RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

會(huì)計(jì)學(xué)1RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)§9－1RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)一、RLC串聯(lián)電路的微分方程圖9－1RLC串聯(lián)二階電路

為了得到圖9－1所示RLC串聯(lián)電路的微分方程，先列出KVL方程第1頁(yè)/共42頁(yè)

根據(jù)前述方程得到以下微分方程

這是一個(gè)常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。

其特征方程為

其特征根為

零輸入響應(yīng)方程為第2頁(yè)/共42頁(yè)

電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當(dāng)R，L，C的量值不同時(shí)，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況1.時(shí)，為不相等的實(shí)根。過(guò)阻尼情況。2.時(shí)，為兩個(gè)相等的實(shí)根。臨界阻尼情況。3.時(shí)，為共軛復(fù)數(shù)根。欠阻尼情況。第3頁(yè)/共42頁(yè)二、過(guò)阻尼情況

當(dāng)時(shí)，電路的固有頻率s1，s2為兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)，齊次微分方程的解答具有下面的形式

式中的兩個(gè)常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uc(0)確定。

對(duì)式(9－5)求導(dǎo)，再令t=0得到第4頁(yè)/共42頁(yè)

求解以上兩個(gè)方程，可以得到

由此得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。第5頁(yè)/共42頁(yè)例9-1電路如圖9-1所示，已知R=3,L=0.5H,C=0.25F,

uC(0)=2V,iL(0)=1A，求電容電壓和電感電流的零輸

入響應(yīng)。解：將R，L，C的量值代入式（9－4）計(jì)算出固有頻率圖9－1RLC串聯(lián)二階電路第6頁(yè)/共42頁(yè)

將固有頻率s1=-2和s2=-4代入式（9－5）得到

利用電容電壓的初始值uC(0)=2V和電感電流的初始值iL(0)=1A得到以下兩個(gè)方程：K1=6K2=-4

最后得到電容電壓的零輸入響應(yīng)為第7頁(yè)/共42頁(yè)

利用KCL和電容的VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)

從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電路各元件的能量交換過(guò)程。第8頁(yè)/共42頁(yè)電容電壓的零輸入響應(yīng)波形第9頁(yè)/共42頁(yè)DNAP程序可以畫(huà)出響應(yīng)的波形。電感電流的零輸入響應(yīng)波形第10頁(yè)/共42頁(yè)三、臨界情況

當(dāng)時(shí)，電路的固有頻率s1,s2為兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)s1=s2=s。齊次微分方程的解答具有下面的形式

式中的兩個(gè)常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uC(0)確定。令式(9-5)中的t=0得到第11頁(yè)/共42頁(yè)

聯(lián)立求解以上兩個(gè)方程，可以得到

將

K1,K2的計(jì)算結(jié)果，代入式（9－8）得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。

對(duì)式(9－5)求導(dǎo)，再令得到第12頁(yè)/共42頁(yè)例9-2電路如圖9-1所示。已知已知R=1，L=0.25H，

C=1F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求電容電壓和電感電

流的零輸入響應(yīng)。解：將R，L，C的量值代入式(9-4)計(jì)算出固有頻率的數(shù)值圖9－1RLC串聯(lián)二階電路第13頁(yè)/共42頁(yè)

利用電容電壓的初始值uC(0)=-1V和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個(gè)方程

將兩個(gè)相等的固有頻率s1=s2=-2

代入式（9－8）得到第14頁(yè)/共42頁(yè)

得到電感電流的零輸入響應(yīng)

求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=-1和K2=-2，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)第15頁(yè)/共42頁(yè)

根據(jù)以上兩個(gè)表達(dá)式用計(jì)算機(jī)程序DNAP畫(huà)出的波形曲線，如圖9－3所示。(a)電容電壓的波形(b)電感電流的波形圖9－3臨界阻尼情況

第16頁(yè)/共42頁(yè)電容電壓的零輸入響應(yīng)波形第17頁(yè)/共42頁(yè)電感電流的零輸入響應(yīng)波形第18頁(yè)/共42頁(yè)四、欠阻尼情況

當(dāng)時(shí)，電路的固有頻率s1，s2為為兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根，它們可以表示為

其中第19頁(yè)/共42頁(yè)

齊次微分方程的解答具有下面的形式

式中

由初始條件iL(0)和uC(0)確定常數(shù)K1，K2后，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL和VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)。第20頁(yè)/共42頁(yè)例9-3電路如圖9-1所示。已知R=6,L=1H,C=0.04F,

uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的

零輸入響應(yīng)。解：將R，L，C的量值代入式(9-4)計(jì)算出固有頻率的數(shù)值圖9－1RLC串聯(lián)二階電路第21頁(yè)/共42頁(yè)

利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩個(gè)方程

求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=3和K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng):

將兩個(gè)不相等的固有頻率s1=-3+j4和s2=-3-j4代入式（9－11）得到第22頁(yè)/共42頁(yè)

用計(jì)算機(jī)程序DNAP畫(huà)出的波形曲線，如圖9－4(a)和(b)所示(a)衰減系數(shù)為3的電容電壓的波形(b)衰減系數(shù)為3的電感電流的波形(c)衰減系數(shù)為0.5的電容電壓的波形(d)衰減系數(shù)為0.5的電感電流的波形 圖9－4欠阻尼情況第23頁(yè)/共42頁(yè)

從式(9-11)和圖9-4波形曲線可以看出，欠阻尼情況的特點(diǎn)是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時(shí)間消耗能量越少，曲線衰減越慢。當(dāng)例9－3中電阻由R=6Ω減小到R=1Ω，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時(shí)，用計(jì)算機(jī)程序DNAP得到的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖9－4(c)和(d)所示，由此可以看出曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時(shí)，電容電壓和電感電流將形成無(wú)衰減的等幅振蕩。第24頁(yè)/共42頁(yè)電容電壓的零輸入響應(yīng)波形u3(t)=ε(t)*[(5.00)*exp(-3.00t)]cos(4.00t-53.13)第25頁(yè)/共42頁(yè)i2(t)=ε(t)*[(1.00)*exp(-3.00t)]cos(4.00t+73.74)電感電流的零輸入響應(yīng)波形第26頁(yè)/共42頁(yè)u3(t)=ε(t)*[(3.45)*exp(-.500t)]cos(4.97t-29.66)電容電壓的零輸入響應(yīng)波形第27頁(yè)/共42頁(yè)i2(t)=ε(t)*[(.690)*exp(-.500t)]cos(4.97t+66.08)電感電流的零輸入響應(yīng)波形第28頁(yè)/共42頁(yè)例9-4電路如圖9-1所示。已知R=0,L=1H,C=0.04F,

uC(0)=3V,iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零

輸入響應(yīng)。解：將R，L，C的量值代入式（9－4）計(jì)算出固有頻率的

數(shù)值圖9－1RLC串聯(lián)二階電路第29頁(yè)/共42頁(yè)

將兩個(gè)不相等的固有頻率s1=j5和s2=-j5代入式（9-11）得到

利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩個(gè)方程

求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=3和K2=1.4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng):第30頁(yè)/共42頁(yè)

用計(jì)算機(jī)程序DNAP畫(huà)出的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖9－5所示。圖9－5無(wú)阻尼情況

第31頁(yè)/共42頁(yè)u3(t)=ε(t)*[(3.31)*exp(.000t)]cos(5.00t-25.02)

電阻為零，響應(yīng)不再衰減，形成等幅振蕩。第32頁(yè)/共42頁(yè)i2(t)=ε(t)*[(.662)*exp(.000t)]cos(5.00t+64.98)

電阻為零，響應(yīng)不再衰減，形成等幅振蕩。第33頁(yè)/共42頁(yè)

從電容電壓和電感電流的表達(dá)式和波形曲線可見(jiàn)，由于電路中沒(méi)有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會(huì)減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為90，當(dāng)電容電壓為零，電場(chǎng)儲(chǔ)能為零時(shí)，電感電流達(dá)到最大值，全部能量?jī)?chǔ)存于磁場(chǎng)中；而當(dāng)電感電流為零，磁場(chǎng)儲(chǔ)能為零時(shí)，電容電壓達(dá)到最大值，全部能量?jī)?chǔ)存于電場(chǎng)中。從以上分析計(jì)算的結(jié)果可以看出，RLC二階電路的零輸入響應(yīng)的形式與其固有頻率密切相關(guān)，我們將響應(yīng)的幾種情況畫(huà)在圖9－6上。第34頁(yè)/共42頁(yè)圖9-6第35頁(yè)/共42頁(yè)

由圖9－6可見(jiàn)：

1.在過(guò)阻尼情況，s1和s2是不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。

2.在臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。

3.在欠阻尼情況，s1和s2是共軛復(fù)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的左半平面上，響應(yīng)是振幅隨時(shí)間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù)

越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率d

越大，振蕩周期越小，振蕩越快。第36頁(yè)/共42頁(yè)

圖中按Ke-t畫(huà)出的虛線稱為包絡(luò)線，它限定了振幅的變化范圍。

4.在無(wú)阻尼情況，s1和s2是共軛虛數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的虛軸上，衰減系數(shù)為零，振幅不再衰減，形成角頻率為0的等幅振蕩。