第4章 高等數(shù)學(xué)

1.說出加法原理和乘法原理的內(nèi)容，并能對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行判斷和計(jì)算。2.闡述排列和組合的含義，能夠說出二者的區(qū)別和聯(lián)系，并能對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行判斷和計(jì)算。3.寫出二項(xiàng)展開式及其通項(xiàng)公式，說出二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能運(yùn)用公式和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和簡(jiǎn)單證明。4.提高對(duì)事物的抽象能力和分析能力。第4章排列、組合與二項(xiàng)式定理第一節(jié)兩個(gè)基本原理一、加法原理加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。二、乘法原理乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，…，做第n步有種不同的方法。那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。加法原理和乘法原理區(qū)別在于一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)，如果完成一件事有n類辦法，這些辦法彼此之間是互相獨(dú)立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用加法原理；如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟來完成，每個(gè)步驟缺一不可，需要完成所有步驟，才能完成這件事，而完成每一個(gè)步驟各有若干方法，求完成這件事的方法種數(shù)就要用乘法原理。上述兩個(gè)基本原理，在排列、組合的計(jì)算中，有著廣泛的應(yīng)用。

第二節(jié)

排列

一、排列

我們看下面的問題:問題1：北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同的飛機(jī)票？這個(gè)問題就是從北京、上海、廣州三個(gè)民航站中，每次取出兩個(gè)站，按照起點(diǎn)站在前、終點(diǎn)站在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法。首先確定起點(diǎn)站，在三個(gè)站中，任選一個(gè)站為起點(diǎn)站，有3種方法；其次確定終點(diǎn)站，當(dāng)選定起點(diǎn)站以后，終點(diǎn)站就只能在其余的兩個(gè)站中去選，因此，有2種方法。那么，根據(jù)乘法原理，在三個(gè)民航站中，每次取兩個(gè)，按起點(diǎn)站在前、終點(diǎn)站在后的順序排列的不同方法共有3×2=6種，也就是說,需要準(zhǔn)備如下6種不同的飛機(jī)票。

問題2：由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?這個(gè)問題就是從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)，按照百位、十位、個(gè)位的順序排列起來，求一共有多少種不同的排法。第一步，先確定百位上的數(shù)字，在1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有4種方法；第二步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定以后，十位上的數(shù)字只能從余下的三個(gè)數(shù)字中去取，有3種方法；第三步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字都確定以后，個(gè)位上的數(shù)字只能從余下的兩個(gè)數(shù)字中去取，有2種方法；根據(jù)乘法原理，從四個(gè)不同的數(shù)字中,每次取出三個(gè)排成三位數(shù)的方法共有4×3×2=24種。就是說,可以排成24個(gè)不同的三位數(shù)。

定義1

從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情況），按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。例1寫出從字母a，b，c，d里，任取兩個(gè)字母的所有不同排列，這樣的排列有幾個(gè)?解從a，b，c，d四個(gè)字母中任取2個(gè)的排列有ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc。所以,這樣的排列有12個(gè)。

二、排列數(shù)公式

定義2從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)P表示(P是英文排列Permutation的第一個(gè)字母)。

例如，從8個(gè)不同元素中取出5個(gè)元素的排列數(shù)表示為P，從7個(gè)不同元素中取出6個(gè)元素的排列數(shù)表示為P。

排列數(shù)公式

=n(n-1)(n-2)···（n-m+1）這里n、m∈N，并且m≤n。在排列中，n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列。全排列的排列數(shù)為：P=n?(n-1)?(n-2)?…?3?2?1.

第三節(jié)

組合

一、組合

定義1

從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，不管怎樣的順序并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。

從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)。例如ab與ba是兩個(gè)不同的排列，但它們卻是同一個(gè)組合。

二、組合數(shù)公式

定義2

從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C

表示(C是英文組合Combination的第一個(gè)字母)。組合數(shù)公式

這里n，m∈N，并且m≤n。這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式。

三、組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

性質(zhì)1性質(zhì)2例某醫(yī)院呼吸內(nèi)科有6名醫(yī)生，需要安排其中2人到發(fā)熱門診值班，共有多少種不同的安排方法?解要從6名醫(yī)生中任取2人到發(fā)熱門診值班，取出的2人與順序無關(guān)，因此這是個(gè)從6個(gè)元素中任取2個(gè)元素的組合問題。

C==15

答：共有15種不同的安排方法。

第四節(jié)

二項(xiàng)式定理

一、二項(xiàng)式定理等式右邊的式子叫做(α+b)n的二項(xiàng)展開式。式中的為展開式的第r+1項(xiàng)，叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，用Tr+1表示。

二、二項(xiàng)展開式的性質(zhì)

從二項(xiàng)展開式中，可以得到以下幾個(gè)重要性質(zhì)：(1)如果二項(xiàng)式的指數(shù)為n，那么展開式中共有n+1項(xiàng)。(2)展開式各項(xiàng)中α的指數(shù)從n起依次減少1，直到0為止；b的指數(shù)從0起依次增加1，直到n為止。每一項(xiàng)里a和b的指數(shù)之和等于n。(3)展開式中，與首、未兩端“等距離”的兩項(xiàng)系數(shù)相等。

(4)如果二項(xiàng)式的指數(shù)是偶數(shù)，那么展開式中間一項(xiàng)的系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的指數(shù)是奇數(shù)，那么中間兩項(xiàng)系數(shù)相同并且最大。例1求展開式及通項(xiàng)公式。解因?yàn)榭煽闯蒣a+(―b)]n，所以=[a+(―b)]n

=Can(―b)0+Can-1(―b)1+Can-2b2+…+C(―b)n

=C

anb―Can-1b