彈性力學(xué)變分原理

會計學(xué)1彈性力學(xué)變分原理問題的引入彈性力學(xué)問題的兩種基本解法1、建立偏微分方程邊界條件（直接法）2、建立變分方程（泛函的極值條件）優(yōu)點：最終可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題，化為代數(shù)方程，為近似解的尋求提供方便。也是數(shù)值方法的理論基礎(chǔ)。兩種方法具有等價性,且力學(xué)問題中的泛函多為能量,是標量,應(yīng)用方便。第1頁/共83頁§11—1

變分法的預(yù)備知識數(shù)學(xué)上的變分法：求解泛函的極值方法彈性力學(xué)中的變分法：以能量為泛函，求能量泛函的極值方法，又稱能量法。嚴格地，能量法與變分法不盡相同，變分法含義更廣。第2頁/共83頁關(guān)于變分法的若干基本概念：一、函數(shù)與泛函1、函數(shù)函數(shù)是實數(shù)空間到實數(shù)空間的映射2、泛函是函數(shù)空間到實數(shù)空間的映射第3頁/共83頁例：設(shè)ｘｙ面內(nèi)有給定的兩點Ａ和Ｂ，如圖所示，連接這兩點的任一曲線的長度為第4頁/共83頁

顯然長度L依賴于曲線的形狀，也就是依賴于函數(shù)y(x)的形式。因此，長度Ｌ就是函數(shù)y(x)的泛函。在一般的情況下，泛函具有如下的形式第5頁/共83頁二、函數(shù)的微分與變分1、自變量的微分dx2、函數(shù)的微分3、函數(shù)的變分第6頁/共83頁第7頁/共83頁注意到：與(*)式比較，可見：即：結(jié)論：導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)，或變分記號與求導(dǎo)記號可以互換。第8頁/共83頁三、泛函的變分一般情況下，泛函可寫為：1、按照泰勒級數(shù)展開法則，被積函數(shù)f的增量可以寫成上式中,右邊的前兩項是f的增量的主部，定義為f的一階變分，表示為第9頁/共83頁2、再考察定義:泛函I的變分第10頁/共83頁結(jié)論：變分運算和積分運算可以交換次序與上式比較，可得：第11頁/共83頁四、泛函的駐值與極值1、函數(shù)的駐值和極值如果函數(shù)y(x)在x＝x0的鄰近任一點上的值都不大于或都不小于y(x0)，即

y(x)－y(x0)≤０或≥０則稱函數(shù)y(x)在x＝x０處達到極大值或極小值。極值的必要條件為第12頁/共83頁極值必是駐值，但駐值不一定是極值。取極值的必要條件為，其充分條件由二階導(dǎo)數(shù)來判定第13頁/共83頁2、泛函的駐值和極值第14頁/共83頁其中：五、歐拉方程與自然邊界條件第15頁/共83頁因為取駐值，所以第16頁/共83頁為歐拉方程，可見上述泛函的駐值問題等同于歐拉微分方程邊值問題的解。如果問題是：第17頁/共83頁自變函數(shù)事先滿足的邊界條件稱為本質(zhì)邊界條件。第18頁/共83頁§11—2應(yīng)變能與余應(yīng)變能1.應(yīng)變能:物體因變形儲存的能量。功和能的關(guān)系：可逆過程外力做功動能、應(yīng)變能不可逆過程熱能、聲能第19頁/共83頁在彈性力學(xué)中，僅研究可逆過程。對于靜力學(xué)問題，認為外荷載對彈性體所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的應(yīng)變能，并貯存于彈性體內(nèi)。若卸去外荷載，彈性體將釋放出全部的應(yīng)變能，并恢復(fù)其未受載時的初始狀態(tài)。第20頁/共83頁分析：從A狀態(tài)到B狀態(tài)外荷載做功的增量：彈性體應(yīng)變能增量:對于彈性靜力學(xué)問題，根據(jù)熱力學(xué)第一定律：第21頁/共83頁微元體在某一應(yīng)變狀態(tài)獲得的應(yīng)變能增量為其中，為彈性體變形過程中的位移增量。利用高斯公式得：第22頁/共83頁考慮到應(yīng)力張量的對稱性，有第23頁/共83頁定義：單位體積彈性體的應(yīng)變能(或稱應(yīng)變能密度)為與前式有：得比較第24頁/共83頁比較:此式稱為格林(Green)公式，它適用于一般材料，不局限于線彈性材料。由于彈性體的應(yīng)變能由其變形狀態(tài)唯一確定，它是狀態(tài)函數(shù)，與變形過程無關(guān)，故有第25頁/共83頁在狀態(tài)

的應(yīng)變能密度為

、為0~、的某個中間狀態(tài)。第26頁/共83頁

彈性體應(yīng)變能是狀態(tài)函數(shù)，故上式積分與路徑無關(guān)。對于線性問題，可假設(shè)在變形過程中應(yīng)力、應(yīng)變分量等比例增長。第27頁/共83頁2.余應(yīng)變能、余應(yīng)變能密度對于單向拉伸問題應(yīng)變能密度為引入另一標量函數(shù)：即余應(yīng)變能密度。余應(yīng)變能第28頁/共83頁一般地，應(yīng)變能密度和余應(yīng)變能密度滿足關(guān)系對于線彈性體第29頁/共83頁§11—3廣義虛功原理1、真實位移、真實應(yīng)力和真實應(yīng)變即幾何連續(xù)條件第30頁/共83頁即平衡條件它們構(gòu)成彈性力學(xué)問題的解。第31頁/共83頁2、容許位移、容許應(yīng)變第32頁/共83頁

只對應(yīng)于一個連續(xù)的位移場，但不一定對應(yīng)于一個平衡的應(yīng)力狀態(tài)，即與對應(yīng)的應(yīng)力不一定滿足平衡條件；而真實位移必對應(yīng)一個平衡的應(yīng)力狀態(tài)。容許位移和應(yīng)變不一定是真實的位移和應(yīng)變。但反之，真實的位移和應(yīng)變必然是容許的。比較第33頁/共83頁3、容許應(yīng)力第34頁/共83頁比較與容許應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變與位移不一定滿足協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件，不保證物體內(nèi)部存在單值連續(xù)的位移場，但真實應(yīng)力對應(yīng)于單值連續(xù)的位移場。容許應(yīng)力不一定是真實的應(yīng)力。但反之，真實的應(yīng)力必然是容許的。第35頁/共83頁4、虛位移、虛應(yīng)變彈性體平衡位置附近，幾何約束條件容許的微小位移，記為第36頁/共83頁5、虛應(yīng)力彈性體平衡位置附近，平衡條件所容許的微小應(yīng)力狀態(tài).但在位移邊界上引起一個容許的面力第37頁/共83頁6、廣義虛功原理外力在容許位移上所做的功等于容許應(yīng)力在與該容許位移相應(yīng)的容許應(yīng)變上所做的功。簡述為，外力虛功等于內(nèi)力虛功。第38頁/共83頁證明：移項后

第39頁/共83頁說明：1、證明中，涉及到平衡、幾何方程，并未涉及到物理方程。故在小變形及連續(xù)性條件下，適用于任何材料。2、容許應(yīng)力與容許位移、容許應(yīng)變可以是同一彈性體中不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，彼此獨立。3、（a）平衡條件、（b）幾何條件、（c）廣義虛功方程三者間得關(guān)系由其中任兩個條件可得第三個。第40頁/共83頁由（b）、（c)(a)

表述為：若有一組內(nèi)外力，對于任意容許位移和相應(yīng)的容許應(yīng)變，使廣義虛功原理成立，則這組內(nèi)外力是平衡的。證明：因為廣義虛功原理第41頁/共83頁第42頁/共83頁由（a）、（c)(b)

表述為：若有一組位移和應(yīng)變，對于任意容許應(yīng)力，使廣義虛功原理成立，則這組位移和應(yīng)變是可能的。關(guān)系：平衡條件幾何條件平衡條件幾何條件廣義虛功原理第43頁/共83頁7、虛位移原理第44頁/共83頁由廣義虛功原理：并取第45頁/共83頁虛位移原理外力虛功=內(nèi)力虛功即為：或稱：虛位移原理平衡方程＋應(yīng)力邊界條件第46頁/共83頁8、虛應(yīng)力原理由廣義虛功原理：第47頁/共83頁由廣義虛功原理：外余虛功=內(nèi)余虛功第48頁/共83頁表明在已知位移的邊界上，虛面力在真實位移上作的功，等于整個彈性體的虛應(yīng)力在真實應(yīng)變上作的功。即虛應(yīng)力原理。虛應(yīng)力原理幾何方程＋位移邊界條件第49頁/共83頁9、功的互等定理

廣義虛功方程應(yīng)用于同一彈性體兩種不同受力和變形狀態(tài)下的解答。第50頁/共83頁若取第一種應(yīng)力，第二種位移和應(yīng)變，則：若取第二種應(yīng)力，第一種位移和應(yīng)變，則：故有：第51頁/共83頁注意：(1)功的互等定理僅適用于線彈性體(2)可進一步得到位移互等、反力互等定理。第52頁/共83頁§11－4最小勢能原理、位移變分方程虛位移原理稱為位移變分方程，也稱lagrange變分方程。第53頁/共83頁表示：彈性體應(yīng)變能的變分等于外力的虛功。另：外力大小和方向在過程中不變。因為微小第54頁/共83頁對于線彈性體：

由此可見，在滿足幾何條件的所有可能的位移中，實際存在的位移使總勢能變分為零，即：使總勢能取駐值。進一步可以證明，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，，這個駐值為極小值。又解具有唯一性，由此可以導(dǎo)出：第55頁/共83頁最小勢能原理：在所有變形可能的位移中，實際存在的位移使總勢能取最小值。它等價于平衡方程和應(yīng)力邊界條件。證明如下：第56頁/共83頁必要性也成立。所以變分問題的歐拉方程為，自然邊界條件為應(yīng)力邊界條件。第57頁/共83頁證明是極小值對于線彈性體，其總勢能為第58頁/共83頁又：第59頁/共83頁對于穩(wěn)定平衡，應(yīng)力存在變分由：而：得：所以第60頁/共83頁§11－5最小余能原理、應(yīng)力變分方程1、在第二節(jié)已經(jīng)證明了同樣，可以證明第61頁/共83頁第62頁/共83頁2、由虛應(yīng)力原理即應(yīng)力變分方程第63頁/共83頁3、由于是邊界Ｓu上給定的已知函數(shù)，所以右端項中變分可以移到積分號前面，并記

由此可見，在所有靜力可能的應(yīng)力中，實際存在的應(yīng)力使彈性體的總余能取駐值，進一步可以證明，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個駐值為極小值。又解具有唯一性，由此可以導(dǎo)出最小余能原理：在所有靜力可能的應(yīng)力中，實際存在的應(yīng)力使彈性體的總余能取最小值。

得到:彈性體總余能第64頁/共83頁證明：最小余能原理等價于幾何方程和位移邊界條件。第65頁/共83頁反之，必要性也成立

變分問題的歐拉方程為幾何方程，自然邊界條件為位移邊界條件。第66頁/共83頁§11－8基于最小勢能原理的近似計算基于最小勢能原理，如果能夠列出所有變形可能的位移，其中使總勢能取最小值的那個位移，就是真實的位移。問題在于：我們不可能列出所有變形可能的位移，一般只能選其中的一組，故解具有近似性。但：如果事先給出的變形可能位移中含有真解的形式，則一定可以求出真解。第67頁/共83頁1.Ritz法不失一般性,設(shè)可能位移為上式所示的位移總能滿足位移邊界條件

第68頁/共83頁求位移的問題求系數(shù)Ａm,Ｂm,Ｃm其中,含有應(yīng)變能和位移的變分,如何實現(xiàn)?第69頁/共83頁代入,有:第70頁/共83頁m＝１，２，３，…關(guān)于Ａm,Ｂm,Ｃm的3m個線性代數(shù)方程組

第71頁/共83頁2.伽遼金法

由:得到:第72頁/共83頁如果選擇的位移不僅滿足位移邊界條件，而且還滿足應(yīng)力邊界條件，則上式成為第73頁/共83頁關(guān)于Ａm,Ｂm,Ｃm的3m個線性代數(shù)方程組

得到:第74頁/共83頁例1.求簡支梁的撓曲線滿足端點基本邊界條件:分析:關(guān)鍵是求J的表達式,設(shè):w(０)＝０，w(l）＝０第75頁/共83頁由最小勢能原理δＪ＝０，得到:代入:所以有:第76頁