D梯及其與方向?qū)?shù)的關(guān)系

會(huì)計(jì)學(xué)1D梯及其與方向?qū)?shù)的關(guān)系方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：當(dāng)與的方向一致時(shí)，第1頁/共20頁1.定義即其中稱為向量微分算子或Nabla算子.設(shè)函數(shù)則稱向量在點(diǎn)可微，為函數(shù)f(gradient),在點(diǎn)

處的梯度向量，簡稱梯度記作第2頁/共20頁其中稱為向量微分算子或Nabla算子.它本身沒有意義，將作用于函數(shù)f就得到一向量，即同樣可定義二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度第3頁/共20頁注：1.方向?qū)?shù)可以表示成：2.若記，則利用梯度可將f在點(diǎn)x處的全微分寫成：方向?qū)?shù)公式第4頁/共20頁例1.求二元函數(shù)在點(diǎn)P（-1，1）處沿方向的方向?qū)?shù)，并指出u在該點(diǎn)沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？這個(gè)最大的方向?qū)?shù)值是多少？u沿哪個(gè)方向減小的最快？沿著哪個(gè)方向u的值不變化？解：第5頁/共20頁(1)方向?qū)?shù)取最大值的方向即梯度方向，其單位向，方向?qū)?shù)的最大值為u沿梯度的負(fù)向即的方向減小的最快。量為(2)(3)下面求使u的變化率為零的方向.令則：令得，此時(shí)u的值不變化。第6頁/共20頁例2.設(shè)函數(shù)解:(1)點(diǎn)P處切平面的法向量為在點(diǎn)P(1,1,1)處的切平面方程.故所求切平面方程為即(2)求函數(shù)f在點(diǎn)P(1,1,1)沿增加最快方向的方向?qū)?shù).求等值面(2)函數(shù)f在點(diǎn)P處增加最快的方向?yàn)檠卮朔较虻姆较驅(qū)?shù)為思考:

f在點(diǎn)P處沿什么方向變化率為0?注意:

對(duì)三元函數(shù),與垂直的方向有無窮多第7頁/共20頁2.梯度的運(yùn)算法則第8頁/共20頁證明：設(shè)由一元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，有第9頁/共20頁例3.證:試證處矢徑r的模,第10頁/共20頁例4.已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q

在任意點(diǎn)試證證:利用例3的結(jié)果這說明場強(qiáng):處所產(chǎn)生的電勢(shì)為垂直于等勢(shì)面,且指向電勢(shì)減少的方向.第11頁/共20頁二、高階偏導(dǎo)數(shù)1.定義如果n元函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為f在點(diǎn)先對(duì)變量再對(duì)變量的二階偏導(dǎo)數(shù)，記為：或或其中第12頁/共20頁例如：二元函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)共有四個(gè)，按求導(dǎo)順序不同,有其中和為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。第13頁/共20頁類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。第14頁/共20頁例5.求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及第15頁/共20頁反例：二者不等第16頁/共20頁則定理.例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對(duì)n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等(證明略)證明第1