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二次函數(shù)的最值2023/1/17.二次函數(shù)的最值問題重點(diǎn)掌握閉區(qū)間上的二函數(shù)的最值問題難點(diǎn)了解并會(huì)處理含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題核心區(qū)間與對稱軸的相對位置思想
數(shù)形結(jié)合分類討論
2023/1/17.復(fù)習(xí)引入
頂點(diǎn)式:y=a(x-m)2+n(a0)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0)一般式:y=ax2+bx+c(a0)=a(x+)2+a>0時(shí)開口向上
x=-ymin=a<0時(shí)開口向下x=-ymax=
這些你都記得嗎?2023/1/17.
新課一、閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值對于任意的二次函數(shù)如f(x)=a(x-m)2+n(a>0)時(shí)在區(qū)間[h,k]上的最值問題則有:1、若m∈[h,k]則ymin=n;ymax=max{f(h),f(k)}如下圖:mhknhkm2023/1/17.2、若m[h,k]則ymin=minf(h),f(k);ymax=maxf(h),f(k)如下圖:
思考題:二次函數(shù)如f(x)=a(x-m)2+n(a<0)時(shí)在區(qū)間[h,k]上的最值又如何呢?hkmhkm2023/1/17.1.若m∈[h,k]則ymax=n;ymin=min{f(h),f(k)}如下圖:mhkhkmnhkmhkm2、若m[h,k]則ymax=max{f(h),f(k)};ymin=max{f(h),f(k)}如下圖:2023/1/17.即當(dāng)x=-1時(shí)ymin=-4;當(dāng)x=2時(shí)ymax=f(2)=5練習(xí)1求函數(shù)y=x2-2x-3且x[0,3]的最值?例題1已知函數(shù)y=x2+2x-3且x[-2,2],求函數(shù)的最值?解析:函數(shù)配方有y=(x+1)2-4如右圖2023/1/17.例題2已知函數(shù)y=-x2-2x+3且x[0,2],求函數(shù)的最值?
解析:y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4因?yàn)閤[0,2]如右圖則ymax=f(0)=0+0+3=3ymin=f(2)=-4-4+3=-5練習(xí)2求函數(shù)y=-x2+2x+3且x[0,2]的最值?2023/1/17.二、含參變量的二次函數(shù)最值問題
解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2的對稱軸為x=-a。要求最值則要看x=-a是否在區(qū)間[-2,2]之內(nèi),則從以下幾個(gè)方面解決如圖:1、軸動(dòng)區(qū)間靜2、軸靜區(qū)間動(dòng)例3:求函數(shù)y=x2+2ax+3在x[-2,2]時(shí)的最值?2023/1/17.ⅠⅡⅢⅣ-a2023/1/17.Ⅱ當(dāng)-2<-a≤0時(shí)f(x)max=f(2)=7+4a(0≤a<2)f(x)min=f(-a)=3-a2
Ⅰ當(dāng)-a≤-2時(shí)f(x)max=f(2)=7+4a(a≥2)時(shí)f(x)min=f(-2)=7-4aⅢ當(dāng)0<-a≤2時(shí)f(x)max=f(-2)=7-4a(-2≤a<0)f(x)min=f(-a)=3-a2
Ⅳ當(dāng)-a>2時(shí)f(x)max=f(-2)=7-4a(a≤-2)f(x)min=f(2)=7+4a則由上圖知解為:2023/1/17.
例4求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]的函數(shù)的最值?解析:
因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x-3=(x-1)2-4的對稱軸為x=1固定不變,要求函數(shù)的最值,即要看區(qū)間[k,k+2]與對稱軸x=1的位置,則從以下幾個(gè)方面解決如圖:2023/1/17.X=1kK+22023/1/17.則由上圖知解為:當(dāng)k+2≤1(k≤-1)時(shí)f(x)max=f(k)=k2-2k-3f(x)min=f(k+2)=k2+2k+3當(dāng)k<1<k+2時(shí)f(x)max=max{f(k),f(k+2)}(-1<k<1)f(x)min=f(1)=-4當(dāng)k≥1時(shí)f(x)max=f(k+2)=k2+2k+3f(x)min=f(k)=k2-2k-3
2023/1/17.例5求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[-3,m]函數(shù)的最值?解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x-3=(x-1)2-4的對稱軸為x=1固定不變,要求函數(shù)的最值,即要根據(jù)具體的區(qū)間[-3,m]與對稱軸x=1的位置,則從以下兩個(gè)方面解決如圖:2023/1/17.m2023/1/17.則由上圖知解為:Ⅰ當(dāng)-3<m≤1時(shí)f(x)max=f(-3)=12f(x)min=f(m)=m2+2m+3
Ⅱ當(dāng)1<m時(shí)f(x)max=max{f(-3),f(m)}f(x)min=f(1)=-4練習(xí)3求函數(shù)y=x2-2ax-3在x∈[0,3]的最值?
練習(xí)4求
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