上海市民辦常青高級中學2022年高二數(shù)學理模擬試卷含解析

上海市民辦常青高級中學2022年高二數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在一次國際學術會議上，來自四個國家的五位代表被安排坐在一張圓桌，為了使他們能夠自由交談，事先了解到的情況如下：甲是中國人，還會說英語．乙是法國人，還會說日語．丙是英國人，還會說法語．丁是日本人，還會說漢語．戊是法國人，還會說德語．則這五位代表的座位順序應為（）A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊 C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁參考答案：D【考點】F4：進行簡單的合情推理．【分析】這道題實際上是一個邏輯游戲，首先要明確解題要點：甲乙丙丁戊5個人首尾相接，而且每一個人和相鄰的兩個人都能通過語言交流，而且4個備選答案都是從甲開始的，因此，我們從甲開始推理．【解答】解：根據(jù)題干和答案綜合考慮，運用排除法來解決，首先，觀察每個答案中最后一個人和甲是否能夠交流，戊不能和甲交流，因此，B，C不成立，乙不能和甲交流，A錯誤，因此，D正確．2.過原點作圓（為參數(shù)）的兩條切線，則這兩條切線所成的銳角為A. B. C. D.參考答案：C【分析】將參數(shù)方程化為普通方程，可得圓心與原點之間距離和半徑，先求解出一條切線與軸所成角，再得到所求角.【詳解】由得圓的方程為：則半徑為：3；圓心與原點之間距離為：設一條切線與軸夾角為，則

根據(jù)對稱性可知，兩條切線所成銳角為：本題正確選項：【點睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程、直線與圓位置關系中的相切關系，關鍵在于能夠通過相切的條件，得到半角的正弦值.3.已知橢圓的兩個焦點分別為，是橢圓上的一點，且，則橢圓的標準方程是（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A4.已知>0,,直線=和=是圖像的兩條相鄰對稱軸,則=（

）A．

B． C．

D．參考答案：A略5.已知復數(shù)滿足，其中是的共軛復數(shù)，，則復數(shù)的虛部為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D設復數(shù)，由題得所以復數(shù)z的虛部為故選D.

6.若=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），則?（+）=（）A．4 B．15 C．7 D．3參考答案：D【考點】空間向量的數(shù)量積運算；空間向量運算的坐標表示．【分析】先求出+，再利用空間向量的數(shù)量積公式，求出?（+）．【解答】解：∵=（2，0，3），=（0，2，2），∴+=（2，2，5），∴?（+）=2×2+（﹣3）×2+1×5=3，故選D．7.已知復數(shù)，那么對應的點位于復平面內(nèi)的A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限參考答案：D8.在棱長為的正方體中，，分別為線段，（不包括端點）上的動點，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略9.已知F為雙曲線C：的左焦點，P，Q為C右支上的點，若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A（5，0）在線段PQ上，則△PFQ的周長為（）A．28 B．36 C．44 D．48參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意畫出雙曲線圖象，然后根據(jù)雙曲線的定義“到兩定點的距離之差為定值2a“解決．求出周長即可．【解答】解：∵雙曲線C：的左焦點F（﹣5，0），∴點A（5，0）是雙曲線的右焦點，則b=4，即虛軸長為2b=8；雙曲線圖象如圖：∵|PF|﹣|AP|=2a=6

①|(zhì)QF|﹣|QA|=2a=6

②而|PQ|=16，∴①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，∴周長為l=|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44，故選：C．10.等差數(shù)列{an}中，a7+a9=16，a4=1，則a12=(

)A．15 B．30 C．31 D．64參考答案：A【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由a7+a9=16可得2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，從而求得a12的值．【解答】解：設公差等于d，由a7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得a1=﹣，d=．故a12=a1+11d=﹣+=15，故選：A．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的等差數(shù)列的通項公式的應用，求出首項和公差d的值，是解題的關鍵，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的導函數(shù) ．參考答案：12.焦點在直線上，且頂點在原點的拋物線標準方程為

_____

___。參考答案：x2=-12y或y2=16x13.已知且滿足,則的最小值為

參考答案：1814.計算定積分（x2+sinx）dx=．參考答案：【考點】定積分．【分析】求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再計算定積分的值．【解答】解：由題意，定積分===．故答案為：．15.一輪船向正北方向航行，某時刻在A處測得燈塔M在正西方向且相距海里，另一燈塔N在北偏東30°方向，繼續(xù)航行20海里至B處時，測得燈塔N在南偏東60°方向，則兩燈塔MN之間的距離是

海里．參考答案：

16.集合A＝{}，B＝{}．若A∩B有且只有一個元素，則實數(shù)a的值為______參考答案：0或－2略17.當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）設等差數(shù)列的前項和為，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式（Ⅱ）設數(shù)列的前項和為，且（為常數(shù)）。令，求數(shù)列的前項和參考答案：（Ⅰ）設等差數(shù)列的首項為，公差為.

由得

………3分

解得

因此

.…………5分

整理得

所以

數(shù)列的前項和

………13分19.已知拋物線E的頂點在原點，焦點為雙曲線的右焦點，(Ⅰ)求拋物線E的方程；(Ⅱ)已知過拋物線E的焦點的直線交拋物線于A,B兩點，且|AB|長為12，求直線AB的方程.參考答案：解：(Ⅰ)雙曲線焦點為（，0），設E：，則，(Ⅱ)當過焦點的直線斜率不存在時，弦長為6，不合題意；設過焦點的直線為代入得方程由韋達定理得，再由拋物線定義知|AB|=+p=+3=12解得,所求直線方程為.略20.(10分)已知橢圓的中心在原點，焦點為F1，F(xiàn)2（0，），且離心率。

（I）求橢圓的方程；

（II）直線l（與坐標軸不平行）與橢圓交于不同的兩點A、B，且線段AB中點的橫坐標為，求直線l傾斜角的取值范圍。參考答案：解：（I）設橢圓方程為

解得

a=3，所以b=1，故所求方程為

………………4分

（II）設直線l的方程為代入橢圓方程整理得

…………5分

由題意得

…………7分

解得

又直線l與坐標軸不平行

………………10分故直線l傾斜角的取值范圍是

……………12分21.如圖，已知定圓C：x2+（y﹣3）2=4，定直線m：x+3y+6=0，過A（﹣1，0）的一條動直線l與直線相交于N，與圓C相交于P，Q兩點，M是PQ中點．（Ⅰ）當l與m垂直時，求證：l過圓心C；（Ⅱ）當時，求直線l的方程；（Ⅲ）設t=，試問t是否為定值，若為定值，請求出t的值；若不為定值，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系；平面向量數(shù)量積的運算；直線的一般式方程．【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知，容易寫出直線l的方程為y=3（x+1）．將圓心C（0，3）代入方程易知l過圓心C．（Ⅱ）過A（﹣1，0）的一條動直線l．應當分為斜率存在和不存在兩種情況；當直線l與x軸垂直時，進行驗證．當直線與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+1），由于弦長，利用垂徑定理，則圓心C到弦的距離|CM|=1．從而解得斜率K來得出直線l的方程為．（Ⅲ）同樣，當l與x軸垂直時，要對設t=，進行驗證．當l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1），代入圓的方程得到一個二次方程．充分利用“兩根之和”和“兩根之積”去找．再用兩根直線方程聯(lián)立，去找．從而確定t=的代數(shù)表達式，再討論t是否為定值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，故kl=3，所以直線l的方程為y=3（x+1）．將圓心C（0，3）代入方程易知l過圓心C．（Ⅱ）當直線l與x軸垂直時，易知x=﹣1符合題意；當直線與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+1），由于，所以|CM|=1．由，解得．故直線l的方程為x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（Ⅲ）當l與x軸垂直時，易得M（﹣1，3），，又A（﹣1，0）則，，故．即t=﹣5．當l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1），代入圓的方程得（1+k2）x2+（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+5=0．則，，即，=．又由得，則．故t=．綜上，t的值為定值，且t=﹣5．另解一：連接CA，延長交m于點R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，故△ANR∽△AMC．于是有|AM|?|AN|=|AC|?|AR|．由，得|AM|?|AN|=5．故．另解二：連接CA并延長交直線m于點B，連接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m