CG二維圖形觀察和變換

會計學1CG二維圖形觀察和變換平移是指：將物體沿直線路徑從一個坐標位置到另一個坐標位置重定位。給原始坐標位置(x,y)加上平移距離tx和ty來實現(xiàn)到新位置(x1,y1)的移動：x1

=x+tx，y1

=y+ty。(tx,ty)稱為平移向量或轉換向量。平移的矩陣方程：P1

=P+TT=(tx,ty)T,P=(x,y)T,P1=(x1,y1)T

基本幾何變換：平移☆圖形幾何變換●基本幾何變換

?平移變換

?平移變換特性

?旋轉變換

?旋轉變換特性

?縮放變換

?縮放變換特性●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

PP1T第2頁/共27頁第1頁/共27頁平移的特性平移是不產生變形而移動物體的剛體變換，物體上的每個點移動相同的坐標。直線的平移是將平移方程加到線的每個端點上；多邊形的平移是將平移向量加到每個頂點的坐標；曲線可用同樣方法來平移：為了改變圓或橢圓的位置，可以平移中心坐標并在新中心位置重畫圖形；通過替代定義曲線的坐標位置，而后用平移過的坐標點來重構曲線路徑來實現(xiàn)其它曲線的平移。TT☆圖形幾何變換●基本幾何變換

?平移變換

?平移變換特性

?旋轉變換

?旋轉變換特性

?縮放變換

?縮放變換特性●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第3頁/共27頁第2頁/共27頁二維旋轉是將物體沿xy平面內的圓弧路徑重定位。指定物體旋轉的旋轉點(或基準點)的位置(xr,yr)和旋轉角θ(逆時針旋轉時旋轉角為正)?；颍好枋鰹槔@通過基準點、垂直于xy平面的旋轉軸旋轉。當基準點為坐標原點時，變換方程：x1=xcosθ-ysinθ,y1=xsinθ+ycosθ。方程的列向量矩陣為：P1=R·P

旋轉矩陣為：基本幾何變換：旋轉變換也可表示為行坐標向量矩陣：

P1T=(R·P)Ｔ＝PＴ·RＴ。旋轉矩陣R的轉置RＴ可通過交換行和列而得到；旋轉矩陣R的置換則可簡單地改變sin項符號而得到?！顖D形幾何變換●基本幾何變換

?平移變換

?平移變換特性

?旋轉變換

?旋轉變換特性

?縮放變換

?縮放變換特性●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第4頁/共27頁第3頁/共27頁旋轉變換的特性點繞任意基準位置旋轉的變換方程：

x1=xr+(x-xr)cosθ-(y-yr)sinθ

y1=yr+(x-xr)sinθ+(y-yr)cosθ這個通用旋轉方程不同于繞原點旋轉方程之處在于:包括一個加項(平移項)以及坐標值上的多重系數(shù)。旋轉也是一種不變形地移動物體的剛體變換，物體上的所有點旋轉相同的角度：直線段旋轉是將每個線端點；多邊形的旋轉則是將每個頂點旋轉指定的旋轉角；曲線的旋轉則是旋轉控制取樣點。(xr,yr)☆圖形幾何變換●基本幾何變換

?平移變換

?平移變換特性

?旋轉變換

?旋轉變換特性

?縮放變換

?縮放變換特性●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第5頁/共27頁第4頁/共27頁基本幾何變換：縮放縮放變換改變物體的尺寸。該操作施加于多邊形。通過將每個頂點坐標值(x,y)乘以縮放系數(shù)sx和sy，產生變換的坐標(x1,y1)：x1=x·sx，y1＝y(tǒng)·sy?？s放系數(shù)sx在x方向對物體縮放，sy在y方向縮放。相對于原點的縮放矩陣形式：P1＝S·P

縮放矩陣：縮放系數(shù)sx和sy可賦予任何正數(shù)。小于1縮小物體的尺寸；大于1則放大物體；當sx和sy值相同時，產生一致縮放；sx和sy值不等時產生差值縮放。用縮放方程變換的物體既被縮放，又被重定位。當縮放系數(shù)值大于1時則將坐標位置遠離原點。XYP1P2相對原點的一致縮放☆圖形幾何變換●基本幾何變換

?平移變換

?平移變換特性

?旋轉變換

?旋轉變換特性

?縮放變換

?縮放變換特性●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第6頁/共27頁第5頁/共27頁縮放變換的特性可選擇一個在縮放變換后不改變位置的點(固定點)來控制縮放物體的位置。固定點的坐標(xf,yf)可以選擇頂點之一、物體中點或任何其它位置。多邊形通過縮放每個頂點到固定點的距離而相對于固定點縮放。坐標為(x,y)的頂點縮放后坐標(x1,y1)為：x1=x·sx+xf(1-sx)；y1=y·sy+yf(1-sy)；其中：加法項xf(1-sx)和yf(1-sy)對物體中的任何點都是常數(shù)?？纱顺?shù)項的列向量，而后將這個列向量加到相對原點縮放方程中的乘積S·P上。多邊形的縮放可將變換應用于每個頂點。其它物體變換則將縮放變換方程加到定義物體的參數(shù)?！顖D形幾何變換●基本幾何變換

?平移變換

?平移變換特性

?旋轉變換

?旋轉變換特性

?縮放變換

?縮放變換特性●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第7頁/共27頁第6頁/共27頁變換的矩陣表示每個基本變換都可表示為普通矩陣形式：P1＝M1·P＋M2。坐標位置P1和P表示為列向量；矩陣M1是一包含乘法系數(shù)的2×2矩陣；M2是包含平移項的兩元素列矩陣。對平移，M1是單位矩陣；對旋轉或縮放，M2包含與基準點或固定點相關的平移項。利用這個方程產生先縮放再旋轉后平移的變換順序，必須每次一步地計算變換的坐標?！顖D形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示

?齊次坐標表示

?變換矩陣表示

?復合變換

?變換模式●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第8頁/共27頁第7頁/共27頁幾何變換的齊次坐標更有效的方法是將變換組合，使最后的坐標位置直接從初始坐標得到，消除中間坐標值的計算。這就需消除M2中與平移項相關的矩陣加法。擴充坐標的齊次坐標矩陣表示可將變換過程表示為矩陣乘法。齊次坐標表示法就是用n+1維表示n維。對二維變換：可用齊次坐標三元組(xh,yh,h)來表示每個笛卡爾坐標位置(x,y)。其中：x=xh/h，y=yh/h，也可寫為(h·x,h·y,h)。齊次參數(shù)h可取為任何非零值，每個坐標點(x,y)可有無數(shù)個等價齊次表達。最方便的選擇是設置h=1。即：每個二維位置都可用齊次坐標(x,y,1)來表示。參數(shù)h的其它值也是需要的?！顖D形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示

?齊次坐標表示

?變換矩陣表示

?復合變換

?變換模式●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第9頁/共27頁第8頁/共27頁變換的齊次坐標矩陣表示在齊次坐標中所表示的位置允許將所有幾何變換方程表示為矩陣乘法：坐標可表示為三元素列向量，變換寫成3×3矩陣。繞坐標原點的旋轉變換可寫為：P1=R(θ)·P，R(θ)是旋轉矩陣；當θ用-θ替換時就得到其逆矩陣。相對于坐標原點的縮放變換表示為：P1=S(sx,sy)·P，S(sx,sy)是縮放矩陣；用倒數(shù)1/sx和1/sy代替sx和sy就產生其逆矩陣。平移矩陣旋轉矩陣縮放矩陣平移變換可表示為：P1=T(tx,ty)·P，T(tx,ty)為平移矩陣。平移矩陣的逆矩陣：用平移參數(shù)tx,ty的負值-tx,-ty來代替原值?！顖D形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示

?齊次坐標表示

?變換矩陣表示

?復合變換

?變換模式●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第10頁/共27頁第9頁/共27頁復合變換矩陣的合并或復合：利用矩陣表示，通過計算單個變換矩陣的乘積，將任意順序變換的矩陣建立為復合變換矩陣。對于坐標位置的列矩陣表示，以從右向左的次序進行矩陣乘而形成復合變換，來計算一系列變換的結果。即：每個隨后的變換矩陣左乘前面的變換矩陣。復合平移：P1＝{T(txn,tyn)·……·T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)}·P復合旋轉：P1＝{R(θn)·……·R(θ2)·R(θ1)}·P復合縮放：P1＝{S(sxn,syn)·……·S(sx2,sy2)·S(sx1,sy1)}·P復合變換：先縮放后平移再旋轉：

P1＝{R(θn)·T(txn,tyn)·S(sxn,syn)}·P注意：矩陣乘法不滿足交換率：M1?M2≠M2?M1，所以變換的結果和變換執(zhí)行的順序有關。

只有在兩個變換類型相同，或兩者分別是一致縮放與旋轉變換時，兩者可以交換?！顖D形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示

?齊次坐標表示

?變換矩陣表示

?復合變換

?變換模式●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第11頁/共27頁第10頁/共27頁變換模式固定坐標系變換模式連續(xù)變換的變換矩陣合成時，先調用的變換放在連乘式的右邊，后調用的變換放在連乘式的左邊。特點：在連續(xù)執(zhí)行幾次變換時，每一次變換均可看成是相對于原始（固定）坐標系進行。最后的結果描述是在原始坐標系(全局)中的坐標位置?；顒幼鴺讼底儞Q模式連續(xù)變換的變換矩陣的合成時，先調用的變換放在連乘式的左邊，后調用的變換放在連乘式的右邊。特點：在連續(xù)執(zhí)行幾次變換時，每一次變換均可看成是在前一次變換形成的新的坐標系中進行。最后的結果描述是在最后形成的坐標系(局部)中的坐標位置。

不同的應用要求有不同的變換模式?！顖D形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示

?齊次坐標表示

?變換矩陣表示

?復合變換

?變換模式●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第12頁/共27頁第11頁/共27頁其它變換：對稱(反射)變換反射(對稱)變換是產生物體的鏡像的一種變換。相對反射(對稱)軸的一維反射鏡像是通過將物體繞反射(對稱)軸旋轉180度而生成的。在xy平面內或垂直于xy平面選擇反射軸：反射軸是在xy平面內的一條線時，繞這個軸的旋轉路徑在垂直于xy平面的平面中；垂直于xy平面的反射(對稱)軸，旋轉路徑在xy平面內。關于原點反射關于x軸反射關于y軸反射☆圖形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示●其它變換表示

?反射變換

?任意反射變換

?錯切變換

?仿射變換☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第13頁/共27頁第12頁/共27頁任意對稱(反射)變換關于xy平面內任意線y=mx+b的反射可用平移-旋轉-反射變換的組合來完成：①平移反射軸使其經過原點；②將反射軸旋轉到坐標軸之一上，且進行關于坐標軸反射；③利用逆旋轉和平移變換將線置回原處。關于坐標軸或坐標原點的反射可處理為縮放系數(shù)為負值的縮放變換。反射矩陣的元素也可設置為±1以外的其它值：大于1的值將鏡像移至遠離反射軸；小于1的值將鏡像接近反射軸。y=mx+b平移旋轉反射逆旋轉逆平移☆圖形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示●其它變換表示

?反射變換

?任意反射變換

?錯切變換

?仿射變換☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第14頁/共27頁第13頁/共27頁其它變換：錯切變換錯切會使物體形狀發(fā)生變化的變換，經過錯切的物體好象是由已經相互滑動的內部夾層組成。常用錯切變換有兩種：改變x坐標值和改變y坐標值。相對x軸的x方向錯切將坐標位置轉換成：x1＝x+shx·y，y1＝y(tǒng)。坐標位置(x,y)水平地移動一個與它到x軸距離(y值)成shx比例的量；shx為負，坐標位置向左移動。相對于其它參考線x方向錯切的坐標位置被變換為：x1＝x+shx(y-yref)，y1＝y(tǒng)相對于線x=xref的y方向錯切生成變換的坐標位置為：x1=x，y1=shy(x-xref)+y這種變換由正比于從參考線x=xref到其距離的量垂直地改變坐標位置。錯切操作可表示為基本變換的序列?！顖D形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示●其它變換表示

?反射變換

?任意反射變換

?錯切變換

?仿射變換☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第15頁/共27頁第14頁/共27頁其它變換：仿射變換形式為：x′=axxx+axyy+bxy′=ayxx+ayyy+by的坐標變換稱二維仿射(affinetransformation)變換。變換坐標x′和y′都是原始坐標x和y的線性函數(shù)；參數(shù)aij和bk是由變換類型確定的常數(shù)。平移、旋轉、縮放、反射和錯切是二維仿射變換的特例；任何常用的二維仿射變換總可表示為這五種變換的組合。從一個參照系統(tǒng)坐標描述到另一個系統(tǒng)的轉換是另一種仿射變換，可描述為平移和旋轉組合；僅包含旋轉、平移和反射的仿射變換維持角度和長度以及平行線。對這三種變換，變換前后兩直線間的角度和長度相同?！顖D形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示●其它變換表示

?反射變換

?任意反射變換

?錯切變換

?仿射變換☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第16頁/共27頁第15頁/共27頁二維觀察圖形軟件包允許指定圖形中要顯示的部分及在顯示器顯示的位置。世界坐標系中要顯示的區(qū)域(通常在觀察坐標系內定義)稱窗口。窗口映射到顯示器(設備)上的區(qū)域稱為視區(qū)。窗口定義顯示什么；視區(qū)定義在何處顯示。標準的窗口和視區(qū)一般都是矩形，其它形狀處理起來要復雜得多。窗口Y世界X世界世界坐標系Y設備視區(qū)X設備設備坐標系ymaxyminxmaxxmin視區(qū)定義☆圖形幾何變換●基本幾何變換●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第17頁/共27頁第16頁/共27頁二維觀察：觀察流程在世界坐標系中構造圖形或場景：利用輸出原語和圖形屬性，使用建模坐標變換。在世界坐標平面中設置二維的觀察坐標系，將世界坐標系下的描述變換到觀察坐標系。在觀察坐標系下定義視區(qū)窗口：視區(qū)窗口通常定義成單位正方形，以保證觀察和變換獨立于輸出設備。改變視區(qū)窗口的位置可以在輸出設備的顯示區(qū)的不同位置觀察物體；也可以通過改變視區(qū)窗口的尺寸來改變顯示對象的尺寸和位置。將觀察坐標系下的場景描述映射到規(guī)范坐標系的視區(qū)。在規(guī)范化坐標系下進行視區(qū)圖形裁剪：裁剪掉視區(qū)外的圖形部分，并將視區(qū)內圖形轉換到設備坐標系?！顖D形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程

?觀察流程示意●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第18頁/共27頁第17頁/共27頁MCWCVCNVCDC二維觀察流程示意使用建模坐標變換構造世界坐標場景將世界坐標場景描述轉換為觀察坐標系使用視區(qū)-窗口描述將觀察坐標映射到規(guī)范化坐標將規(guī)范化視區(qū)映射到設備坐標系視區(qū)xmaxxminyminymax設備坐標系窗口X觀察Y觀察X世界Y世界世界坐標系輸出設備窗口到視區(qū)的映射觀察坐標系的定義視區(qū)窗口的定義☆圖形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程

?觀察流程示意●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

第19頁/共27頁第18頁/共27頁二維觀察：觀察坐標系觀察參考坐標系用來任意設置世界坐標系矩形窗口的方向。首先，選擇在世界坐標系xwyw某個位置作為觀察坐標系的原點：P0=(x0,y0)；窗口xwywxvyvy0x0UV然后，建立參考系坐標軸的方向：將一個世界坐標系的矢量V作為觀察坐標系yv軸方向，矢量V稱為觀察向量。按右手規(guī)則或指定U作為觀察坐標系xv軸方向。按給定V，分別計算在觀察坐標軸yv和xv上的單位向量V=(vx,vy)和U=(ux,uy)。P0☆圖形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程

●觀察坐標系

?觀察坐標變換●視區(qū)定義●二維觀察變換

第20頁/共27頁第19頁/共27頁觀察坐標系變換從世界坐標系位置變換到觀察坐標系的矩陣由兩個變換矩陣合成：首先，觀察坐標系原點移動到世界坐標系原點；然后，繞原點旋轉使兩坐標系重合。窗口X世界Y世界X觀察Y觀察y0x0窗口X世界Y世界X觀察Y觀察X世界Y世界窗口X觀察Y觀察平移旋轉☆圖形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程

●觀察坐標系

?觀察坐標變換●視區(qū)定義●二維觀察變換

第21頁/共27頁第20頁/共27頁二維觀察：視區(qū)的定義二維圖形的視圖通過指定整個圖形區(qū)域中的一個子區(qū)域來獲得：可以僅顯示一個區(qū)域，也可同時顯示幾個區(qū)域，或顯示場景的動態(tài)掃描序列；所選區(qū)域中的圖形映射到設備坐標系的區(qū)域中。選擇多個觀察區(qū)時，這些區(qū)域分別放在不同的顯示位置，或將某些區(qū)域插入另外的大區(qū)域中。窗口Y世界X世界世界坐標系Y設備視區(qū)X設備設備坐標系ymaxyminxmaxxmin視區(qū)定義☆圖形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程

●觀察坐標系●視區(qū)定義

?視區(qū)的功用●二維觀察變換

第22頁/共27頁第21頁/共27頁視區(qū)的功用改變視區(qū)的位置，可在輸出設備顯示區(qū)的不同位置觀察物體。改變視區(qū)的尺寸，可改變顯示對象的尺寸和位置：如果將不同尺寸的窗口連續(xù)映射到尺寸不變的視區(qū)中，可得到縮放的效果；當窗口越變越小時，可以放大場景中的某一部分，從而觀察在較大的窗口時未顯示出的細節(jié)；同樣，通過從一個場景部分開始連續(xù)地放大的窗口，可以得到逐步放大的場景；將固定尺寸的窗口移過場景中不同對象，產生掃描或搖景的效果。視區(qū)Y設備X設備ymaxyminxmaxxmin☆圖形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程

●觀察坐標系●視區(qū)定義

?視區(qū)的功用●二維觀察變換

第23頁/共27頁第22頁/共27頁二維觀察：窗口到視區(qū)變換世界坐標系中分區(qū)域映射到設備坐標系的操作稱觀察變換包括：平移、旋轉、縮放及刪除顯示區(qū)域以外的圖形部分。有時，二維觀察變換簡單地稱為窗口到視區(qū)的變換或窗口變換。實際上，觀察不僅僅是從窗口到視區(qū)的變換。觀察變換通過保持對象在規(guī)范化坐標空間中和在觀察坐標系中有同樣相對位置的變換來實現(xiàn)。(連貫性)xwmaxxwminywminywmax(xw,yw)xvmaxxvminyvminyvmax(xv,yv)不同坐標系中的兩點具有相同的相對位置。滿足下列條件：☆圖形幾何變換●基本幾何變換

●變換矩陣表示●其它變換表示☆二維圖形觀察●二維觀察流程

●觀察坐標系●視區(qū)定義●二維觀察變換

?窗口視區(qū)變換

?窗視變換推導

?工作站變換

?工作站變換示意第24頁/共27頁第23頁/共27頁窗口到視區(qū)變換推導窗口內的點(xw,yw)映射到對應視區(qū)的點