D曲率高等數(shù)學同濟大學第六上冊

會計學1D曲率高等數(shù)學同濟大學第六上冊則弧長微分公式為或幾何意義:若曲線由參數(shù)方程表示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共19頁二、曲率及其計算公式在光滑弧上自點M

開始取弧段,其長為對應切線定義弧段上的平均曲率點

M

處的曲率注意:

直線上任意點處的曲率為0!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束轉(zhuǎn)角為第2頁/共19頁例1.

求半徑為R

的圓上任意點處的曲率.解:

如圖所示,可見:R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共19頁有曲率近似計算公式故曲率計算公式為又曲率K的計算公式二階可導,設曲線弧則由機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共19頁說明:(1)若曲線由參數(shù)方程給出,則(2)若曲線方程為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共19頁例2.

我國鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,處的曲率.點擊圖片任意處播放\暫停說明:鐵路轉(zhuǎn)彎時為保證行車平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其兩個端點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束且

l<<R.

其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長度,離心力必須連續(xù)變化,因此鐵道的曲率應連續(xù)變化.第6頁/共19頁例2.

我國鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,且

l<<R.

處的曲率.其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長度,求此緩和曲線在其兩個端點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:顯然第7頁/共19頁例3.

求橢圓在何處曲率最大?解:故曲率為K

最大最小機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求駐點:第8頁/共19頁設從而

K

取最大值.這說明橢圓在點處曲率機動目錄上頁下頁返回結(jié)束計算駐點處的函數(shù)值:最大.第9頁/共19頁三、曲率圓與曲率半徑設M

為曲線C

上任一點,在點在曲線把以D為中心,R

為半徑的圓叫做曲線在點

M

處的曲率圓(密切圓),R

叫做曲率半徑,D

叫做曲率中心.在點M

處曲率圓與曲線有下列密切關系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點D

使機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共19頁設曲線方程為且求曲線上點M

處的曲率半徑及曲率中心設點M

處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組的坐標公式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共19頁由此可得曲率中心公式(注意與異號)當點M(x,y)沿曲線移動時,的軌跡G

稱為曲線C的漸屈線,相應的曲率中心曲率中心公式可看成漸曲線C稱為曲線G

的漸伸線

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).點擊圖中任意點動畫開始或暫停第12頁/共19頁例4.設一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓,現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問選擇多大的砂輪比較合適?解:設橢圓方程為由例3可知,橢圓在處曲率最大,即曲率半徑最小,且為顯然,砂輪半徑不超過時,才不會產(chǎn)生過量磨損,或有的地方磨不到的問題.例3目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共19頁(仍為擺線)例5.

求擺線的漸屈線方程.解:代入曲率中心公式,得擺線目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共19頁擺線半徑為a

的圓周沿直線無滑動地滾動時,點擊圖中任意點動畫開始或暫停其上定點M的軌跡即為擺線.參數(shù)的幾何意義擺線的漸屈線點擊圖中任意點動畫開始或暫停機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共19頁內(nèi)容小結(jié)1.弧長微分或2.曲率公式3.曲率圓曲率半徑曲率中心機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共19頁思考與練習1.曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關系?答:

有公切線;凹向一致;曲率相同.2.求雙曲線的曲率半徑

R,并分析何處R

最小?解:則