ARMA模型的概念和構(gòu)造課件

ARMA模型的概念和構(gòu)造

1一、ARIMA模型的基本內(nèi)涵一、ARMA模型的概念自回歸移動平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,簡記為ARMA模型），由因變量對它的滯后值以及隨機誤差項的現(xiàn)值和滯后值回歸得到。包括移動平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動平均過程（ARMA）。2ARIMA模型的概念一.移動平均過程1.移動平均（MA）過程的表示：其中u為常數(shù)項，為白噪音過程引入滯后算子L，原式可以寫成:

或者

3ARIMA模型的概念2.MA（q）過程的特征1.2.3.自協(xié)方差①當(dāng)k>q時＝0②當(dāng)k<q時對于任意的，MA(q)是平穩(wěn)的。

4ARIMA模型的概念二.自回歸（AR）過程1.自回歸（AR）過程表示為：

其中為為白噪音過程引入滯后算子，則原式可寫成

其中5ARIMA模型的概念2.AR(p)過程平穩(wěn)的條件如果特征方程：的根全部落在單位圓之外，則該AR(p)過程是平穩(wěn)的

6ARIMA模型的概念3.AR(p)過程的特征

=0，的無條件期望是相等的，若設(shè)為u，則得到:7ARIMA模型的概念……將上述p+1個方程聯(lián)立，得到所謂的Yule-Walker方程組，共p+1個方程，p+1個未知數(shù)，得出AR（p）過程的方差及各級協(xié)方差。8ARIMA模型的概念三.自回歸移動平均（ARMA）過程1.ARMA過程的形式其中為白噪音過程。若引入滯后算子，可以寫成其中9ARIMA模型的概念2.ARMA過程平穩(wěn)性的條件ARMA過程的平穩(wěn)性取決于它的自回歸部分。當(dāng)滿足條件：

特征方程的根全部落在單位圓以外時，ARMA(p,q)是一個平穩(wěn)過程。10ARIMA模型的概念念3.ARMA(p,q)過程的特征征1）2）ARMA(p,q)過程的方差差和協(xié)方差差11ARIMA模型的概念念四.AR、MA過程的相互互轉(zhuǎn)化結(jié)論一：平平穩(wěn)的AR(p)過程可以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為一個個MA(∞)過程，可采采用遞歸迭迭代法完成成轉(zhuǎn)化結(jié)論二：特特征方程根根都落在單單位圓外的的MA(q)過程具有可可逆性平穩(wěn)性和可可逆性的概概念在數(shù)學(xué)學(xué)語言上是是完全等價價的，所不不同的是，，前者是對對AR過程而言的的，而后者者是對MA過程而言的的。12二、Box-Jenkins方法論論建立回回歸模模型時時，應(yīng)應(yīng)遵循循節(jié)儉儉性(parsimony)的原則則博克斯斯和詹詹金斯斯(BoxandJenkins)提出了了在節(jié)節(jié)儉性性原則則下建建立ARMA模型的的系統(tǒng)統(tǒng)方法法論,即Box-Jenkins方法論論13Box-Jenkins方法論論Box-Jenkins方法法論的的步步驟：步驟1：模型型識別別步驟2：模型型估計計步驟3：模型型的診診斷檢檢驗步驟4：模型型預(yù)測測14三、ARMA模模型的的識別別、估估計、、診斷斷、預(yù)預(yù)測(一).ARMA模模型的的識別別1.識別ARMA模模型的的兩個個工具具：自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)(autocorrelationfunction,簡記記為ACF）；；偏自相相關(guān)函函數(shù)(partialautocorrelationfunction,簡簡記為為PACF)以及它它們各各自的的相關(guān)關(guān)圖（（即ACF、PACF相相對于于滯后后長度度描圖圖）。15ARMA模模型的的識別別2.自自相相關(guān)函函數(shù)和和偏自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)的概概念①自相相關(guān)函函數(shù)過程的的第j階自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)即，，自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)記為為ACF(j)。。②偏自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)偏自相相關(guān)系系數(shù)度量了了消除除中間間滯后后項影影響后后兩滯滯后變變量之之間的的相關(guān)關(guān)關(guān)系系。偏偏自相相關(guān)函函數(shù)記記為PACF(j)16ARMA模模型的的識別別③自相相關(guān)函函數(shù)和和偏自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)的聯(lián)聯(lián)系2階以以上的的偏自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)計算算公式式較為為復(fù)雜雜，這這里不不再給給出。。17ARMA模模型的的識別別2.MA、AR、、ARMA過程程自相相關(guān)函函數(shù)及及偏自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)的特特點⑴MA(q)過程程的自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)1≤j≤qj>q時，，ACF(j)=0，此此現(xiàn)象象為截截尾，，是MA(q)過程程的一一個特特征如下圖圖：18ARMA模模型的的識別別MA（（2））過程程19ARMA模模型的的識別別⑵AR(p)過程程的偏偏自相相關(guān)函函數(shù)時，偏偏自相相關(guān)函函數(shù)的的取值值不為為0時，偏偏自相相關(guān)函函數(shù)的的取值值為0AR(p)過過程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)p階階截截尾尾如下下圖圖：：20ARMA模模型型的的識識別別21ARMA模模型型的的識識別別22ARMA模模型型的的識識別別⑶AR(p)過過程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)以以及及MA(q)過過程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)平穩(wěn)穩(wěn)的的AR(P)過過程程可可以以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為一一個個MA(∞∞））過過程程，，則則AR(P)過過程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)是是拖拖尾尾的的一個個可可逆逆的的MA(q)過過程程可可轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為一一個個AR(∞∞））過過程程，，因因此此其其偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)是是拖拖尾尾的的。。23ARMA模模型型的的識識別別⑷ARMA(p,q)過過程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)和和偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)ARMA過過程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)和和偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)都都是是拖拖尾尾的的如下下圖圖：：24ARIMA模模型型的的識識別別25ARMA模模型型的的識識別別3.利利用用自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)、、偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)對對ARMA模模型型進進行行識識別別⑴通通過過ADF檢檢驗驗，，來來判判斷斷序序列列過過程程的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性；；⑵利利用用自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)、、偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)以以及及它它們們的的圖圖形形來來確確定定p,q的的值值。。26（二二））ARMA模模型型的的估估計計ARMA模模型型的的估估計計方方法法：：矩估估計計極大大似似然然估估計計非線線性性估估計計最小小二二乘乘估估計計27（三三））ARMA模模型型的的診診斷斷一.診診斷斷的的含含義義二.診診斷斷的的方方法法三.檢檢驗驗統(tǒng)統(tǒng)計計量量Box和和Pierce提提出出的的Q統(tǒng)統(tǒng)計計量量Ljung和和Box(1978)提提出出的的LB統(tǒng)統(tǒng)計計量量。28ARIMA模模型型的的診診斷斷1.Q統(tǒng)統(tǒng)計計量量，近近似似服服從從（（大大樣樣本本中中））分布布其中中n為為樣樣本本容容量量，，m為為滯滯后后長長度度2.LB統(tǒng)統(tǒng)計計量量，服從從分分布布，，其其中n為為樣樣本本容容量量，，m為為滯滯后后長長度度。。3.LB統(tǒng)計計量的的特點點29ARMA模模型的的診斷斷四.信信息息準(zhǔn)則則(informationcriteria)Akaike信信息息準(zhǔn)則則Schwarz信信息準(zhǔn)準(zhǔn)則Hannan-Quinn信信息息準(zhǔn)則則其中為為殘差差平方方，是是所有有估計計參數(shù)數(shù)的個個數(shù)，，T為為樣本本容量量。30ARMA模模型的的預(yù)測測一.基基于于AR模型型的預(yù)預(yù)測以平穩(wěn)穩(wěn)的AR(2)過程程為例例：其中為為零零均值值白噪噪音過過程……31ARMA模模型的的預(yù)測測在t時時刻，，預(yù)測測的的值：：=在t時時刻，，預(yù)測測的的值：：同理：：…結(jié)論32ARMA模模型的的預(yù)測測二.基基于于MA過程程的預(yù)預(yù)測過程結(jié)論：：MA(2)過過程程僅有有2期期的記記憶力力33ARMA模模型的的預(yù)測測三.基基于于ARMA過程程的預(yù)預(yù)測結(jié)合對對AR過程程和MA過過程進進行預(yù)預(yù)測ARMA模模型一一般用用于短短期預(yù)預(yù)測34五、實實例：：ARMA模型型在金金融數(shù)數(shù)據(jù)中中的應(yīng)應(yīng)用數(shù)據(jù)：1991年年1月月到2005年年1月月的我我國貨貨幣供供應(yīng)量量（廣廣義貨貨幣M2））的月月度時時間序序列數(shù)數(shù)據(jù)目的：說明明在在Eviews5.0軟軟件件中中利利用用B-J方方法法論論建建立立合合適適的的ARIMA（（p,d,q））模模型型35A