大一高數(shù)微分實用

會計學(xué)1大一高數(shù)微分實用一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時,變到邊長由其機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共24頁的微分,定義:

若函數(shù)在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共24頁說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,(4)當(dāng)故當(dāng)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共24頁定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點可微,則故在點的可導(dǎo),且在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共24頁定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點的可導(dǎo),則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共24頁二、微分的幾何意義當(dāng)很小時,則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共24頁例如,求基本初等函數(shù)的微分公式(見P136表)又如,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共24頁三、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共24頁例1.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共24頁例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.

在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.第10頁/共24頁數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如注意目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共24頁四、微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)很小時,使用原則:得近似等式:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共24頁例4.有一批半徑為1cm的球

,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共24頁的近似值.解:

設(shè)取則例5.求機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共24頁特別當(dāng)很小時,常用近似公式:很小)證明:令得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共24頁的近似值.解:例6.計算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共24頁內(nèi)容小結(jié)1.微分概念

微分的定義及幾何意義

可導(dǎo)可微2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計算估計誤差*機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共24頁思考題機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共24頁思考題解答說法不對.

從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共24頁導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:★機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共24頁練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點處的及并說明其正負(fù).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共24頁2.機(jī)動目錄