八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 矩形的判定 華東師大

會(huì)計(jì)學(xué)1八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)矩形的判定華東師大復(fù)習(xí)回顧四邊形平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行一個(gè)角是直角∟矩形四邊形集合平行四邊形集合矩形集合定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。第1頁/共22頁邊對(duì)角線角ABCDO矩形的性質(zhì)：矩形對(duì)邊平行且相等；矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線相等且平分；直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

第2頁/共22頁四邊形ABCD是矩形若已知AB=8㎝，AD=6㎝，則AC＝㎝OB=㎝若已知∠CAB=40°，則∠OCB=∠OBA=∠AOB=∠AOD=若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，則矩形的周長＝㎝矩形的面積＝㎝24若已知∠DOC=120°，AD＝6㎝，則AC=㎝ODCBA550°10100°40°12482880°試一試第3頁/共22頁試一試DCBA┓已知△ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠，BD是斜邊AC上的中線若BD=3㎝則AC＝㎝2若∠C=30°，AB＝5㎝，則AC＝㎝，

BD＝㎝，∠BDC＝6510120°第4頁/共22頁你知道如何判定一個(gè)平行四邊形是矩形嗎？矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.你還有其它的判定方法嗎？ABCD∠A=900四邊形ABCD是矩形第5頁/共22頁情境一：工人師傅為了檢驗(yàn)兩組對(duì)邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線長度，如果對(duì)角線長相等，則窗框一定是矩形，你知道為什么嗎？猜想：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.第6頁/共22頁命題：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。已知：平行四邊形ABCD，AC=BD.求證：四邊形ABCD是矩形.ABCD證明:

∵AB=CD,BC=BC,AC=BD∴△ABC≌△DCB（SSS）∵

AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°

∴∠ABC=∠DCB=90°

又∵四邊形ABCD是平行四邊形∴四邊形ABCD是矩形∴

∠ABC=∠DCB第7頁/共22頁對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.矩形的判定方法：幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形

AC=BD∴四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.）ABCDO（或OA=OC=OB=OD）第8頁/共22頁例3：已知，如圖．矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是矩形．證明 ∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD（矩形的對(duì)角相等），AO＝BO＝CO＝DO（矩形的對(duì)角線互相平分）.∵E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO的中點(diǎn)，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．∵EO＋OG＝FO＋OH，即EG＝FH，∴四邊形EFGH是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）．第9頁/共22頁情境一：李芳同學(xué)有“邊——直角、邊——直角、邊——直角、邊”這樣四步，畫出了一個(gè)四邊形，她說這就是一個(gè)矩形，她的判斷對(duì)嗎？為什么？猜想：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。你能證明上述結(jié)論嗎？提示：用“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”去證第10頁/共22頁矩形的判定方法：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.ABCD

∵∠A=∠B=∠C=90°∴四邊形ABCD是矩形幾何語言：第11頁/共22頁你能歸納矩形的幾種判定方法嗎？有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.方法1：方法2：方法3：第12頁/共22頁P(yáng)110練習(xí)1．如圖，AB、CD是⊙O的兩條直徑，四邊形ACBD是矩形嗎？證明你的結(jié)論．證明：∵AO=BO,CO=DO（圓的相等半徑）∴四邊形ABCD是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∵AB=CD(圓的直徑相等）∴四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）第13頁/共22頁2．如圖，

ABCD中，∠1=∠2.此時(shí)四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？解：∵∴AO=CO,BO=DO（平行四邊形對(duì)角線互相平分）∵∠1=∠2∴AO=BO（等角對(duì)等邊）∴AC=BD∴四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）ABCD第14頁/共22頁下列各句判定矩形的說法是否正確？（1）對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（2）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（3）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（5）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（6）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形；（7）對(duì)角線相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（10）一組鄰邊垂直，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是矩形；（9）對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是矩形；（8）一組對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形；（4）有三個(gè)角都相等的四邊形是矩形;XXXX第15頁/共22頁例4：如果平行四邊形四個(gè)內(nèi)角的平分線能夠圍成一個(gè)四邊形，那么這個(gè)四邊形是矩形．已知：如圖，

ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形EFGH為矩形．∴∠BGC=90°同理可證∠AFB=∠AED=90°∴四邊形EFGH是矩形．(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形)證明：∵AB∥CD∴∠ABC＋∠BCD=180°∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD

第16頁/共22頁小結(jié)：矩形的判定方法有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.方法1：方法2：方法3：第17頁/共22頁自我診斷1、能夠判斷一個(gè)四邊形是矩形的條件是（）A對(duì)角線相等B對(duì)角線垂直C對(duì)角線互相平分且相等D對(duì)角線垂直且相等

2、矩形的一組鄰邊長分別是3cm和4cm，則它的對(duì)角線長是

cm3、如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是∠

EAC、∠

MCA、∠

ACN、∠

CAF的角平分線，則四邊形ABCD是（）

A菱形B平行四邊形

C矩形D不能確定

C5C第18頁/共22頁P(yáng)110習(xí)題20．21．如圖，ABCD中，AB=6,BC=8,AC=10.求證四邊形ABCD是矩形.證明：∵AB=6,BC=8,AC=10且62+82=102

∴AB2+BC2=AC2∴∠B=900（勾股定理逆定理）∵ABCD是平行四邊形∴四邊形ABCD是矩形(有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形)第19頁/共22頁2.如圖，△ABC中，AB=AC,AD、AE分別是∠A與∠A的外角的平分線，BE⊥AE.求證：AB=DE.證明：∵AB=AC,AD平分∠BAC

∴AD⊥BC,∠1=∠BAC/2(等腰三角形三線合一）∵AE平分∠BAF

∴∠2=∠BAF/2

∵∠BAC+∠BAF=1800∴∠1+∠2=(∠BAC+∠BAF)/2=900∵BE⊥AE∴∠BDA=∠DAE=∠BEA=900

∴四邊形BDAE是矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）12F第20頁/共22頁