南京航空航天大學(xué) 結(jié)構(gòu)力學(xué) 課后習(xí)題答案 第3章

第三章能量原理（習(xí)題解答）3-1寫出下列彈性元件的應(yīng)變能和余應(yīng)變能的表達(dá)式。（a）等軸力桿；（b）彎曲梁；（c）純剪矩形板。解：（a）等軸力桿應(yīng)變能余應(yīng)變能其中為桿的長度，為桿的截面積，Δ為桿的變形量，為材料的彈性模量。（b）彎曲梁應(yīng)變能余應(yīng)變能（c）純剪矩形板應(yīng)變能余應(yīng)變能3-2求圖3-2所示桁架的應(yīng)變能及應(yīng)變余能，應(yīng)力—應(yīng)變之間的關(guān)系式為（a）（b）解：取節(jié)點(diǎn)2進(jìn)行受力分析，如圖3-2a所示。根據(jù)平衡條件，有（1）（2）（3）（a）時(shí)（4）（5）聯(lián)立（1）、（2）、（3）、（4），得到桁架的應(yīng)變能為聯(lián)立（1）、（2）、（3）、（5），得到桁架的余應(yīng)變能為（b）時(shí)（6）聯(lián)立（1）、（2）、（4）、（6），得到桁架的應(yīng)變能為聯(lián)立（1）、（2）、（5）、（6），得到桁架的應(yīng)變能為3-3一種假想的材料遵循如下二維的應(yīng)力—應(yīng)變規(guī)律其中E、G和是材料常數(shù)。導(dǎo)出用這種材料做成的二維物體的應(yīng)變能密度。解：應(yīng)變能密度余應(yīng)變能密度總應(yīng)變能密度而所以應(yīng)變能密度為3-4試用虛位移原理或最小位能原理確定題3-4圖所示平面桁架的節(jié)點(diǎn)o的位置和各桿內(nèi)力。各桿材料相同，彈性常數(shù)為E。，，各桿截面積，，。解：設(shè)o點(diǎn)的位移為、，則各桿的變形量如下：o-1桿：o-2桿：o-3桿：系統(tǒng)位能令，則，，從而：解得由，得3-5試用最小位能原理導(dǎo)出承受均布載荷的彎曲等截面梁（圖3-5）的平衡方程式。解：由教科書例3-2知懸臂梁的邊界條件為：在在處，，處，剪力，彎矩又知（直法線假設(shè)）在處，彎矩所以，當(dāng)時(shí)，又知所以在處，剪力所以，當(dāng)時(shí)，由以上，如果則有受均布載荷懸臂梁的平衡方程為＝03-6試用最小余能原理求解圖3-6所示圓框的彎矩表達(dá)式，并給出彎矩圖。圓框的截面彎矩剛度為EJ、。解：根據(jù)圓框的對稱性可知，在圖3-6a的受力分析圖中，只有軸力和彎矩，而無剪力。取右半部分的一段進(jìn)行受力分析如圖3-6a所示。根據(jù)平衡條件，可得到彎矩表達(dá)式余應(yīng)變能外力余能故根據(jù)最小余能原理（1）（2）聯(lián)立（1）、（2）解得則圓框截面的彎矩為3-7試用瑞利—李茲法確定圖3-7所示梁的點(diǎn)處橫向撓度。解：梁兩端簡支，其位移邊界條件為，選取正弦函數(shù)為基函數(shù)，取前兩項(xiàng)，則梁的應(yīng)變能為梁的外力勢能梁的總位能由最小位能原理因此當(dāng)時(shí)3-8沿直平面內(nèi)的正方形薄板，邊長為2a，四邊固定，只受重力作用，如圖3-8所示。設(shè)，試取位移分量的表達(dá)式為用瑞利—李茲法或伽遼金法求解。解：運(yùn)用伽遼金法求解。本題中的四邊形薄板四邊固支，因此是一個(gè)平面應(yīng)力問題。其基本方程為（1）當(dāng)只取項(xiàng)和項(xiàng)時(shí)，位移分量的表達(dá)式為（2）因?yàn)?，所以?）式可簡化為（3）將，及（2）式代入（3）式，得即簡化為由此解得代入位移表達(dá)式，得由物理方程，得3-9用李茲法求解受均布載荷作用雙簡支梁的最大撓度和最大彎矩，撓度函數(shù)選下列兩種形式，比較其計(jì)算結(jié)果。（a）（b）解：雙簡支梁兩端的位移邊界條件是在處，彎矩的表達(dá)式為（a）時(shí)梁的總位能由最小位能原理有所以撓度函數(shù)的表達(dá)式最大撓度最大彎矩（b）時(shí)梁的總位能由最小位能原理有所以撓度函數(shù)的表達(dá)式最大撓度最大彎矩3-10用李茲法求解受均布載荷懸臂梁的撓度，撓度函數(shù)選下列各種形式，并比較兩種計(jì)算所得的最大撓度。（a）（b）解：懸臂梁的邊界條件是在x=0處，（a）時(shí)梁的總