條件概率與乘法公式

第四節(jié)條件概率與乘法公式

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).一般P(A|B)≠P(A)

P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，

B={擲出偶數(shù)點}，P(A|B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結果構成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3個元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個在集A中，容易看到P(A|B)P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，計算P(A)時，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，計算P(A|B)時，這個前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個新的條件.這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內來考慮問題.

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗結果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).設A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱(1)2.條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.3.條件概率的計算P(B)>0例1.一個家庭中有兩個小孩，已知其中有一個是男孩，問：另一個也是男孩的概率是多少？若已知第一胎是男孩，則第二胎也是男孩的概率？由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).將A、B的位置對調，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率可推廣到n個事件例5.假設某人在森林中第1次丟下煙頭不引起火災的概率是(,一般很小)；第1次沒引起火災后，第2次丟下煙頭不引起火災的概率是；…；前j-1次沒引起火災后，第j次丟下煙頭不引起火災的概率是；…。求他n次丟下煙頭至少有一次引起火災的概率.例如甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個零件中，有189個是標準件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標準件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個189個是標準件300個乙廠生產(chǎn)設B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標準件}所求為P(AB).設B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標準件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標準件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個189個是標準件300個乙廠生產(chǎn)例2.已知某品牌的小轎車行駛到40000km還能正常行駛的概率是0.95，行駛到60000km

還能正常行駛的概率是0.8，問：已經(jīng)行駛了40000km的該品牌小轎車還能繼續(xù)行駛到60000km的概率是多少？A:小轎車行駛到40000km還能正常行駛B:小轎車行駛到60000km還能正常行駛一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.

入場券5張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場券”，其余的什么也沒寫.將它們放在一起，洗勻，讓5個人依次抽取.“先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大.”后抽比先抽的確吃虧嗎？

到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機會都一樣大.”“先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大?！崩?.設10件產(chǎn)品中有4件不合格品,現(xiàn)從中連續(xù)抽取兩次,每次一件,問第二次取到合格品的概率為多少?

例.

袋中有a只黑球，b只白球，他們除顏色不同外，其他方面沒有差別，現(xiàn)在把球隨機地一只只摸出，求第k次摸出一只球是黑球的概率（1≤k≤a+b)三.全概率公式:定義1.4.2完備事件組:如果事件滿足

則稱事件構成一個完備事件組.其含義是在每次試驗中必然發(fā)生而且僅有A1,A2

,…An中的一個事件發(fā)生。特別，n=2時，A1和A2就是對立事件。

設A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它總是與A1,A2,…,An之一同時發(fā)生，則定理1.4.2(全概率公式)例4.某人準備報名駕校學車，他選甲、乙、丙三所駕校的概率分別為0.5、0.3、0.2，已知甲、乙、丙三所駕校的學生能順利通過駕考的概率分別為0.7、0.9、0.75，

(1)求此人順利通過駕考的概率。

(2)如果順利通過駕考，求此人是報名乙這所駕校的概率。例9.試卷中有一道選擇題，共有m個答案可供選擇，其中只有一個答案是正確的，任一考生如果會解這道題，則一定能選出正確答案，如果不會解這道題，也可能通過試猜而選中正確答案，其概率是，設考生會解這道題的概率是p，求：（1）考生選出正確答案的概率；（2）考生在選出正確答案的前提下，確實會解這道題的概率。例11.某股票今天有利好消息、有利空消息、既無利好也無利空消息的概率分別為0.6、0.2、0.2，已知有利好消息、有利空消息、既無利好也無利空消息的情況下該股票今天會上漲的概率分別為0.8、0.3、0.5。現(xiàn)已知該股票今天上漲，求它今天有利好消息的概率。該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致B發(fā)生的每個原因的概率.定理1.4.3(貝葉斯公式)：

設A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B，它總是與A1,A2,…,An之一同時發(fā)生，則貝葉斯公式在實際中有很多應用，它可以幫助人們確定某結果（事件B）發(fā)生的最可能原因.

經(jīng)常稱上述的P(A1)，P(A2)等為先驗概率，稱P(A1|B)等為后驗概率。例6某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:設C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗結果是陽性}，求P(C|A).現(xiàn)在來分析一下結果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計算得:

P(C｜A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌癥?

1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率

P(C)=0.005

患者陽性反應的概率是0.95，若試驗后得陽性反應，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為P(C｜A)=0.1066說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？2.檢出陽性是否一定患有癌癥?

試驗結果為陽性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.1066即使你檢出陽性，尚可不必過早下結論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來說，1000個人中大約只有107人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認.

貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的驗前概率和驗后概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識.當有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計.貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。

在不了解案情細節(jié)(事件B)之前，偵破人員根據(jù)過去的前科，對他們作案的可能性有一個估計，設為比如原來認為作案可能性較小的某甲，現(xiàn)在變成了重點嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個案件，懷疑對象有甲、乙、丙三人.甲