廣西壯族自治區(qū)柳州市鹿寨縣雒容中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

廣西壯族自治區(qū)柳州市鹿寨縣雒容中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若向量，滿足，與的夾角為60°，則等于（

）A. B. C.4 D.12參考答案：B【分析】將平方后再開方去計(jì)算模長(zhǎng)，注意使用數(shù)量積公式.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模長(zhǎng)計(jì)算，難度一般.對(duì)于計(jì)算這種形式的模長(zhǎng)，可通過先平方再開方的方法去計(jì)算模長(zhǎng).2.已知實(shí)數(shù)x，y滿足ax＜ay（0＜a＜1），則下列關(guān)系式恒成立的是(

)A．x3＞y3 B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1） D．＞參考答案：A【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】本題主要考查不等式的大小比較，利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【解答】解：∵實(shí)數(shù)x，y滿足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，A．當(dāng)x＞y時(shí)，x3＞y3，恒成立，B．當(dāng)x=π，y=時(shí)，滿足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），則等價(jià)為x2＞y2成立，當(dāng)x=1，y=﹣1時(shí)，滿足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，則等價(jià)為x2+1＜y2+1，即x2＜y2，當(dāng)x=1，y=﹣1時(shí)，滿足x＞y，但x2＜y2不成立．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，利用不等式的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．3.若雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的方程是（

）．A. B. C. D.參考答案：A【分析】先由漸近線方程，設(shè)雙曲線方程為，再由題意，即可求出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，∵雙曲線過，代入方程得，∴雙曲線方程：．故選A．4.一個(gè)袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個(gè)球同色的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A5.曲線的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ化為直角坐標(biāo)為（）A．x2+（y+2）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=4參考答案：B【考點(diǎn)】Q7：極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別；Q8：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．【分析】曲線的極坐標(biāo)方稱即ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．【解答】解：曲線的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，化簡(jiǎn)為x2+（y﹣2）2=4，故選：B．6.已知a>0且a≠1，則兩函數(shù)f(x)＝ax和g(x)＝loga的圖象只可能是()參考答案：C略7.

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.甲乙進(jìn)行圍棋比賽約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽結(jié)束，每局中甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，各局比賽相互獨(dú)立，已知前2局中，甲、乙各勝1局，則再賽2局結(jié)束這次比賽的概率為（

）A.0.36

B.0.52

C.0.24

D.0.648參考答案：B略9.已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若cosB=，b=2，sinC=2sinA，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】正弦定理．

【專題】解三角形．【分析】由題意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sinB，代入三角形的面積公式計(jì)算可得．【解答】解：∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，又cosB=，b=2，由余弦定理可得22=a2+（2a）2﹣2a?2a×，解得a=1，∴c=2，又cosB=，∴sinB==，∴△ABC的面積S=acsinB=×=故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積，涉及正余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．10.已知a,b,c?R,則下面推理中正確的是(

)A、a>bam2>bm2

B、a>b

C、a3>b3,ab>0

D、a2>b2,ab>0參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果正整數(shù)的各位數(shù)字之和等于7，那么稱為“幸運(yùn)數(shù)”（如：7，25，2014等均為“幸運(yùn)數(shù)”），將所有“幸運(yùn)數(shù)”從小到大排成一列若，則_________．參考答案：6612.如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，則不同的涂色方法共有__________種（用數(shù)字作答）．參考答案：630.【分析】分別計(jì)算第三個(gè)格子與第一個(gè)格子同色，以及第三個(gè)格子與第一個(gè)格子不同色，所對(duì)應(yīng)的不同涂色方法，即可求出結(jié)果.【詳解】用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，若第三個(gè)格子與第一個(gè)格子同色，則有種涂色方法；若第三個(gè)格子與第一個(gè)格子不同色，則有種涂色方法；綜上，共有種涂色方法.故答案為630【點(diǎn)睛】本題主要考查排列中的涂色問題，根據(jù)分類討論的思想，即可求解，屬于?？碱}型.13.如圖，直角梯形A1BA2C中，A1C=CA2，5A1B=4A1C，M是A1B的中點(diǎn)，N是BA2上的動(dòng)點(diǎn)，將△A1CM沿MC折起，將△CNA2沿CN折起，使A1和A2重合為A點(diǎn)，設(shè)AC和平面CMN所成的最大角是α，則tanα=

。

參考答案：14.設(shè)函數(shù)，若，則

．參考答案：15.OX，OY，OZ是空間交于同一點(diǎn)O的互相垂直的三條直線，點(diǎn)到這三條直線的距離分別為3，4，5，則長(zhǎng)為_______.參考答案：516.在極坐標(biāo)系中，直線ρsinθ+ρcosθ=2被圓ρ=2截得的弦長(zhǎng)為

．參考答案：4【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】36：整體思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5S：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出弦心距，再利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)．【解答】解：∵直線ρsinθ+ρcosθ=2，∴直角坐標(biāo)方程為x+y﹣2=0，圓ρ=2即x2+y2=8，表示以原點(diǎn)為圓心、半徑等于2的圓．弦心距d==2，可得弦長(zhǎng)為2=2=4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．17.已知F1,F2分別是橢圓C:的左右焦點(diǎn)，A是其上頂點(diǎn)，且是等腰直角三角形，延長(zhǎng)AF2與橢圓C交于另一點(diǎn)B,若的面積是8，則橢圓C的方程是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，，E,F是PA和AB的中點(diǎn)。（1）求證：EF||平面PBC;（2）求E到平面PBC的距離。參考答案：見解析【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)線面的位置關(guān)系（1）證明：

又

故（2）解：在面ABCD內(nèi)作過F作

…

又，，

又，故點(diǎn)E到平面PBC的距離等于點(diǎn)F到平面PBC的距離FH。

在直角三角形FBH中，，

…故點(diǎn)E到平面PBC的距離等于點(diǎn)F到平面PBC的距離等于。19.如圖，已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為2，離心率為．過橢圓的左焦點(diǎn)F1任意作一條直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線l的斜率k=1時(shí)，求三角形ABF2的面積；（3）當(dāng)直線l繞F1旋轉(zhuǎn)變化時(shí)，求三角形ABF2的面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由=2，e==，求得a和c的值，b2=a2﹣c2，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由（1）可知：直線l的方程為y=x+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得△ABF2的面積；（3）設(shè)直線l的方程為x=my﹣1，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及函數(shù)的單調(diào)性記錄求得△ABF2的面積的最大值．【解答】解：（1）由題意可知：=2，e==，解得：a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）直線l的方程為y=x+1，則，整理得：7y2﹣6y﹣9=0，則y1+y2=，y1?y2=﹣，丨y1﹣y2丨==，∴三角形ABF2的面積S=×2c×丨y1﹣y2丨=；三角形ABF2的面積；（3）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=my﹣1，，整理得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由韋達(dá)定理可知：y1+y2=，y1?y2=﹣，丨y1﹣y2丨==，設(shè)t=t≥1，則m2=t2﹣1，丨y1﹣y2丨===，f（t）=3t+，f′（t）=3﹣＞0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增，則當(dāng)t=1時(shí)，丨y1﹣y2丨有最大值3，故三角形ABF2的面積的最大值為S=×2c×丨y1﹣y2丨max=3，綜合可知：△ABF2的面積的最大值．20.(本題滿分14分)已知直線（為參數(shù)），圓（為參數(shù)）

(1)當(dāng)=時(shí),求與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作的垂線,垂足為A,P為OA的中點(diǎn).當(dāng)變化時(shí),求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線.參考答案：解:(1)當(dāng)α=時(shí),C1的普通方程為y=

(x-1),C2的普通方程為x2+y2=1.（4分）聯(lián)立方程組

（6分）(2)C1的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0.（7分）A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2α,-cosαsinα).（9分）故當(dāng)α變化時(shí),P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為21.（本小題滿分10分）已知關(guān)于的不等式．(1)當(dāng)時(shí)，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：22.已知函數(shù)f（x）=sinx﹣2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間上的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的最值．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函數(shù)的周期性及其求法