高中立體幾何模擬試題附答案

...wd......wd......wd...高中立體幾何模擬題一．選擇題〔共9小題〕1．在空間直角坐標(biāo)系中，點P〔x，y，z〕，以下表達中正確的個數(shù)是〔〕①點P關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)是P1〔x，﹣y，z〕；②點P關(guān)于yOz平面對稱點的坐標(biāo)是P2〔x，﹣y，﹣z〕；③點P關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是P3〔x，﹣y，z〕；④點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是P4〔﹣x，﹣y，﹣z〕．A．3 B．2 C．1 D．02．空間四邊形ABCD中，假設(shè)向量=〔﹣3，5，2〕，=〔﹣7，﹣1，﹣4〕點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，那么的坐標(biāo)為〔〕A．〔2，3，3〕 B．〔﹣2，﹣3，﹣3〕 C．〔5，﹣2，1〕 D．〔﹣5，2，﹣1〕3．設(shè)平面α的一個法向量為，平面β的一個法向量為，假設(shè)α∥β，那么k=〔〕A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．44．=〔3，﹣2，﹣3〕，=〔﹣1，x﹣1，1〕，且與的夾角為鈍角，那么x的取值范圍是〔〕A．〔﹣2，+∞〕 B．〔﹣2，〕∪〔，+∞〕 C．〔﹣∞，﹣2〕 D．〔，+∞〕5．假設(shè)=〔1，λ，2〕，=〔2，﹣1，1〕，與的夾角為60°，那么λ的值為〔〕A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．16．設(shè)平面α內(nèi)兩個向量的坐標(biāo)分別為〔1，2，1〕、〔﹣1，1，2〕，那么以下向量中是平面的法向量的是〔〕A．〔﹣1，﹣2，5〕 B．〔﹣1，1，﹣1〕 C．〔1，1，1〕 D．〔1，﹣1，﹣1〕7．假設(shè)=〔1，﹣2，2〕是平面α的一個法向量，那么以下向量能作為平面α法向量的是〔〕A．〔1，﹣2，0〕 B．〔0，﹣2，2〕 C．〔2，﹣4，4〕 D．〔2，4，4〕8．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，那么BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為〔〕A． B． C． D．9．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分別是AC1和BB1的中點，那么直線DE與平面BB1C1C所成的角為〔〕A． B． C． D．二．填空題〔共3小題〕10．設(shè)平面α的一個法向量為=〔1，2，﹣2〕，平面β的一個法向量為=〔﹣2，﹣4，k〕，假設(shè)α∥β，那么k=．11．在空間直角坐標(biāo)系中，點A〔1，0，2〕，B〔1，﹣3，1〕，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，那么M的坐標(biāo)是．12．如以下列圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，那么直線EF和BC1的夾角是．三．解答題〔共18小題〕13．如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，點G為AC的中點．〔Ⅰ〕求證：EG∥平面ABF；〔Ⅱ〕求三棱錐B﹣AEG的體積；〔Ⅲ〕試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直假設(shè)垂直，請證明；假設(shè)不垂直，請說明理由．14．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中點．〔1〕求證：平面AB1D⊥平面B1BCC1；〔2〕求證：A1C∥平面AB1D．15．如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．〔Ⅰ〕證明：平面ADB⊥平面BDC；〔Ⅱ〕設(shè)BD=1，求三棱錐D﹣ABC的外表積．16．三棱錐S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．〔1〕證明：SC⊥BC；〔2〕求三棱錐的體積VS﹣ABC．17．如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．求證：〔1〕PA∥平面BDE；〔2〕BD⊥平面PAC．18．如圖，在四棱錐V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD〔1〕證明：AB⊥平面VAD；〔2〕求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB=1，PA=2．〔Ⅰ〕證明：直線CE∥平面PAB；〔Ⅱ〕求三棱錐E﹣PAC的體積．20．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是線段PC中點，G為線段EC中點．〔Ⅰ〕求證：FG∥平面PBD；〔Ⅱ〕求證：BD⊥FG．21．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA1=1，AB=2，P為線段AB上的動點．〔I〕求證：CA1⊥C1P；〔II〕假設(shè)四面體P﹣AB1C1的體積為，求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．22．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，點E為CC1中點，點F為BD1中點．〔1〕證明EF為BD1與CC1的公垂線；〔2〕求點D1到面BDE的距離．23．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分別為PC，PB的中點．〔Ⅰ〕求證：PB⊥DM；〔Ⅱ〕求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．24．在如以下列圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G為BC的中點．〔1〕求證：AB∥平面DEG；〔2〕求證：BD⊥EG；〔3〕求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．25．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點．〔Ⅰ〕求證：AM∥面SCD；〔Ⅱ〕求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；〔Ⅲ〕設(shè)點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為θ，求sinθ的最大值．26．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．〔1〕證明：AB⊥A1C；〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．27．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．〔1〕假設(shè)PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；〔2〕點M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大?。?8．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面AA1B1B為正方形，側(cè)面BB1C1C為菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．〔I〕求證：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；〔II〕求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．29．在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點N在線段PB上，且PN=．〔Ⅰ〕求證：BD⊥PC；〔Ⅱ〕求證：MN∥平面PDC；〔Ⅲ〕求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．30．如圖，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四邊形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中點，E，F(xiàn)分別是PC，OD的中點．〔Ⅰ〕求證：EF∥平面PBO；〔Ⅱ〕求二面角A﹣PF﹣E的正切值．2017年03月25日1879804507的高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題〔共9小題〕1．〔2016春?孝感期末〕在空間直角坐標(biāo)系中，點P〔x，y，z〕，以下表達中正確的個數(shù)是〔〕①點P關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)是P1〔x，﹣y，z〕；②點P關(guān)于yOz平面對稱點的坐標(biāo)是P2〔x，﹣y，﹣z〕；③點P關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是P3〔x，﹣y，z〕；④點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是P4〔﹣x，﹣y，﹣z〕．A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：P關(guān)于x軸的對稱點為P1〔x，﹣y，﹣z〕；關(guān)于yOz平面的對稱點為P2〔﹣x，y，z〕；關(guān)于y軸的對稱點為P3〔﹣x，y，﹣z〕；點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是P4〔﹣x，﹣y，﹣z〕．故①②③錯誤．應(yīng)選C．2．〔2015秋?石家莊校級期末〕空間四邊形ABCD中，假設(shè)向量=〔﹣3，5，2〕，=〔﹣7，﹣1，﹣4〕點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，那么的坐標(biāo)為〔〕A．〔2，3，3〕 B．〔﹣2，﹣3，﹣3〕 C．〔5，﹣2，1〕 D．〔﹣5，2，﹣1〕【解答】解：∵點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，∴=，，=．∴=﹣==[〔3，﹣5，﹣2〕+〔﹣7，﹣1，﹣4〕]==〔﹣2，﹣3，﹣3〕．應(yīng)選：B．3．〔2015?鄒城市校級模擬〕設(shè)平面α的一個法向量為，平面β的一個法向量為，假設(shè)α∥β，那么k=〔〕A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4【解答】解：平面α的一個法向量為，平面β的一個法向量為，∵α∥β，由題意可得，∴k=4．應(yīng)選：D．4．〔2014秋?越城區(qū)校級期末〕=〔3，﹣2，﹣3〕，=〔﹣1，x﹣1，1〕，且與的夾角為鈍角，那么x的取值范圍是〔〕A．〔﹣2，+∞〕 B．〔﹣2，〕∪〔，+∞〕 C．〔﹣∞，﹣2〕 D．〔，+∞〕【解答】解：∵與的夾角為鈍角，∴cos＜，＞＜0．且與不共線∴?＜0．且〔3，﹣2，﹣3〕≠λ〔﹣1，x﹣1，1〕∴﹣3﹣2〔x﹣1〕﹣3＜0．且x≠∴x的取值范圍是〔﹣2，〕∪〔，+∞〕．應(yīng)選B．5．〔2014秋?從化市校級期末〕假設(shè)=〔1，λ，2〕，=〔2，﹣1，1〕，與的夾角為60°，那么λ的值為〔〕A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．1【解答】解：∵，，，cos60°=．∴，化為λ2+16λ﹣17=0，解得λ=﹣17或1．應(yīng)選B．6．〔2015春?濟南校級期中〕設(shè)平面α內(nèi)兩個向量的坐標(biāo)分別為〔1，2，1〕、〔﹣1，1，2〕，那么以下向量中是平面的法向量的是〔〕A．〔﹣1，﹣2，5〕 B．〔﹣1，1，﹣1〕 C．〔1，1，1〕 D．〔1，﹣1，﹣1〕【解答】解：∵〔﹣1，1，﹣1〕?〔1，2，1〕=﹣1+2﹣1=0，〔﹣1，1，﹣1〕?〔﹣1，1，2〕=1+1﹣2=0，∴向量〔﹣1，1﹣1〕是此平面的法向量．應(yīng)選B．7．〔2016秋?興慶區(qū)校級期末〕假設(shè)=〔1，﹣2，2〕是平面α的一個法向量，那么以下向量能作為平面α法向量的是〔〕A．〔1，﹣2，0〕 B．〔0，﹣2，2〕 C．〔2，﹣4，4〕 D．〔2，4，4〕【解答】解：∵〔2，﹣4，4〕=2〔1，﹣2，2〕，∴向量〔2，﹣4，4〕與平面α的一個法向量平行，它也是此平面的法向量．應(yīng)選C．8．〔2015?株洲一模〕如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，那么BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為〔〕A． B． C． D．【解答】解：以D點為坐標(biāo)原點，以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系〔圖略〕，那么A〔2，0，0〕，B〔2，2，0〕，C〔0，2，0〕，C1〔0，2，1〕∴=〔﹣2，0，1〕，=〔﹣2，2，0〕，且為平面BB1D1D的一個法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為故答案為D．9．〔2015?廣西模擬〕如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分別是AC1和BB1的中點，那么直線DE與平面BB1C1C所成的角為〔〕A． B． C． D．【解答】解：取AC的中點為F，連接BF、DF．因為在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因為DF是三角形ACC1的中位線，故DF=CC1=BB1=BE，故四邊形BEDF是平行四邊形，所以ED∥BF．過點F作FG垂直與BC交BC與點G，由題意得∠FBG即為所求的角．因為AB=1，AC=2，BC=，所以∠ABC=，∠BCA=，直角三角形斜邊中線BF是斜邊AC的一半，故BF=AC=CF，所以∠FBG=∠BCA=．應(yīng)選A．二．填空題〔共3小題〕10．〔2016秋?碑林區(qū)校級期末〕設(shè)平面α的一個法向量為=〔1，2，﹣2〕，平面β的一個法向量為=〔﹣2，﹣4，k〕，假設(shè)α∥β，那么k=4．【解答】解：∵α∥β，∴∥，∴存在實數(shù)λ使得．∴，解得k=4．故答案為：4．11．〔2009?安徽〕在空間直角坐標(biāo)系中，點A〔1，0，2〕，B〔1，﹣3，1〕，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，那么M的坐標(biāo)是〔0，﹣1，0〕．【解答】解：設(shè)M〔0，y，0〕由12+y2+4=1+〔y+3〕2+1可得y=﹣1故M〔0，﹣1，0〕故答案為：〔0，﹣1，0〕．12．〔2016秋?臨沂期末〕如以下列圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，那么直線EF和BC1的夾角是．【解答】解：如以下列圖，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系．由于AB=BC=AA1，不妨取AB=2，那么E〔0，1，0〕，F(xiàn)〔0，0，1〕，C1〔2，0，2〕．∴=〔0，﹣1，1〕，=〔2，0，2〕．∴===．∴異面直線EF和BC1的夾角為．故答案為：．三．解答題〔共18小題〕13．〔2015?重慶校級模擬〕如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，點G為AC的中點．〔Ⅰ〕求證：EG∥平面ABF；〔Ⅱ〕求三棱錐B﹣AEG的體積；〔Ⅲ〕試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直假設(shè)垂直，請證明；假設(shè)不垂直，請說明理由．【解答】〔I〕證明：取AB中點M，連FM，GM．∵G為對角線AC的中點，∴GM∥AD，且GM=AD，又∵FE∥AD，∴GM∥FE且GM=FE．∴四邊形GMFE為平行四邊形，即EG∥FM．又∵EG?平面ABF，F(xiàn)M?平面ABF，∴EG∥平面ABF．…〔4分〕〔Ⅱ〕解：作EN⊥AD，垂足為N，由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，得EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E﹣ABG的高．∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，∴△AEF是正三角形．∴∠AEF=60°，由EF∥AD知∠EAD=60°，∴EN=AE?sin60°=．∴三棱錐B﹣AEG的體積為．…〔8分〕〔Ⅲ〕解：平面BAE⊥平面DCE．證明如下：∵四邊形ABCD為矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE．∵四邊形AFED為梯形，F(xiàn)E∥AD，且∠AFE=60°，∴∠FAD=120°．又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，由余弦定理，得ED=．∴EA2+ED2=AD2，∴ED⊥AE．又∵ED∩CD=D，∴AE⊥平面DCE，又AE?面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE．…〔12分〕14．〔2014?南昌模擬〕如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中點．〔1〕求證：平面AB1D⊥平面B1BCC1；〔2〕求證：A1C∥平面AB1D．【解答】證明：〔1〕因為B1B⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以AD⊥B1B〔2分〕因為D為正△ABC中BC的中點，所以AD⊥BD〔2分〕又B1B∩BC=B，所以AD⊥平面B1BCC1〔4分〕又AD?平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1〔6分〕〔2〕連接A1B，交AB1于E，連DE〔7分〕因為點E為矩形A1ABB1對角線的交點，所以E為AB1的中點〔8分〕又D為BC的中點，所以DE為△A1BC的中位線，所以DE∥A1C〔10分〕又DE?平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D〔12分〕15．〔2011?陜西〕如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．〔Ⅰ〕證明：平面ADB⊥平面BDC；〔Ⅱ〕設(shè)BD=1，求三棱錐D﹣ABC的外表積．【解答】解：〔Ⅰ〕∵折起前AD是BC邊上的高，∴當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，∵AD?平面ABD．∴平面ADB⊥平面BDC〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，從而所以三棱錐D﹣ABC的外表積為：16．〔2016?徐匯區(qū)一?！橙忮FS﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．〔1〕證明：SC⊥BC；〔2〕求三棱錐的體積VS﹣ABC．【解答】解：〔1〕∵SA⊥ABSA⊥ACAB∩AC=A∴SA⊥平面ABC，∴AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影，又∵BC⊥AC，由三垂線定理得：SC⊥BC〔2〕在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=，∴AB==，∵SA⊥AB，∴△SAB為Rt△，SB=，∴SA==2，∵SA⊥平面ABC，∴SA為棱錐的高，∴VS﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××=．17．〔2016秋?咸陽期末〕如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．求證：〔1〕PA∥平面BDE；〔2〕BD⊥平面PAC．【解答】證明〔1〕連接OE，在△CAP中，CO=OA，CE=EP，∴PA∥EO，又∵PA?平面BDE，EO?平面BDE，∴PA∥平面BDE．〔2〕∵PO⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PO又∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵AC∩PO=O，AC，PO?平面PAC∴BD⊥平面PAC18．〔2014?嘉定區(qū)校級二?！橙鐖D，在四棱錐V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD〔1〕證明：AB⊥平面VAD；〔2〕求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．【解答】證明：〔1〕平面VAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面VAD〔2〕取VD中點E，連接AE，BE，∵△VAD是正三角形，∴∵AB⊥面VAD，AE，VD?平面VAD∴AB⊥VD，AB⊥AE∴AE⊥VD，AB⊥VD，AB∩AE=A，且AB，AE?平面ABE，DVD⊥平面ABE，∵BE?平面ABE，∴BE⊥VD，∴∠AEB即為所求的二面角的平面角．在RT△ABE中，，cos∠AEB=19．〔2012?河南模擬〕如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB=1，PA=2．〔Ⅰ〕證明：直線CE∥平面PAB；〔Ⅱ〕求三棱錐E﹣PAC的體積．【解答】解：〔1〕取AD中點F，連接EF、CF∴△PAD中，EF是中位線，可得EF∥PA∵EF?平面PAB，PA?平面PAB，∴EF∥平面PAB∵Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴AC==2又∵Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴AD=4，結(jié)合F為AD中點，得△ACF是等邊三角形∴∠ACF=∠BAC=60°，可得CF∥AB∵CF?平面PAB，AB?平面PAB，∴CF∥平面PAB∵EF、CF是平面CEF內(nèi)的相交直線，∴平面CEF∥平面PAB∵CE?面CEF，∴CE∥平面PAB〔2〕∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC內(nèi)的相交直線∴CD⊥平面PAC∵CD?平面DPC，∴平面DPC⊥平面PAC過E點作EH⊥PC于H，由面面垂直的性質(zhì)定理，得EH⊥平面PAC∴EH∥CDRt△ACD中，AC=2，AD=4，∠ACD=90°，所以CD==2∵E是CD中點，EH∥CD，∴EH=CD=∵PA⊥AC，∴SRt△PAC==2因此，三棱錐E﹣PAC的體積V=S△PAC×EH=20．〔2016春?哈爾濱校級月考〕如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是線段PC中點，G為線段EC中點．〔Ⅰ〕求證：FG∥平面PBD；〔Ⅱ〕求證：BD⊥FG．【解答】證明：〔Ⅰ〕連接PE，G、F為EC和PC的中點，∴FG∥PE，F(xiàn)G?平面PBD，PE?平面PBD，∴FG∥平面PBD…〔6分〕〔Ⅱ〕∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，又PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，F(xiàn)G?平面PAC，∴BD⊥FG…〔14分〕21．〔2009?丹東二?！橙鐖D，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA1=1，AB=2，P為線段AB上的動點．〔I〕求證：CA1⊥C1P；〔II〕假設(shè)四面體P﹣AB1C1的體積為，求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．【解答】〔I〕證明：連接AC1，∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，又∵AB⊥AC．∴AB⊥平面A1ACC1．又∵CA1?平面A1ACC1，∴AB⊥CA1．〔2分〕∵AC=AA1=1，∴四邊形A1ACC1為正方形，∴AC1⊥CA1．∵AC1∩AB=A，∴CA1⊥平面AC1B．〔4分〕又C1P?平面AC1B，∴CA1⊥C1P．〔6分〕〔II〕解：∵AC⊥AB，AA1⊥AC，且C1A1⊥平面ABB1A，BB1⊥AB，由，知=，解得PA=1，P是AB的中點．〔8分〕連接A1P，那么PB1⊥A1P，∵C1A1⊥平面A1B1BA，∴PB1⊥C1A1，∴PB1⊥C1P，∴∠C1PA1是二面角的平面角，〔10分〕在直角三角形C1PA1中，，∴，即二面角的余弦值是22．〔2003?天津〕正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，點E為CC1中點，點F為BD1中點．〔1〕證明EF為BD1與CC1的公垂線；〔2〕求點D1到面BDE的距離．【解答】解：〔1〕取BD中點M．連接MC，F(xiàn)M．∵F為BD1中點，∴FM∥D1D且FM=D1D．又ECCC1且EC⊥MC，∴四邊形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1?面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF為BD1與CC1的公垂線．〔Ⅱ〕解：連接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．由〔Ⅰ〕知EF⊥面DBD1，設(shè)點D1到面BDE的距離為d．那么．∵AA1=2，AB=1．∴，，∴．∴故點D1到平面DBE的距離為．23．〔2013?廣州三模〕如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分別為PC，PB的中點．〔Ⅰ〕求證：PB⊥DM；〔Ⅱ〕求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．【解答】〔此題總分值13分〕解：〔Ⅰ〕解法1：∵N是PB的中點，PA=AB，∴AN⊥PB．∵PA⊥平面ABCD，所以AD⊥PA．又AD⊥AB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，AD⊥PB．又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN．∵DM?平面ADMN，∴PB⊥DM．…〔6分〕解法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點建設(shè)空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，設(shè)BC=1，可得，A〔0，0，0〕，P〔0，0，2〕，B〔2，0，0〕，C〔2，1，0〕，，D〔0，2，0〕．因為，所以PB⊥DM．…〔6分〕〔Ⅱ〕解法1：取AD中點Q，連接BQ和NQ，那么BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，∴CD與平面ADMN所成的角為∠BQN．設(shè)BC=1，在Rt△BQN中，那么，，故．所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為．…〔13分〕解法2：因為．所以PB⊥AD，又PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN，因此的余角即是CD與平面ADMN所成的角．因為．所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為．…〔13分〕24．〔2014?煙臺二?！吃谌缫韵铝袌D的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G為BC的中點．〔1〕求證：AB∥平面DEG；〔2〕求證：BD⊥EG；〔3〕求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．【解答】〔1〕證明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC，∵BC=2AD，G為BC的中點，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DG因為AB不在平面DEG中，DG在平面DEG內(nèi)，∴AB∥平面DEG．〔2〕證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，∵AE⊥EB，∴EB、EF、EA兩兩垂直．以點E為坐標(biāo)原點，EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，由得：A〔0，0，2〕，B〔2，0，0〕，C〔2，4，0〕，D〔0，2，2〕，F(xiàn)〔0，3，0〕，G〔2，2，0〕．∵，∴∴BD⊥EG．〔3〕解：由得是平面EFDA的法向量，設(shè)平面DCF的法向量為∵，∴，令z=1，得x=﹣1，y=2，即．設(shè)二面角C﹣DF﹣E的大小為θ，那么，∴∴二面角C﹣DF﹣E的正弦值為．25．〔2015?漳州模擬〕如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點．〔Ⅰ〕求證：AM∥面SCD；〔Ⅱ〕求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；〔Ⅲ〕設(shè)點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為θ，求sinθ的最大值．【解答】解：〔Ⅰ〕以點A為原點建設(shè)如以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，那么A〔0，0，0〕，B〔0，2，0〕，D〔1，0，0，〕，S〔0，0，2〕，M〔0，1，1〕．那么，，．設(shè)平面SCD的法向量是，那么，即令z=1，那么x=2，y=﹣1．于是．∵，∴．又∵AM?平面SCD，∴AM∥平面SCD．〔Ⅱ〕易知平面SAB的法向量為．設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為α，那么==，即．∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為．〔Ⅲ〕設(shè)N〔x，2x﹣2，0〕，那么．∴===．當(dāng)，即時，．26．〔2011?瓊海一?！橙鐖D，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．〔1〕證明：AB⊥A1C；〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．【解答】解：〔1〕證明：在△ABC中，由正弦定理可求得∴AB⊥AC以A為原點，分別以AB、AC、AA1為x、y、z軸，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，如圖那么A〔0，0，0〕B〔2，0，0〕即AB⊥A1C．〔2〕由〔1〕知設(shè)二面角A﹣A1C﹣B的平面角為α，=∴27．〔2012?日照二?！橙鐖D，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．〔1〕假設(shè)PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；〔2〕點M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．【解答】〔1〕證明：連BD，∵四邊形ABCD菱形，∠BAD=60°，∴△ABD為正三角形，∵Q為AD中點，∴AD⊥BQ∵PA=PD，Q為AD的中點，∴AD⊥PQ又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD∴平面PQB⊥平面PAD；〔2〕當(dāng)t=時，使得PA∥平面MQB，連AC交BQ于N，交BD于O，連接MN，那么O為BD的中點，又∵BQ為△ABD邊AD上中線，∴N為正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的邊長為a，那么AN=a，AC=a．∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN∴PA∥MN∴==即：PM=PC，t=；〔3〕由PA=PD=AD=2，Q為AD的中點，那么PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，以Q為坐標(biāo)原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建設(shè)如以下列圖的坐標(biāo)系，那么各點坐標(biāo)為A〔1，0，0〕，B〔0，，0〕〕，Q〔0，0，0〕，P〔0，0，〕設(shè)平面MQB的法向量為，可得，而PA∥MN，∴，∴y=0，x=∴取平面ABCD的法向量∴cos=∴二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°．28．〔2015?玉山縣校級模擬〕如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面AA1B1B為正方形，側(cè)面BB1C1C為菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．〔I〕求證：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；〔II〕求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【解答】證明：〔Ⅰ〕由側(cè)面AA1B1B為正方形，知AB⊥BB1．又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，又AB?平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．〔Ⅱ〕由題意，CB=CB1