層次分析法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

會(huì)計(jì)學(xué)1層次分析法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用層次分析法建模一問題的提出例1購物買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價(jià)格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。買飯，則要依據(jù)色、香、味、價(jià)格等方面的因素選擇某種飯菜。

決策是指在面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。第1頁/共64頁

假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會(huì)依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個(gè)地方。例2旅游例3擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。第2頁/共64頁

由于經(jīng)費(fèi)等因素，有時(shí)不能同時(shí)開展幾個(gè)課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價(jià)值、理論價(jià)值、被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題。

面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評(píng)價(jià)、最后作出決策。這個(gè)過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問題帶來不便。T.L.saaty等人在20世紀(jì)七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實(shí)用方法。例4科研課題的選擇第3頁/共64頁

層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。過去研究自然和社會(huì)現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。第4頁/共64頁層次分析法的基本思路：與人們對(duì)某一復(fù)雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4將各個(gè)鋼筆的質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆第5頁/共64頁二層次分析法的基本步驟1建立層次結(jié)構(gòu)模型一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。例1購買鋼筆的層次結(jié)構(gòu)模型

準(zhǔn)則層方案層目標(biāo)層第6頁/共64頁例2旅游地選擇層次結(jié)構(gòu)模型

準(zhǔn)則層A

方案層B目標(biāo)層Z若上層的每個(gè)因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。第7頁/共64頁2構(gòu)造成對(duì)比較矩陣設(shè)某層有個(gè)因素，要比較它們對(duì)上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定在該層中相對(duì)于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把個(gè)因素對(duì)上層某一目標(biāo)的影響程度排序）上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時(shí)常取1~9尺度。第8頁/共64頁2構(gòu)造成對(duì)比較矩陣用表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的比較結(jié)果，則則稱為成對(duì)比較矩陣。第9頁/共64頁１３５７９尺度第個(gè)因素與第個(gè)因素的影響相同第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響稍強(qiáng)第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響強(qiáng)第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響明顯強(qiáng)第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響絕對(duì)地強(qiáng)含義比較尺度：（1~9尺度的含義）2,4,6,8表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的影響介于上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。第10頁/共64頁由上述定義知，成對(duì)比較矩陣則稱為正互反陣。比如，例2的旅游問題中，第二層A的各因素對(duì)目標(biāo)層Z的影響兩兩比較結(jié)果如下：滿足以下性質(zhì)ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。第11頁/共64頁由上表，可得成對(duì)比較矩陣問題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對(duì)上層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？旅游問題的成對(duì)比較矩陣共有6個(gè)（一個(gè)5階，5個(gè)3階）。第12頁/共64頁3層次單排序及一致性檢驗(yàn)層次單排序：確定下層各因素對(duì)上層某因素影響程度的過程。用權(quán)值表示影響程度，先從一個(gè)簡單的例子看如何確定權(quán)值。例如一塊石頭重量記為1，打碎分成各小塊，各塊的重量分別記為：則可得成對(duì)比較矩陣由右面矩陣可以看出，第13頁/共64頁即，但在例2的成對(duì)比較矩陣中，在正互反矩陣中，若,則稱為一致陣。一致陣的性質(zhì)：5.的任一列(行)都是對(duì)應(yīng)于特征根的特征向量。第14頁/共64頁若成對(duì)比較矩陣是一致陣，則我們自然會(huì)取對(duì)應(yīng)于最大特征根的歸一化特征向量，且定理：階正互反陣的最大特征根，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為一致陣。表示下層第個(gè)因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)值。若成對(duì)比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大特征根對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量，則（為什么？）這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法.由于連續(xù)的依賴于，則比大得越多，的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為被比較因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用數(shù)值的大小來衡量的不一致程度。定義一致性指標(biāo)其中為的對(duì)角線元素之和，也為的特征根之和。第16頁/共64頁則可得一致性指標(biāo)定義隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比較矩陣隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的數(shù)值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第17頁/共64頁一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率<0.1及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。

一般，當(dāng)一致性比率的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，對(duì)加以調(diào)整。時(shí)，認(rèn)為第18頁/共64頁4層次總排序及其一致性檢驗(yàn)

確定某層所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序權(quán)值過程，稱為層次總排序從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)：對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)榈膶哟螁闻判驗(yàn)榈?9頁/共64頁即層第個(gè)因素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：層的層次總排序?yàn)椋旱?0頁/共64頁B層的層次總排序AB即層第個(gè)因素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：第21頁/共64頁層次總排序的一致性檢驗(yàn)設(shè)層對(duì)上層(層)中因素的層次單排序一致性指標(biāo)為，隨機(jī)一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當(dāng)時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗(yàn)。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。第22頁/共64頁1.建立層次結(jié)構(gòu)模型該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)2.構(gòu)造成對(duì)比較矩陣從第二層開始用成對(duì)比較矩陣和1~9尺度。對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣。第23頁/共64頁計(jì)算最下層對(duì)最上層總排序的權(quán)向量。4.計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對(duì)比較矩陣。利用總排序一致性比率第24頁/共64頁層次分析法建模舉例

一、旅游問題

(1)建模分別分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。第25頁/共64頁（2）構(gòu)造成對(duì)比較矩陣第26頁/共64頁(3)計(jì)算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣的最大特征值表明通過了一致性驗(yàn)證。故則該特征值對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量第27頁/共64頁

對(duì)成對(duì)比較矩陣可以求層次總排序的權(quán)向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，結(jié)果如下：計(jì)算可知通過一致性檢驗(yàn)。第28頁/共64頁對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：（4）計(jì)算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗(yàn)又決策層對(duì)總目標(biāo)的權(quán)向量為：同理得，對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值分別為：故，層次總排序通過一致性檢驗(yàn)。第29頁/共64頁可作為最后的決策依據(jù)。故最后的決策應(yīng)為去桂林。又分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權(quán)重排序?yàn)榈?0頁/共64頁

某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要由領(lǐng)導(dǎo)決定如何利用?？晒┻x擇的方案有：以獎(jiǎng)金名義發(fā)給職工；擴(kuò)建集體福利設(shè)施；購進(jìn)新設(shè)備等。為了進(jìn)一步促進(jìn)企業(yè)發(fā)展，比如調(diào)動(dòng)職工的積極性、提高企業(yè)的技術(shù)水平、引進(jìn)新設(shè)備等。如何合理使用這筆利潤。2合理分配資金問題

第31頁/共64頁合理分配資金問題層次結(jié)構(gòu)模型合理利用企業(yè)利潤Z調(diào)動(dòng)職工的積極性C1提高企業(yè)的技術(shù)水平C2改善職工的生活條件C3

發(fā)獎(jiǎng)金P1

擴(kuò)建福利事業(yè)P2

引進(jìn)新設(shè)備P3

第32頁/共64頁2求解Z-C矩陣ZC1C2C3WC1C2C311/51/351331/310.1050.6370.258CIRICR3.0380.0190.580.0033<0.1OK第33頁/共64頁C-P矩陣C1P1P2

WP1P2131/310.750.25CI1RI200OKC2P2P3

WP2P311/5510.1670.833CI2RI200OK{0.75,0.25,0}{0,0.167,0.833}第34頁/共64頁C3P1P2

WP1P2121/210.6670.333CI3RI200OK{0.667,0.333,0}第35頁/共64頁Z-P矩陣ZPC1C2C30.1050.6370.258總排序權(quán)值P1P2P30.7500.6670.250.1670.33300.83300.2510.2180.531CIRICR0.105CI1+0.637CI2+0.258CI3=000<0.1OK{0.251,0.218,0.531}P3>P1>P2第36頁/共64頁1系統(tǒng)性

層次分析法把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。2實(shí)用性層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實(shí)際問題，應(yīng)用范圍很廣，同時(shí)，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。四層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性第37頁/共64頁3簡潔性具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計(jì)算也非常簡便，并且所得結(jié)果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一只能從原有的方案中優(yōu)選一個(gè)出來，沒有辦法得出更好的新方案。第38頁/共64頁第二該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計(jì)算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。第三從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對(duì)比較矩陣，人主觀因素對(duì)整個(gè)過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑。思考：多名專家的綜合決策問題第39頁/共64頁正互反陣的最大特征值是大與零的嗎？有幾個(gè)？它對(duì)應(yīng)的特征向量各分量是正的嗎？五正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法

成對(duì)比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對(duì)它的精確計(jì)算是沒有必要的。尋找簡便的近似方法。

用定義計(jì)算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時(shí)。第40頁/共64頁定理對(duì)于正矩陣A

（A的所有元素為正）1）A的最大特征根為正單根；2）對(duì)應(yīng)正特征向量w（w的所有分量為正）；3）其中是對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量。第41頁/共64頁1冪法步驟如下a)任取n維歸一化初始向量b)

計(jì)算c)歸一化，即令第42頁/共64頁d)

對(duì)于預(yù)先給定的精度，當(dāng)下式成立時(shí)即為所求的特征向量；否則返回b；e)計(jì)算最大特征值這是求特征根對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法，其收斂性由定理的3）保證。第43頁/共64頁2和法步驟如下a)將A的每一列向量歸一化得b)

對(duì)c)歸一化按行求和得d)計(jì)算第44頁/共64頁3根法步驟與和法基本相同，只是將步驟b改為對(duì)按行求積并開n次方，即三方法中，和法最為簡便?？聪铝欣?。e)計(jì)算，最大特征值的近似值。第45頁/共64頁列向量歸一化求和歸一化精確計(jì)算，得第46頁/共64頁六遞階層次結(jié)構(gòu)與更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)以上層次結(jié)構(gòu)模型有兩個(gè)共同特點(diǎn)：模型所涉及的各因素可以組合為屬性基本相同的若干層次，層次內(nèi)部因素之間不存在相互影響或支配作用，或者這種影響作用可以忽略。層次之間存在自上而下、逐層傳遞的支配關(guān)系，沒有下層對(duì)上層的反饋?zhàn)饔茫驅(qū)哟伍g的循環(huán)作用。遞階層次結(jié)構(gòu)第47頁/共64頁更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)層次內(nèi)部因素之間存在相互影響。下層對(duì)上層有支配作用，形成循環(huán)，無法區(qū)分上下層。既在層次內(nèi)部因素之間存在相互影響，，又在層次間存在反饋?zhàn)饔?。要用層次分析法解決這樣的問題，還需引入新概念，并建立相應(yīng)的算法。思考第48頁/共64頁七練習(xí)ChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling2用層次分析法解決一兩個(gè)實(shí)際問題如：高考填報(bào)志愿問題，選擇職業(yè)問題，排名（排序）問題。1足球隊(duì)排名次（CUMCM）1993年B題第49頁/共64頁擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，也可直接選擇考研，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。用層次分析法，選擇適合自己的理想工作。課堂練習(xí)：第50頁/共64頁補(bǔ)充：特征值與特征向量定義：成立，則稱數(shù)為方陣的特征值（根），非零列向量