共56頁272、衡量精度的常用指標

（1）中誤差(meansquareerror)

（2）相對中誤差(relativeerror)

（3）極限誤差（limiterror,或稱限差tolerance）第26頁/共56頁28(1)中誤差（m）

方差(Variance)是反映一組觀測值離散程度的一個數字指標。其數學定義為：中誤差(Standarddeviation)：方差的平方根測量工作中，均采用中誤差作為評定精度的標準。第27頁/共56頁29

設在相同的觀測條件下，對某量進行n次重復觀測，其觀測值為L1，L2、…，Ln，相應的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn。則觀測值的中誤差m為：式中

(7-3)——真誤差的平方和，第28頁/共56頁30

實際工作中，不可能對觀測量作無窮多次觀測，因此，只能根據有限的觀測值的真誤差求出中誤差的估值來代表觀測值的精度。在測量中常用

來表示真誤差的估值。即第29頁/共56頁31例7-1第30頁/共56頁32例7-2設有1、2兩組觀測值，各組均為等精度觀測，它們的真誤差分別為：甲組：+3″，-2″，-4″，+2″，0″，-4″，

+3″，+2″，-3″，-1″；乙組：0″，-1″，-7″，+2″，+1″，+1″，

-8″，0″，+3″，-1″；解:根據式（7-3）計算1、2兩組觀測值的中誤差為：=±2.7″

=±3.6″

比較m1和m2可知，1組的觀測精度比2組高。中誤差所代表的是某一組觀測值的精度，而不是這組觀測中某一次的觀測精度。第31頁/共56頁33第1組：±σ1第2組：±σ2-σ2+σ1+σ2f(△)△-σ1±σ1<±σ2，所以，第1組精度高III第32頁/共56頁34中誤差（m）與標準差（σ）的區(qū)別在于觀測次數n上！標準差σ表征了一組等精度觀測在n→∞時誤差分布的擴散特征，即理論上的觀測精度指標；中誤差m則是一組等精度觀測在n為有限次數時的觀測精度指標，是標準差σ的估計值。第33頁/共56頁35中誤差（m）與真誤差（Δ）的區(qū)別

中誤差m反映的是一組觀測精度的整體指標，而真誤差Δi是描述每個觀測值誤差的個體指標。在一組等精度觀測中，各觀測值具有相同的中誤差，但各個觀測值的真誤差往往不等于中誤差，且彼此也不一定相等，有時差別還比較大，這是由于真誤差具有偶然誤差特性的緣故。第34頁/共56頁36(2)極限誤差（Δ極限）和容許誤差（Δ容）偶然誤差的第一特性：在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過某一限值。誤差在[-σ,+σ]之間的概率P（-σ<Δ<+σ),就是圖7-3中陰影部分面積圖7-3第35頁/共56頁37

絕對值大于一倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為31.7%；絕對值大于二倍中誤差的偶然誤差，出現(xiàn)概率為4.5%；絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差，出現(xiàn)概率為0.3%。第36頁/共56頁38a、極限誤差的意義

絕對值大于3σ的真誤差出現(xiàn)的概率很小，因此可以認為±3σ是真誤差實際出現(xiàn)的極限。 在等精度觀測中

Δ≥1m

概率31.73％

Δ≥2m

概率4.55％

Δ≥3m

概率0.27％第37頁/共56頁39b、極限誤差（容許誤差）的設定

在實際測量中，常以2～3倍中誤差作為偶然誤差的容許值，稱為容許誤差。即：Δ容＝2mΔ容＝3m

因此，在測量規(guī)范中，為確保觀測成果的質量，通常規(guī)定以其中誤差的兩倍或三倍為偶然誤差的允許誤差或限值。當精度要求較高時，采用兩倍中誤差作為容許誤差。即Δ容

=2m或Δ容=3m超過上述限差的觀測值應舍去不用，或返工重測。

第38頁/共56頁40(3)相對誤差

中誤差是絕對誤差。在距離丈量中，中誤差不能準確地反映出觀測值的精度。例如丈量兩段距離，D1＝100m，m1＝±1cm和D2＝300m，m2＝±1cm，雖然兩者中誤差相等，m1＝m2，顯然，不能認為這兩段距離丈量精度是相同的，這時應采用相對中誤差mK來作為衡量精度的標準。第39頁/共56頁41相對誤差的意義真誤差和中誤差都是絕對誤差大小，與被測值的大小沒有建立關系，僅用這兩種精度指標顯然無法完全表達精度的水平。為了在精度指標中考慮被測值本身的大小，引入相對誤差的概念。第40頁/共56頁42b.定義 誤差Δ的絕對值與相應觀測值D的比值。當Δ為中誤差m時，K為相對中誤差實際距離丈量中的相對真誤差（相對誤差）第41頁/共56頁43

相對中誤差是中誤差的絕對值與觀測值的比值，為一無量綱數。通常用分子為1，分母為整數的分數形式表示。在上面所舉例中：前者的精度比后者高。第42頁/共56頁44五、誤差傳播定律

在測量工作中，有些未知量往往不能直接測得，而需要由其它的直接觀測值按一定的函數關系計算出來。由于獨立觀測值存在誤差，導致其函數也必然存在誤差，這種關系稱為誤差傳播。闡述觀測值中誤差與觀測值函數中誤差之間關系的定律稱為誤差傳播定律。第43頁/共56頁451、線性函數的中誤差設線性函數式中

k1、k2——常數；x、y——獨立直接觀測值。

設獨立直接觀測值x、y相應的中誤差為mx、my，函數Z的中誤差為mZ。當觀測值x、y中分別含有真誤差?x、?y時，函數Z產生真誤差?z，即（a）（b）第44頁/共56頁46式（a）減式（b），得：設對x、y

各獨立觀測了n