《合情推理與演繹推理》設(shè)計市賽獲獎

《合情推理與演繹推理》教學設(shè)計（1）【內(nèi)容分析】：類比是重要的推理方法，在掌握一定的數(shù)學基礎(chǔ)知識（如數(shù)列、立體幾何、空間向量等等）后，對數(shù)學問題的探究方法加以總結(jié)，上升為思想方法?！窘虒W目標】：1．知識與技能：（1）結(jié)合數(shù)學實例，了解類比推理的含義（2）能利用類比方法進行簡單的推理，2．過程與方法：通過課例，加深對類比這種思想方法的認識。3．情感態(tài)度與價值觀：體驗并認識類比推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用?！窘虒W重點】：（1）體會并實踐類比推理的探索過程（2）類比推理的局限【教學難點】：引導和訓練學生從已知的線索中歸納出正確的結(jié)論【教學課時】：1課時【教學過程設(shè)計】：一、問題情景學生閱讀1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸2.仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發(fā)明了潛水艇3.科學家對火星進行研究,發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征;1)火星也繞太陽運行、饒軸自轉(zhuǎn)的行星;2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更;3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學家猜想;火星上也可能有生命存在.4．利用平面向量的本定理類比得到空間向量的基本定理.引入課題通過閱讀教材體會類比推理的思維過程二、概念教學由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理.簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比練習：(i)圓有切線，切線與圓只交于一點，切點到圓心的距離等于半徑.由此結(jié)論如何類比到球體？(ii)平面內(nèi)不共線的三點確定一個圓，由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論？由圓的一些特征，類比得到球體的相應特征.（教材73探究填表）小結(jié)：平面→空間，圓→球，線→面.討論：以平面向量為基礎(chǔ)學習空間向量，試舉例其中的一些類比思維.類比推理――聯(lián)想――普遍聯(lián)系三、例題講解例2：類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質(zhì).（得到如下表格）類比角度實數(shù)的加法實數(shù)的乘法運算結(jié)果若則若則運算律逆運算加法的逆運算是減法，使得方程有唯一解乘法的逆運算是除法，使得方程有唯一解單位元例3、類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.思維：直角三角形中，，3條邊的長度，2條直角邊和1條斜邊；→3個面兩兩垂直的四面體中，，4個面的面積和3個“直角面”和1個“斜面”.→拓展：三角形到四面體的類比.例4、（可作為研究性學習材料）分析探索過程四、課堂訓練例:(2022年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應成為所推廣命題的一個特例。解析：類比猜想1)圓心2）半徑推廣的命題為：設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2①與(x-c)2+(y-d)2=r2②（a≠c或b≠d),則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程。五、小結(jié)類比推理的幾個特點1）類比是從已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認識為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.2）類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3）類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.練習P931，，;P9411）聯(lián)想2）探索性3）不確定性指出類比推理的結(jié)果不一定可靠【練習與測試】：（基礎(chǔ)題）1）已知扇形的弧長為l,半徑為r，類比三角形的面積公式S＝，可知扇形的面積公式為_________2)類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認為比較恰當?shù)氖牵ǎ俑骼忾L相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等A．①；B．①②；C．①②③；D．③3)由“正三角形的兩腰相等”可以類比推出正棱錐的類似屬性是4）定義運算ab=則對xR，函數(shù)f(x)=1x的解析式為__________。5）三角形的面積公式為S＝（a,h分別表示三角形的邊和該邊上的高），類比四面體的體積V＝6）在三角形ABC中，于D，則有，類比此性質(zhì)，給出空間四面體的一個猜想，并判斷該猜想是否正確。答案：1）s=2）C3）正棱錐的側(cè)棱長相等4）f(x)=1x＝5）四面體的體積V＝（S,h分別表示四面體的底面積和該面上的高）6）在棱錐S－ABC中，，則（中等題）1）a,b為實數(shù)，則由或，類比向量運算中可以得出什么結(jié)論？2）若三角形的內(nèi)切圓半徑為r三邊的長分別為a,b,c,則三角形的面積根據(jù)類比思想，若四面體的內(nèi)切球半徑為r，四個面的面積分別為，則此四面體的體積V＝_________3)在中，若，則的外接圓半徑，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體中，若兩兩垂直，，則四面體的外接球半徑_______．4)六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體.如圖1在平行四邊形ABCD中，有AC2+BD2=2(AB2+AD2)，那么在圖2所示的平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，有AC12+BD12+CA12+DB12=（）.A．2（AB2+AD2+AA12）B．3（AB2+AD2+AA12）C．4（AB2+AD2+AA12）D．4（AB2+AD2）答案：1）或2）V＝3）4）C（難題）1）若數(shù)列是等差數(shù)列，對于，則數(shù)列也是等差數(shù)列。類比上述性質(zhì)，若數(shù)列是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，對于，則=時，數(shù)列也是等比數(shù)列。2）如圖，已知命題：若矩形ABCD的對角線BD與邊AB和BC所成角分別為，則若把它推廣到長方體ABCD—A1B1C1D1中，試寫出相應命題形