D115對坐標曲面積分1

會計學1D115對坐標曲面積分1其方向用法向量指向方向余弦>0為前側<0為后側封閉曲面>0為右側<0為左側>0為上側<0為下側外側內(nèi)側?設為有向曲面,側的規(guī)定

指定了側的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定第1頁/共38頁二、對坐標的曲面積分的概念與性質

1.引例設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面的流量.分析:若是面積為S

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

第2頁/共38頁對一般的有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場進行分析可得,則第3頁/共38頁設

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對的任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標的曲面積2.定義.第4頁/共38頁引例中,流過有向曲面的流體的流量為稱為Q

在有向曲面上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;若記正側的單位法向量為令則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式第5頁/共38頁3.性質(1)若之間無公共內(nèi)點,則(2)用ˉ表示的反向曲面,則第6頁/共38頁三、對坐標的曲面積分的計算法定理:

設光滑曲面取上側,是上的連續(xù)函數(shù),則證:∵取上側,第7頁/共38頁

?

若則有?若則有(前正后負)(右正左負)說明:如果積分曲面取下側,則第8頁/共38頁例1.

計算其中是以原點為中心,邊長為

a

的正立方體的整個表面的外側.解:

利用對稱性.原式的頂部取上側的底部取下側第9頁/共38頁解:

把分為上下兩部分根據(jù)對稱性

思考:

下述解法是否正確:例2.計算曲面積分其中為球面外側在第一和第五卦限部分.第10頁/共38頁第11頁/共38頁例3.設S是球面的外側,計算解:

利用輪換對稱性,有第12頁/共38頁四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫第13頁/共38頁令向量形式(A在

n上的投影)第14頁/共38頁例4.

位于原點電量為q的點電荷產(chǎn)生的電場為解:。求E

通過球面:r=R外側的電通量

.第15頁/共38頁例5.設是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計算解:第16頁/共38頁例6.

計算曲面積分其中解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側.第17頁/共38頁原式=第18頁/共38頁五、高斯(Gauss)公式定理1.設空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲上有連續(xù)的一階偏導數(shù),下面先證:函數(shù)P,Q,R在面所圍成,的方向取外側,則有(Gauss公式)第19頁/共38頁證明:設為XY型區(qū)域,則第20頁/共38頁所以若

不是XY–型區(qū)域,則可引進輔助面將其分割成若干個XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側面積分正負抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：第21頁/共38頁例7.用Gauss

公式計算其中為柱面閉域的整個邊界曲面的外側.解:

這里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐標)及平面z=0,z=3

所圍空間思考:

若改為內(nèi)側,結果有何變化?若

為圓柱側面(取外側),如何計算?第22頁/共38頁例8.利用Gauss公式計算積分其中為錐面解:作輔助面取上側介于z=0及z=h之間部分的下側.所圍區(qū)域為,則第23頁/共38頁利用重心公式,注意第24頁/共38頁例9.設為曲面取上側,求解:

作取下側的輔助面用柱坐標用極坐標第25頁/共38頁在閉區(qū)域上具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),證明格林(Green)第一公式例10.

設函數(shù)其中是整個邊界面的外側.分析:高斯公式第26頁/共38頁證:令由高斯公式得移項即得所證公式.第27頁/共38頁內(nèi)容小結定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

第28頁/共38頁性質:聯(lián)系:思考:的方向有關,上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲面積分的定義一個與的方向無關,一個與第29頁/共38頁2.高斯公式及其應用公式:應用:(1)計算曲面積分(非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:第30頁/共38頁3.常用計算公式及方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(3)確定積分域把曲面積分域投影到相關坐標面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉化第31頁/共38頁當時，（上側取“+”,下側取“”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉化公式.第32頁/共38頁取外側.解:注意±號其中思考與練習1.第33頁/共38頁利用輪換對稱性第34頁/共38頁所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)為2.第35頁/共38頁

練習題

設是一光滑閉曲面,所圍立體的體

是外法線向量與點(x,y,z)的向徑試證證:

設的單位外法向量為則的夾角,積為V,第36頁/共38頁高斯(1777–1855)德國數(shù)學家、天文學家和物理學家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學家,他的數(shù)學成就遍及各個領域,在數(shù)論、級數(shù)、復變函數(shù)