AR算法圖像重構(gòu)

圖像重建概述圖像重建是圖像處理中的一個重要分支，廣泛地應用于物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖像的檢測和觀察中，它是一種無損檢測技術(shù)。關(guān)于圖像處理的一些基本內(nèi)容，如對圖像的幾何處理，圖像的增強，還有復原等，均是從圖像到圖像，即輸入的原始數(shù)據(jù)是圖像，處理后輸出的仍是圖像。而圖像重建是從數(shù)據(jù)到圖像。圖像重建的三種常用檢測模型：透射模型、發(fā)射模型、反射模型---我們從CT談起計算機層析成像（ComputedTomography,CT）是通過對物體進行不同角度的射線投影測量來獲取物體橫截面信息的成像技術(shù)。CT的核心技術(shù)是由投影數(shù)據(jù)來重建圖像的理論，其實質(zhì)是由掃描所得到的的投影數(shù)據(jù)來求出成像平面上每個點的衰減系數(shù)值。二維投影與CT值當強度為的x-ray通過吸收率為μ(x,y)的均勻吸收物體，由于均勻吸收，則I必是指數(shù)下降，則有這里s表示射線經(jīng)過的體內(nèi)距離長度1、我們假設(shè)切片（物體橫截面，斷面）無限薄。

2、我們認為,一幅圖像在任意點(x,y)上的灰度值

正比于那個點的相對線性衰減系數(shù)μ(x,y)。CT任意角度掃描經(jīng)坐標系旋轉(zhuǎn)變換后可得：所以所謂投影是測量值，是吸收系數(shù)沿著射線經(jīng)過直線的積分。實際上的問題是沿著若干條直線的積分估算值來計算μ(x,y)值。而對于任意角度掃描，需要用旋轉(zhuǎn)坐標來描述問題，建立置于掃描系統(tǒng)之上的旋轉(zhuǎn)坐標系，即讓射線束與旋轉(zhuǎn)坐標系的軸平行：所以θ角每旋轉(zhuǎn)1度就可以取一組投影數(shù)據(jù)，可得到180組不同的投影。CT就是在收集各角度θ的投影數(shù)據(jù)后，利用重建算法處理得到物體的圖像。是離散值，是測出值！Radon變換Radon變換是計算圖像在某一指定角度射線方向上的投影的變換方法。二維函數(shù)f(x,y)的投影是其在確定方向上的線積分，如下圖所示，二維函數(shù)f(x,y)在水平方向的線積分就是f(x,y)在y軸上的投影，二維函數(shù)f(x,y)在垂直方向的線性積分就是f(x,y)在x軸上的投影。Radon變換（續(xù)）由此，可以沿任意角度計算函數(shù)的投影，計算圖像f(x,y)在任意角度的Radon變換。中心切片定理密度函數(shù)在某一方向上的投影函數(shù)的一維傅立葉變換函數(shù)是原密度函數(shù)的二維傅立葉變換函數(shù)在平面上沿同一方向且過原點的直線上值。濾波反投影算法的原理1、在不同的角度下取得足夠多的投影數(shù)據(jù)(Radon變換)2、將這些投影數(shù)據(jù)做一維的Fourier變換，那么變換后的這些數(shù)據(jù)將充滿整個(u,v)平面。（許多過原點成不同夾角的直線）3、也就是說，F(xiàn)(u,v)的全部值都為已知，那么我們將其做一次二維的Fourier逆變換就可以得到原始的衰減系數(shù)函數(shù)f(x,y)二維傅立葉反變換作坐標變換，令：可得出：表示對投影函數(shù)的Fourier變換進行濾波變換，其中是濾波函數(shù)。由傅立葉變換性質(zhì)可知．頻域中的濾波運算可等效地在空域中用卷積運算來完成所以要實現(xiàn)對投影數(shù)據(jù)實現(xiàn)圖像重建，可以采取兩步：首先將投影數(shù)據(jù)和響應脈沖濾波器進行卷積，然后由式對不同旋轉(zhuǎn)角θ求和，就能實現(xiàn)圖像重建。這就是卷積法進行圖像重建的基本思路和方法。卷積可看作一種濾波手段，卷積投影相當于對數(shù)據(jù)先濾波再將結(jié)果逆投影回來，這樣可以使模糊得到校正。所以：式中h(R)為濾波函數(shù)糾的空域形式反投投影影算算法法舉舉例例基本本原原理理是是將將所所測測得得的的投投影影值值按按其其原原路路徑徑平均均的的分配配到到每每一一點點上上，，各各個個方方向向上上投投影影值值反投投影影后，，在在影影像像處處進進行行疊疊加加，，從從而而推推體體出出原原圖圖像像。。而濾濾波波卻卻是是要要投投影影函函數(shù)數(shù)的的一一維維Fourier加加上上權(quán)權(quán)重重因因子子。。算法法舉舉例例123456算法法舉舉例例根據(jù)據(jù)反反投投影影算算法法x1=p5=5x6=p2+p3+p5=18…平均均化化處處理理，，除除以以投投影影線線數(shù)數(shù)目目xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投投影影重重建建后后原像像素素值值再除除以以投投影影線線數(shù)數(shù)，，平平均均化化斷層層平平面面中中某某一一點點的的密密度度值值可可看看作作這這一一平平面面內(nèi)內(nèi)所所有有經(jīng)經(jīng)過過該該點點的的射射線線投投影影之之和和的的平平均均值值123456偽跡跡反投投影影重重建建后后，，原原來來為為0的的點點不不再再為為0，，形形成成偽跡跡00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像像素素值值再除除以以投投影影線線數(shù)數(shù)，，平平均均化化星狀狀偽偽跡跡我們們考考慮慮孤孤立立點點源源反反投投影影重重建建，，中中心心點點A經(jīng)經(jīng)n條條投投影影線線投投影影后后，，投投影影值值均均為為1：：p1=p2=...=pn=1因此此重重建建后后而其其他他點點均均為為1/n這類類偽偽跡跡稱稱為為星星狀狀偽偽跡跡1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星狀狀偽偽跡跡產(chǎn)生生星星狀狀偽偽跡跡的的原原因因在在于于：反反投投影影重重建建的的本本質(zhì)質(zhì)是是把把取取自自有限限物體體空空間間的的射射線線投投影影均均勻勻地地回回抹抹(反反投投影影)到到射射線線所所及及的的無限限空間間的的各各點點之之上上，，包包括括原原先先像像素素值值為為零零的的點點（（其實實就就是是投投影影數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)少少產(chǎn)產(chǎn)生生的的?。。。。。。?a)孤孤立立點點源源(b)反反投投影影重重建建圖圖像像及及星星狀狀偽偽跡跡濾波波反反投投影影算算法法濾波波反反投投影影法法采采用用先修修正正、、后后反反投投影影的做做法法，，其其基基本本方方法法是是：：在在某某一一投投影影角角下下取取得得了了投投影影函函數(shù)數(shù)（（一一維維函函數(shù)數(shù)））后后，，對對此此一一維維投投影影函函數(shù)數(shù)作作濾濾波波處處理理，，得得到到一一個個經(jīng)經(jīng)過過修修正正的的投投影影函函數(shù)數(shù)；；然然后后再再將將此此修修正正后后的的投投影影函函數(shù)數(shù)作作反反投投影影運運算算，，得得到到所所需需的的密密度度函函數(shù)數(shù)。。濾波波反反投投影影法法重重建建圖圖像像有有以以下下幾幾個個步步驟驟：：（1））對對某某一一角角度度下下的的投投影影函函數(shù)數(shù)作作一一維維傅傅立立葉葉變變換換；；（2））對對（（1））的的變變換換結(jié)結(jié)果果乘乘上上一一維維權(quán)權(quán)重重因因子子；；（3））對對（（2））的的加加權(quán)權(quán)結(jié)結(jié)果果作作一一維維逆逆傅傅立立葉葉變變換換；；（4））用用（（3））中中得得出出的的修修正正過過的的投投影影函函數(shù)數(shù)做做直直接接反反投投影影；；（5））改改變變投投影影角角度度，，重重復復（（1））~（（4））的的過過程程，，直直到到完完成成全全部部180度度的的反反投投影影。。濾波波函函數(shù)數(shù)濾波波函函數(shù)數(shù)的選選取取是是濾濾波波反反投投影影法法的的關(guān)關(guān)鍵鍵問問題題（1））R-L濾濾波波函函數(shù)數(shù)由于于在在頻頻域域中中用用矩矩形形函函數(shù)數(shù)截截斷斷了了濾濾波波函函數(shù)數(shù)，，在在相相應應的的空空域域中中造造成成振振蕩蕩響響應應，，重重建建的的圖圖像像質(zhì)質(zhì)量量也也不不夠夠滿滿意意對應應的的頻頻域域形形式式為為：：理想想的的濾濾波波函函數(shù)數(shù)它它是是在在高高頻頻的的權(quán)權(quán)重重很很大大，，低低頻頻的的權(quán)權(quán)重重很很小小，，所所以以高高頻頻噪噪聲聲就就會會很很大大，，所所以以我我們們才才要要對對其其進進行行修修正正（2））S-L濾濾波波函函數(shù)數(shù)與R-L濾濾波波函函數(shù)數(shù)不不同同的的是是，，S-L濾濾波波函函數(shù)數(shù)它它的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是把把頻頻域域的的陡峭峭截截止止改改成成緩緩慢慢截截止止。。用S-L濾濾波波函函數(shù)數(shù)重重建建的的圖圖像像中中振振蕩蕩相相應應較較小小，，對對含含噪噪聲聲的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)重重建建出出來來的的圖圖像像質(zhì)質(zhì)量量也也較較R-L濾濾波波函函數(shù)數(shù)重重建建的的圖圖像像質(zhì)質(zhì)量量要要好好。。但但是是，，S-L濾濾波波函函數(shù)數(shù)重重建建的的圖圖像像在在高高頻頻響響應應方方面面不不如如R-L濾濾波波函函數(shù)數(shù)好好，，這這是是因因為為S-L濾濾波波函函數(shù)數(shù)在在高高頻頻段段偏偏離離了了理理想想的的濾濾波波函函數(shù)數(shù)對應應的的頻頻域域形形式式為為：：一、、濾濾波波反反投投影影matlab實實現(xiàn)現(xiàn)%P=imread('lena.jpg');P=phantom(256);%P=rgb2gray(O);R=radon(P,0:179);I0=iradon(R,0:179,'linear','Ram-Lak');I1=iradon(R,0:179,'linear','Shepp-Logan');I2=iradon(R,0:179,'linear','cosine');I3=iradon(R,0:179,'linear','none');subplot(2,3,1),imshow(P),title('Original')subplot(2,3,2),imshow(I0,[]),title('FBPR-L')subplot(2,3,3),imshow(I1,[]),title('FBPS-L')subplot(2,3,4),imshow(I2,[]),title('FBPcosine')subplot(2,3,5),imshow(I3,[]),title('UnfilteredBP')圖像的的細節(jié)節(jié)對應應的是是高頻頻部分分，輪輪廓對對應的的是圖圖像的的低頻頻部分分，所所以因因為沒沒有濾濾波，，細節(jié)節(jié)部分分恢復復的不不好，，呈現(xiàn)現(xiàn)很““模糊糊”的的情況況二、投投影數(shù)數(shù)據(jù)的的多少少對圖圖像重重建效效果的的影響響一個典典型實實例：：在matlab圖像像處理理工具具箱中中，有有一個個phantom函函數(shù)，，可以以用來來創(chuàng)建建頭部部的剖剖視圖圖，首首先創(chuàng)創(chuàng)建一一個頭頭部的的256××256剖剖視圖圖，然然后分分別計計算3組不不同的的Radon變變換，，第一一組采采用30個個投影影，第第二組組采用用90個投投影，，第三三組采采用180個投投影，，用以以比較較采用用不同同組數(shù)數(shù)的投投影參參數(shù)重重建的的圖像像與原原始圖圖像的的差別別。Radon逆變變換由測試試結(jié)果果可以以看出出：第第一組組采用用30個投投影，，效果果較差差；第第二組組采用用90個投投影，，效果果較好好；第第三組組采用用180個個投影影，效效果很很好，，與原原始的的圖像像非常常接近近。這說明明可以以通過過增加加投影影的數(shù)數(shù)目，，來提提高重重建圖圖像的的質(zhì)量量。ART算法法濾波反反投影影算法法要求求投影影數(shù)據(jù)據(jù)必須須完全全，分分布必必須均均勻。。具體體地說說就是是，平平移采采集投投影數(shù)數(shù)據(jù)時時，應應覆蓋蓋全部部物體體區(qū)域域；相相鄰射射線間間均為為d。。然而實實際應應用中中，有有時無無法測測到大大量的的投影影數(shù)據(jù)據(jù)。例例如做做CT時，，為了了避免免心臟臟器官官受輻輻射過過久，，為了了減少少劑量量，投投影數(shù)數(shù)據(jù)采采集不不足；；迭代重重建算算法就就能解解決上上述濾濾波反反投影影算法法無能能為力力的場場合啦啦！ART算法法ART（代代數(shù)重重建法法）是是一個個迭代代的過過程，，它是是一開開始就就在離離散域域中進進行的的,首首先把把圖像像離散散化，，即將將欲重重建的的未知知圖像像離散散成一一個J=n*n重建建圖像像網(wǎng)格格。根據(jù)成成像的的物理理過程程和相相應的的數(shù)學學模型型建立立待重建建圖像像和投影數(shù)數(shù)據(jù)之間的的代數(shù)數(shù)方程程組，，那么么圖像像重建建問題題就可可以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為解線線性方方程組組問題題。x1x2x3x4x5X6x7x8x9x1x2x3x4x5X6x7x8x91號2號3號號4號迭代重重建的的模型型一重建模模型一一迭代重重建的的模型型二迭代重重建的的模型型三x1x2x3x4x5X6x7x8x9x1x2x3x4x5X6x7x8x91號5號4號8號以模型型三為為例，，不失失一般般性如圖為為一3*3像素素的圖圖像的的x1,x2,…,x9為相相應的的像素素值，，則各各射線線和為為：迭代重重建算算法的的思路路求圖像像矢量量x的的方法法一求圖像像矢量量x的的方法法二此方法法會產(chǎn)產(chǎn)生嚴嚴重的的偽跡跡。不不是我我們所所期望望的。。但此方方法的的思想想有助助于我我們理理解迭迭代重重建算算法。。。。。反投影影算法法舉例例基本原原理是是將所所測得得的投投影值值按其其原路路徑平均的的分配到到每一一點上上，各各個方方向上上投影影值反投影影后，在在影像像處進進行疊疊加，，從而而推體體出原原圖像像。算法舉舉例123456算法舉舉例根據(jù)反反投影影算法法x1=p5=5x6=p2+p3+p5=18…平均化化處理理，除除以投投影線線數(shù)目目xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影影重建建后原像素素值再除以以投影影線數(shù)數(shù)，平平均化化斷層平平面中中某一一點的的密度度值可可看作作這一一平面面內(nèi)所所有經(jīng)經(jīng)過該該點的的射線線投影影之和和的平平均值值123456偽跡反投影影重建建后，，原來來為0的點點不再再為0，形形成偽跡00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素素值再除以