D格林公式白底

會計(jì)學(xué)1D格林公式白底證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-

型區(qū)域,且則第1頁/共30頁即同理可證①②①、②兩式相加得:第2頁/共30頁2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區(qū)域,如圖證畢第3頁/共30頁推論:

正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積第4頁/共30頁例1.設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:

令則利用格林公式,得第5頁/共30頁例2.

計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解:

令,則利用格林公式,有第6頁/共30頁例3.

計(jì)算其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解:

令設(shè)L所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知第7頁/共30頁在D內(nèi)作圓周取逆時針方向,,對區(qū)域應(yīng)用格記L和

lˉ

所圍的區(qū)域?yàn)榱止?得第8頁/共30頁二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理2.

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即第9頁/共30頁說明:

積分與路徑無關(guān)時,曲線積分可記為證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))第10頁/共30頁證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無關(guān),有函數(shù)第11頁/共30頁證明

(3)(4)設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有第12頁/共30頁證明

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢第13頁/共30頁說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計(jì)算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;第14頁/共30頁例4.

計(jì)算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈,

則第15頁/共30頁例5.

驗(yàn)證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。第16頁/共30頁例6.

驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2

可知存在原函數(shù)第17頁/共30頁或第18頁/共30頁例7.

設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場作用下沿曲線L:由移動到求力場所作的功W解:令則有可見,在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).第19頁/共30頁思考:積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān)!第20頁/共30頁解因此，積分與路徑無關(guān)。則P，Q

在全平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且全平面是單連通域。第21頁/共30頁取一簡單路徑：L1+L2.因此，積分與路徑無關(guān)。全平面是單連通域。第22頁/共30頁解因此，積分與路徑無關(guān)。則P，Q

在全平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且全平面是單連通域。第23頁/共30頁因此，積分與路徑無關(guān)。全平面是單連通域。取一簡單路徑：L1+L2.第24頁/共30頁內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價條件在

D

內(nèi)與路徑無關(guān).在

D

內(nèi)有對D

內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設(shè)P,Q

在D

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有第25頁/共30頁思考與練習(xí)1.設(shè)且都取正向,問下列計(jì)算是否正確?提示:第26頁/共30頁2.設(shè)提示:第27頁/共30頁

備用題1.

設(shè)

C

為沿從點(diǎn)依逆時針的半圓,計(jì)算解:

添加輔助線如圖,利用格林公式.原式=到點(diǎn)第28頁/共30頁2.質(zhì)點(diǎn)M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運(yùn)動到點(diǎn)B(3,4),到原點(diǎn)的距離,解: