2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)分類匯編-數(shù)列

全國(guó)2023年高考數(shù)學(xué)(理科)分類匯編1(2023福建理)3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和，假設(shè)，那么()2(2023廣西理)10.等比數(shù)列中，，那么數(shù)列的前8項(xiàng)和等于()A．6B．53(2023廣西文)8.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，假設(shè)那么〔〕A．31B．32C．63D．644(2023重慶文)2.在等差數(shù)列中,，那么〔〕5(2023遼寧文理)8.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，假設(shè)數(shù)列為遞減數(shù)列，那么〔〕A.B.C.D.6(2023天津文)5.設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，假設(shè)成等比數(shù)列，那么=〔〕A.2B.-2C.D.7(2023課標(biāo)2文)〔5〕等差數(shù)列的公差為2，假設(shè)，，成等比數(shù)列，那么的前n項(xiàng)和=()〔A〕〔B〕〔C〕(D)8(2023重慶理)2.對(duì)任意等比數(shù)列,以下說(shuō)法一定正確的是〔〕成等比數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列9(2023安徽理)12.數(shù)列是等差數(shù)列，假設(shè)，，構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，那么________.10(2023安徽文)12.如圖，學(xué)科網(wǎng)在等腰直角三角形中，斜邊，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為；過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為；過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為；…，以此類推，設(shè)，，，…，，那么________.11(2023北京理)9.假設(shè)等差數(shù)列滿足，，那么當(dāng)______時(shí)的前項(xiàng)和最大.12(2023廣東理)13．假設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，那么.13(2023廣東文)13.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且,那么14(2023江蘇文理)7.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,那么的值是.15(2023江西文)14.在等差數(shù)列中，，公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，那么的取值范圍_______.16(2023天津理)〔11〕設(shè)是首項(xiàng)為，公差為-1的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和.假設(shè)成等比數(shù)列，那么的值為_(kāi)_________.17(2023課標(biāo)2文)〔16〕數(shù)列滿足，=2，那么=_________.【答案】9.110.11.812.13.514.415.16.17.全國(guó)2023年高考數(shù)學(xué)(文史)分類匯編1(2023重慶文)16.是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，表示的前項(xiàng)和.〔=1\*ROMANI〕求及；〔Ⅱ〕設(shè)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比滿足，求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.【點(diǎn)撥】(=1\*ROMANI);(Ⅱ)由得,所以2(2023重慶理)22.設(shè)(1)假設(shè)，求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)假設(shè)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)使得對(duì)所有成立？證明你的結(jié)論.【點(diǎn)撥】(1)猜想(可數(shù)歸完成);(2)設(shè)函數(shù),令得不動(dòng)點(diǎn).仿(1)得用數(shù)學(xué)歸納法可證明:.事實(shí)上,顯然成立..假定當(dāng)成立,那么當(dāng).又這就是說(shuō)當(dāng)也成立.…3(2023浙江文)19、等差數(shù)列的公差，設(shè)的前n項(xiàng)和為，，.〔1〕求及；〔2〕求〔〕的值，使得【點(diǎn)撥】(1);〔2〕….4(2023浙江理)19.數(shù)列和滿足.假設(shè)為等比數(shù)列，且(1)求與；(2)設(shè).記數(shù)列的前項(xiàng)和為.〔i〕求；〔ii〕求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有.【點(diǎn)撥】(1)兩式相除得.從而.由(2).所以(分組裂項(xiàng))(ii),易見(jiàn),.可見(jiàn)最大,即.5(2023課標(biāo)2理)17.數(shù)列滿足=1，.〔Ⅰ〕證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕證明：.【點(diǎn)撥】〔Ⅰ〕在中兩邊加:,可見(jiàn)數(shù)列是以3為公比,以為首項(xiàng)的等比數(shù)列.故.〔Ⅱ〕法1(放縮法)法2(數(shù)學(xué)歸納法)先證一個(gè)條件更強(qiáng)的結(jié)論:.事實(shí)上,,等號(hào)成立.,新命題成立..假定對(duì)于新命題成立,即,那么對(duì)于的情形,我們有:…所以6(2023天津文理)19.和均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合，集合〔Ⅰ〕當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；〔Ⅱ〕設(shè)，，，其中，.證明：假設(shè)，那么.【點(diǎn)撥】〔Ⅰ〕解：當(dāng)，時(shí)，，.其中的分布:可得，.〔Ⅱ〕證明：由，，，，及，可得.所以，.7(2023四川文)19.設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上〔〕.〔Ⅰ〕證明：數(shù)列為等比數(shù)列；〔Ⅱ〕假設(shè)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)撥】〔Ⅰ〕…〔Ⅱ〕，.切線方程,依題設(shè)有,.從而(等比差數(shù)列,乘公比、錯(cuò)位相減)得8(2023四川理)19．設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上〔〕.〔1〕假設(shè)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項(xiàng)和；〔2〕假設(shè)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)撥】〔1〕.;〔2〕，.切線方程,依題設(shè)有,.從而(等比差數(shù)列,乘公比、錯(cuò)位相減)得9(2023上海文)23.數(shù)列滿足(1)假設(shè)，求的取值范圍；(2)假設(shè)是等比數(shù)列，且，求正整數(shù)的最小值，以及取最小值時(shí)相應(yīng)的公比；(3)假設(shè)成等差數(shù)列，求數(shù)列的公差的取值范圍.【點(diǎn)撥】(1)由;(2)易見(jiàn)又,..(3)①.取.綜上.10(2023上海理)23.數(shù)列滿足.(1)假設(shè)，求的取值范圍；(2)沒(méi)是公比為等比數(shù)列，，求的取值范圍；(3)假設(shè)成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.【點(diǎn)撥】(1)由;(2)由，結(jié)合.下面證明任意的,上式都成立.①當(dāng)時(shí),顯然成立.②當(dāng)時(shí),其中左不等式顯然成立.對(duì)于右不等式等價(jià)于:.令,要使,只需即.結(jié)合,所以.(3)①.取.,,從而當(dāng).11(2023山東文)(19)在等差數(shù)列中，公差，是與的等比中項(xiàng).〔Ｉ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔II〕設(shè)，記，求.【點(diǎn)撥】〔Ｉ〕,〔Ⅱ〕(分奇偶討論求和)12(2023山東理)19.等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.

〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.得到【點(diǎn)撥】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕(分奇偶討論,最后合并).13(2023課標(biāo)1文)17.是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根?！?1\*ROMANI〕求的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕求數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)撥】〔Ⅰ〕韋達(dá)定理，;〔Ⅱ〕(差比數(shù)列,乘公比、錯(cuò)位相減).14(2023課標(biāo)1理)17.數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，=1，，，其中為常數(shù).(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)是否存在，使得{}為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由.【點(diǎn)撥】〔Ⅰ〕;(Ⅱ)由〔Ⅰ〕知,從而即,這說(shuō)明隔工程抽出來(lái)的子數(shù)列是公差為4的等差數(shù)列,那么原母數(shù)列應(yīng)是公差為2的等差數(shù)列.15(2023江西文)17.數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)任意，都有，使得成等比數(shù)列.【點(diǎn)撥】(1)(也適用),故.(2),所以命題成立.16(2023江西理)17.首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列，滿足.(1)令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)假設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【點(diǎn)撥】(1)由,可見(jiàn)數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,.(2).(差比數(shù)列,乘公比、錯(cuò)位相減).故.17(2023江蘇文理)20.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.假設(shè)對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，那么稱是“H數(shù)列〞.(1)假設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和(N),證明:是“H數(shù)列〞;(2)設(shè)是等差數(shù)列,其首項(xiàng),公差.假設(shè)是“H數(shù)列〞,求的值；(3)證明：對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“H數(shù)列〞和，使得(N)成立.【點(diǎn)撥】為表達(dá)方便,稱“H數(shù)列〞為“回歸數(shù)列〞(1),回歸點(diǎn)為.(2)又.令..因?yàn)榕c總有一個(gè)是偶數(shù),所以,存在回歸點(diǎn).,這時(shí).例如.(3)令.對(duì)于,其前項(xiàng)和令得回歸點(diǎn).對(duì)于,同法可得回歸點(diǎn).因?yàn)橛泄餐貧w點(diǎn),故命題得到證.18(2023湖南文)16.數(shù)列的前項(xiàng)和.(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)撥】(I);(Ⅱ).(分組求和,并項(xiàng)求和)19(2023湖南理)20．?dāng)?shù)列{}滿足(1)假設(shè){}是遞增數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的值；(2)假設(shè)，且{}是遞增數(shù)列，{}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式．【點(diǎn)撥】(1),由.(2){}是遞增數(shù)列,,上式中兩括號(hào)內(nèi)必有點(diǎn)一個(gè)為正,注意到,故后者為正.;同理,.兩式合并為(類等差用疊加).20(2023湖北文理)19．等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列.〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得？假設(shè)存在，求的最小值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.【點(diǎn)撥】(I).〔Ⅱ〕①常數(shù)列顯然不成立.②由.故最小的.21(2023廣西文)17.數(shù)列滿足.〔1〕設(shè)，證明是等差數(shù)列；〔2〕求的通項(xiàng)公式.【點(diǎn)撥】〔1〕由得即.可見(jiàn)數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列.〔2〕由〔1〕得到.(這是“類等差〞數(shù)列,用疊加)疊加結(jié)果:.22(2023廣西理)18.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，為整數(shù)，且.〔1〕求的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【點(diǎn)撥】(1)因?yàn)樽畲?〔2〕.23(2023廣東文)19.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【點(diǎn)撥】由(1);(2)=.24(2023廣東理)19.設(shè)數(shù)列的前和為,滿足且(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【點(diǎn)撥】(1)由題設(shè)有解之得(2)(猜想,歸納).猜想:事實(shí)上,如前所述,猜想成立.假定對(duì)于猜想成立,那么也成立.那么對(duì)于的情形我們有:,猜想也成立.…25(2023福建文)在等比數(shù)列中，.(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)撥】(1)26(2023北京文)15.是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.〔1〕求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；〔2〕求數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)撥】(1)又,〔2〕(分組求和).27(2023安徽文)18.數(shù)列滿足(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(