D微分方程及其求解

會(huì)計(jì)學(xué)1D微分方程及其求解解的疊加原理第1頁(yè)/共33頁(yè)一、

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得為m

次多項(xiàng)式.第2頁(yè)/共33頁(yè)(2)若是特征方程的單根,(3)若是特征方程的重根,即即(1)若不是特征方程的根,可設(shè)可設(shè)可設(shè)第3頁(yè)/共33頁(yè)上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程(k是重根次數(shù)).綜上討論不是根是單根是重根特解形式設(shè)為第4頁(yè)/共33頁(yè)例1.的一個(gè)特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為第5頁(yè)/共33頁(yè)例2.的通解.

解:本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得第6頁(yè)/共33頁(yè)例2.的通解.

解:比較系數(shù),得因此特解為所求通解為代入方程得第7頁(yè)/共33頁(yè)令的特解y*(一般為復(fù)根)求可以證明與分別是下列方程的解設(shè)第8頁(yè)/共33頁(yè)綜上討論(α±iβ)不是根特解形式設(shè)為(α±iβ)是根第9頁(yè)/共33頁(yè)解例3的一個(gè)特解

.有共軛復(fù)根特征方程本題不是特征根的特解令特解第10頁(yè)/共33頁(yè)解例3的一個(gè)特解

.將特解代入原方程得第11頁(yè)/共33頁(yè)例3的一個(gè)特解

.于是求得一個(gè)特解原方程得一個(gè)特解第12頁(yè)/共33頁(yè)解例4的通解

.對(duì)應(yīng)齊次方程特征方程為特征根:對(duì)應(yīng)齊次方程的通解：第13頁(yè)/共33頁(yè)解例4的通解

.齊次通解：特征方程是特征方程的根本題故設(shè)特解為考慮方程第14頁(yè)/共33頁(yè)解例4的通解

.代入方程整理得于是求得一個(gè)特解原方程通解為第15頁(yè)/共33頁(yè)一、一階微分方程求解

1.一階標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型方程求解關(guān)鍵:

辨別方程類(lèi)型,掌握求解步驟四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,*全微分方程小結(jié)第16頁(yè)/共33頁(yè)1.可降階的二階微分方程二、高階微分方程求解逐次積分解法:高階

yf(x)型的微分方程第17頁(yè)/共33頁(yè)

yf(x

y)型的微分方程解法:令化為x,p的一階微分方程.則

yf(y

y)型的微分方程解法:令化為y,p的一階微分方程.則第18頁(yè)/共33頁(yè)二階線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y+P(x)y+Q(x)y=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常數(shù)第19頁(yè)/共33頁(yè)2.二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)代入①得稱(chēng)②為微分方程①的特征方程,(r

為待定常數(shù))①所以令①的解為②其根稱(chēng)為特征根.因?yàn)閞為常數(shù)時(shí),函數(shù)(p,q為常數(shù))第20頁(yè)/共33頁(yè)實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程方法步驟①寫(xiě)出特征方程②求出特征根③按特征根的三種不同情況依下表寫(xiě)出通解第21頁(yè)/共33頁(yè)3.二階線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)設(shè)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個(gè)特解

Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解

非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)第22頁(yè)/共33頁(yè)微分方程ypyqyPm(x)ex

的待定特解不是根是單根是重根特解形式設(shè)為第23頁(yè)/共33頁(yè)(α±iβ)不是根特解形式設(shè)為(α±iβ)是根微分方程ypyqyeαxPm(x)cosβx或ypyqyeαxPm(x)sinβx的待定特解整合為第24頁(yè)/共33頁(yè)則是特解形式設(shè)為整合為的解是的解第25頁(yè)/共33頁(yè)思考題1.微分方程(λ>0)的特解形式為2.微分方程滿足條件y(0)=0的解2011年考研題第26頁(yè)/共33頁(yè)設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為思考題3.寫(xiě)出微分方程的待定特解的形式.解第27頁(yè)/共33頁(yè)則所求特解為練習(xí)題3.寫(xiě)出微分方程的待定特解的形式.解特征根（重根）第28頁(yè)/共33頁(yè)4.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(