D泰勒高等數(shù)學(xué)同濟大學(xué)第六上冊

會計學(xué)1D泰勒高等數(shù)學(xué)同濟大學(xué)第六上冊1.求

n

次近似多項式要求:故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令則第1頁/共29頁2.余項估計令(稱為余項),則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共29頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共29頁公式①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項

.泰勒中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時,有①其中②則當(dāng)泰勒目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共29頁公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項

.在不需要余項的精確表達式時,泰勒公式可寫為注意到③④*

可以證明:④式成立機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共29頁特例:(1)當(dāng)n=0

時,泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1

時,泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共29頁稱為麥克勞林（Maclaurin

）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林目錄上頁下頁返回結(jié)束由此得近似公式第7頁/共29頁二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式其中機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共29頁其中機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共29頁類似可得其中機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共29頁其中機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共29頁已知其中類似可得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共29頁三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計算中的應(yīng)用誤差M

為在包含0,x

的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項數(shù)n;2)已知項數(shù)

n

和x,計算近似值并估計誤差;3)已知項數(shù)

n和誤差限,確定公式中x

的適用范圍.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共29頁已知例1.

計算無理數(shù)e

的近似值,使誤差不超過解:令x=1,得由于欲使由計算可知當(dāng)n=9

時上式成立,因此的麥克勞林公式為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共29頁說明:注意舍入誤差對計算結(jié)果的影響.本例若每項四舍五入到小數(shù)點后6位,則各項舍入誤差之和不超過總誤差為這時得到的近似值不能保證誤差不超過因此計算時中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共29頁例2.

用近似公式計算cosx

的近似值,使其精確到0.005,試確定x

的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當(dāng)時,由給定的近似公式計算的結(jié)果能準(zhǔn)確到0.005.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共29頁2.利用泰勒公式求極限例3.

求解:由于用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共29頁3.利用泰勒公式證明不等式例4.

證明證:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共29頁內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項當(dāng)時為麥克勞林公式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共29頁2.常用函數(shù)的麥克勞林公式

(P140~P142)3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項式逼近函數(shù),例如目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共29頁42246420246泰勒多項式逼近機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共29頁42246420246泰勒多項式逼近機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁/共29頁思考與練習(xí)

計算解:原式第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P1431;4;5;7;8;10(1),(2)第23頁/共29頁泰勒

(1685–1731)英國數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.第24頁/共29頁麥克勞林(1698–1746)英國數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機幾何學(xué)》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù).第25頁/共29頁由題設(shè)對證:備用題

1.有且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁/共29頁下式減上式,得令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁/共29頁兩邊同乘n!=整數(shù)+假設(shè)e

為有理數(shù)(p,q

為正整數(shù)),