2022年度廣西壯族自治區(qū)玉林市福綿鎮(zhèn)第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年度廣西壯族自治區(qū)玉林市福綿鎮(zhèn)第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿(mǎn)足，則必有

（

）A．

B． C． D．參考答案：C略2.曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，-1）切線(xiàn)方程為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略3.在區(qū)間上隨機(jī)地任取兩個(gè)數(shù)，則滿(mǎn)足的概率為

（

）.

.

.

.

參考答案：A4.下列各式中，最小值等于2的是（

）A. B. C. D.參考答案：D解：選項(xiàng)A，中當(dāng)x,y同號(hào)時(shí)，滿(mǎn)足題意，選項(xiàng)B，取不到等號(hào)，選項(xiàng)C，正切值符號(hào)不定，因此只能選擇D，一正二定三相等。這是均值不等式使用的注意點(diǎn)。

5.如果函數(shù)y=|x|﹣2的圖象與曲線(xiàn)C：x2+y2=λ恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A．{2}∪（4，+∞） B．（2，+∞） C．{2，4} D．（4，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】J8：直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)y=|x|﹣2與曲線(xiàn)C：x2+y2=λ的圖象，抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)圓O與兩射線(xiàn)相切時(shí)，兩函數(shù)圖象恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，過(guò)O作OC⊥AB，由三角形AOB為等腰直角三角形，利用三線(xiàn)合一得到OC為斜邊AB的一半，利用勾股定理求出斜邊，即可求出OC的長(zhǎng)，平方即可確定出此時(shí)λ的值；當(dāng)圓O半徑為2時(shí)，兩函數(shù)圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，半徑大于2時(shí)，恰好有2個(gè)公共點(diǎn)，即半徑大于2時(shí)，滿(mǎn)足題意，求出此時(shí)λ的范圍，即可確定出所有滿(mǎn)足題意λ的范圍．【解答】解：根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)y=|x|﹣2與曲線(xiàn)C：x2+y2=λ的圖象，如圖所示，當(dāng)AB與圓O相切時(shí)兩函數(shù)圖象恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，過(guò)O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根據(jù)勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此時(shí)λ=OC2=2；當(dāng)圓O半徑大于2，即λ＞4時(shí)，兩函數(shù)圖象恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是{2}∪（4，+∞）．故選A6.若，，則a，，2ab中最大的數(shù)為（

）A．a(chǎn)

B．2ab

C．

D．無(wú)法確定參考答案：C∵，，∴,即,；又，（）∴最大的數(shù)為故選：C

7.已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，0），C（0，1），直線(xiàn)y=kx將△ABC分割為兩部分，則當(dāng)這兩個(gè)部分的面積之積取得最大值時(shí)k的值為（）A． B． C． D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】直線(xiàn)的一般式方程；三角形的面積公式．【分析】由題意作圖，結(jié)合基本不等式可得當(dāng)S1=S2時(shí)取等號(hào)，由面積公式可得AD的長(zhǎng)度，而由方程組可表示點(diǎn)D的坐標(biāo)，由距離公式可的方程，解之即可．【解答】解：由題意作出圖象（如圖），設(shè)兩部分面積分別為S1，S2由題意可得S1+S2=S△ABC==，故由基本不等式可得：S1S2≤=，當(dāng)且僅當(dāng)S1=S2時(shí)取等號(hào)，而當(dāng)當(dāng)S1=S2時(shí)，顯然直線(xiàn)職能與AC相交，設(shè)交點(diǎn)為D，已知直線(xiàn)AC的方程為：y=，則由解得，即點(diǎn)D（，），而由S1=S2可得，2S△AOD=S△ABC，即=，解得AD===，即，化簡(jiǎn)得（8k）2=（6k﹣3）2，解得k=或k=（舍去）故選A8.已知函數(shù)f(x)=sinx，則f'（π）=（）A．B．﹣ C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，進(jìn)而可求出f′（π）的值．【解答】解：∵f′（x）=?sinx+cosx，∴f′（π）=sinπ+cosπ=﹣．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的值，正確求導(dǎo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9.已知R上可導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集為（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象求出f′（x）＞0的解集與f′（x）＜0的解集，因此對(duì)原不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到原不等式的答案．【解答】解：由圖象可得：當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，所以f′（x）＞0的解集為（﹣∞，﹣1），（1，+∞），當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，所以f′（x）＜0的解集為（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即與不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由題意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等價(jià)于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集為（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故選D．10.若表示不重合的兩直線(xiàn)，表示平面，則下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（C

）①；②；③；④A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.根據(jù)《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)AQI技術(shù)規(guī)定》，AQI共分為六級(jí)：（0，50]為優(yōu)，（50，100]為良，（100，150]為輕度污染，（150，200]為中度污染，（200，300]為重度污染，300以上為嚴(yán)重污染．右圖是根據(jù)鹽城市2013年12月份中20天的AQI統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖．由圖中的信息可以得出這20天中鹽城市環(huán)境空氣質(zhì)量?jī)?yōu)或良的總天數(shù)為

.參考答案：5略12.已知直線(xiàn)和坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓的方程為

．參考答案：直線(xiàn)和坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，則，設(shè)圓的方程為：，則，解得，圓的方程為，即.

13.已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),前項(xiàng)和為，若，．則_______.參考答案：31略14.三個(gè)數(shù)638，522，406的最大公約數(shù)是．

參考答案：5815.已知函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取得極大值，在區(qū)間內(nèi)取得極小值，則的取值范圍是

▲

．參考答案：略16.已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為1和，第三邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為1，則三角形的外接圓半徑為

.參考答案：117.復(fù)數(shù)等于

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知，：關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根；：方程表示雙曲線(xiàn)。若“”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：若真，則，解得

…2分若真，則，解得

…4分因?yàn)闉榧?，則與都為假

…………6分即，解得

…………8分綜上的取值范圍為

…………10分19.（20分）設(shè)，定義，

1）求的最小值；2）在條件下，求的最小值；3）在條件下，求的最小值，并加以證明。參考答案：解析:1)

-----------------------------------5分（當(dāng)時(shí)，取到最小值）

2）

------------------------10分（當(dāng)時(shí)，取到最小值）3）因?yàn)樗?---------15分（當(dāng)時(shí)，取到最小值）每小題指出什么時(shí)候取到。

（5分）20.已知圓：，直線(xiàn)：，且與圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，且。（1）當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）求關(guān)于b和k的關(guān)系式；參考答案：）解:（1）圓C：,

當(dāng)b=1時(shí)，點(diǎn)在圓C上,當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心時(shí),滿(mǎn)足

圓心C的坐標(biāo)為(1,1),代入y=kx

.

（2）設(shè)，又

由得：

則

∵M(jìn)P⊥MQ∴

∵，∴

化簡(jiǎn)得：

21.已知函數(shù)，，其中e是自然常數(shù).(1)判斷函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)，，使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）.試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，，得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到函數(shù)存在一個(gè)零點(diǎn)；（2）不等式等價(jià)于，即，對(duì)兩邊的函數(shù)分別求導(dǎo)研究單調(diào)性，求得最值得到取得最大值，取得最小值，故只需要,解出即可.解析：(1)函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，理由如下：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，根?jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)在上存在1個(gè)零點(diǎn).(2)因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，所以，，使得不等式成立，等價(jià)于，即，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，又，當(dāng)時(shí)，，，，所以，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)恒成立或者有解求參的問(wèn)題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.22.已知點(diǎn)P（4，4），圓C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）與橢圓E：+=1（a＞b＞0）有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)PF1與圓C相切．（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求?的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】KJ：圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合．【分析】（1）先利用點(diǎn)A在圓上求出m，再利用直線(xiàn)PF1與圓C相切求出直線(xiàn)PF1與的方程以及c，再利用點(diǎn)A在橢圓上求出2a，即可求出橢圓E的方程；（2）先把用點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示出來(lái)，再利用Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以及基本不等式即可求出的取值范圍．【解答】解：（1）點(diǎn)A代入圓C方程，得（3﹣m）2+1=5．∵m＜3，∴m=1．設(shè)直線(xiàn)PF1的斜率為k，則PF1：y=k（x﹣4）+4，即kx﹣y﹣4k+4=0．∵直線(xiàn)PF1與圓C相切，圓C：（x﹣1）2+y2=5，∴，解得．當(dāng)k=時(shí)，直線(xiàn)PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去．當(dāng)k=時(shí)，直線(xiàn)