A不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)

會(huì)計(jì)學(xué)1A不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)2本節(jié)主要內(nèi)容相似矩陣的概念方陣相似對(duì)角化的條件與方法幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似對(duì)角化的方法7.2

相似矩陣第1頁(yè)/共41頁(yè)3設(shè)A,B是兩個(gè)n階方陣,如果存在可逆矩陣T,使T-1AT=B則稱(chēng)A與B相似,記作A~B.從A到B的這種變換稱(chēng)為相似變換,T為相似變換矩陣.7.2.1

相似矩陣的概念1

定義例如

T-1ET=E,第2頁(yè)/共41頁(yè)4即相似關(guān)系滿(mǎn)足:(1)

自反性:A~A;(2)

對(duì)稱(chēng)性:若A~B,則B~A;(3)

傳遞性:若A~B,B~C,則A~C.矩陣的相似關(guān)系是上的一種等價(jià)關(guān)系,

所以彼此相似的矩陣構(gòu)成一個(gè)等價(jià)類(lèi),最簡(jiǎn)單的代表元就是對(duì)角陣.第3頁(yè)/共41頁(yè)52相似矩陣的特征多項(xiàng)式定理7.2若A與B相似,則特征多項(xiàng)式同,即證因A與B相似,所以存在可逆矩陣T,使T-1AT=B第4頁(yè)/共41頁(yè)6則是A

的n個(gè)特征值.推論若n階方陣A與對(duì)角陣相似,結(jié)論成立.第5頁(yè)/共41頁(yè)73

相似矩陣有5同(4)跡同:(1)

特征多項(xiàng)式同:(2)特征值同:(3)行列式同:(5)秩同:如果A,B是兩個(gè)n階方陣,A~B.則有但逆命題不成立即特征值同但不相似陣(2)的反例如下:第6頁(yè)/共41頁(yè)8(1)相似矩陣有相同的可逆性,當(dāng)A可逆時(shí),

若A~B,則A-1~B-1,B*~A*,B*=T-1A*T

.

(2)

若A~B,則Am

~Bm,其中m是正整數(shù).(3)若A~B,設(shè)

f(x)

是一個(gè)一元多項(xiàng)式,

則

f(A)~f(B),4

相似矩陣的性質(zhì)(5)若A~B,則對(duì)常數(shù)t有(4)若A~B,則AT

~BT.第7頁(yè)/共41頁(yè)9與相似,解由|5E

–A|=5-5x=0x=

1tr(A)=tr()

y=

-1.例1求

x

,

y

.兩矩陣相似等價(jià)5

矩陣的相似與等價(jià)的關(guān)系顯然A有特征值5,-5.第8頁(yè)/共41頁(yè)107.2.2

相似對(duì)角化的條件及方法1

定義若A與對(duì)角陣相似,稱(chēng)A可以相似對(duì)角化.2

相似對(duì)角化的條件定理7.3

n階方陣A與對(duì)角陣相似A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.A的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,且的主對(duì)角線(xiàn)上元素是與其對(duì)應(yīng)的特征值.T-1AT=為對(duì)角陣T的n個(gè)列向量是第9頁(yè)/共41頁(yè)11證設(shè)A與對(duì)角陣相似,則可逆陣T,使所以有AT=T用T1,T2,…,Tn表示T的n個(gè)列向量,即T=(T1,T2,…,Tn)(注意:證明過(guò)程給出相似對(duì)角化的方法)第10頁(yè)/共41頁(yè)12即A(T1,…,Tn)=(AT1,…,ATn)=等式兩邊的列向量應(yīng)當(dāng)對(duì)應(yīng)相等,所以:由T可逆知,T1,…,Tn線(xiàn)性無(wú)關(guān),故是A的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.第11頁(yè)/共41頁(yè)13

設(shè)T1,T2,…,Tn是n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的列向量,滿(mǎn)足:

ATi=iTi,i=1,2,…,n如果令T=(T1,T2,…,Tn)

AT=A(T1,T2…,Tn)=(AT1,AT2,…,ATn)=(1T1,2T2,…,nTn)=(T1,T2,…,Tn)diag(1,2,…,n)=Tdiag(1,2,…,n)T-1AT第12頁(yè)/共41頁(yè)14A可相似對(duì)角化.若A有n個(gè)互異特征值

例如,n階單位陣E可對(duì)角化,但是它的

互異特征值只有1個(gè)(n重

).屬于A的不同特征值的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)問(wèn)題：若A可相似對(duì)角化,那么A一定有n個(gè)

互異特征值?推論1第13頁(yè)/共41頁(yè)157.2.3幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù):矩陣A的每個(gè)特征值i的特征子空間

Vi的維數(shù)為i的幾何重?cái)?shù).

(即

(iE-A)X=0基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)).代數(shù)重?cái)?shù):(i在特征方程中的重根數(shù)).A的特征值的幾何重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù).定理7.4注

復(fù)矩陣A的所有特征值的代數(shù)重?cái)?shù)之和每個(gè)特征值幾何重?cái)?shù)=代數(shù)重?cái)?shù)時(shí).復(fù)矩陣A可相似對(duì)角化=n,所以有第14頁(yè)/共41頁(yè)16解x=

y.R(E

–A)=1,可相似對(duì)角化,求x,

y滿(mǎn)足的條件.例2R(3E

–A)=2特征值為1，1，3.第15頁(yè)/共41頁(yè)17設(shè)三階方陣A

的特征值為1,-1,-1,依次是對(duì)應(yīng)的特征向量,求A與A9

.T1=

,100T2

=

,

0

1-1T3=

3

2-1解

設(shè)則經(jīng)驗(yàn)證T1,T2,

T3線(xiàn)性無(wú)關(guān),A可相似對(duì)角化.例3第16頁(yè)/共41頁(yè)187.3

實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的的正交相似對(duì)角化第17頁(yè)/共41頁(yè)197.3.1

實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值與特征向量實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的性質(zhì):性質(zhì)1

實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值都是實(shí)數(shù).性質(zhì)2

實(shí)對(duì)稱(chēng)陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的實(shí)特征向量必正交.證

設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,是A的的特征值,且A=,A2=22往證1T2=0.11T2=(11)T2=(A1)T2=1TAT2=1T(A2)

=T(22)=21T

2(1-2)1T2=01T

2=0.第18頁(yè)/共41頁(yè)207.3.2實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的正交相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣可以正交相似對(duì)角化.其中是A的特征值.證

A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,

有定理7.6即:若A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,則正交陣P,使得(證明過(guò)程給出方法)第19頁(yè)/共41頁(yè)21

不同特征值

λ1

λ2

…

λs代數(shù)重?cái)?shù)

r1

r2

…

rs幾何重?cái)?shù)

r1

r2

…

rs無(wú)關(guān)特征向量

X11

…X1r1

X21…X2r2…

Xs1…Xsrs標(biāo)準(zhǔn)正交化標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量則

…為正交陣令第20頁(yè)/共41頁(yè)22推論

實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的任一特征值的代數(shù)重?cái)?shù)=幾何重?cái)?shù).即方程組的基礎(chǔ)解系恰好含有ri個(gè)向量.第21頁(yè)/共41頁(yè)23設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A

的特征值為-1,1,1,

-1所對(duì)應(yīng)的特征向量為(0,1,1)T

.求1對(duì)應(yīng)的特征向量.例1X=

k(1,0,0)T+l(0,-1,1)T解設(shè)

X=(x1,x2,x3

)T,k

,l是不全為零的任意常數(shù).第22頁(yè)/共41頁(yè)24解例2設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A

的特征值為1,2,2,

2對(duì)應(yīng)的特征向量為(1,1,0)T

(0,1,1)T

.求A的屬于1的實(shí)單位特征向量.設(shè)

X=(x1,x2,x3

)T,第23頁(yè)/共41頁(yè)25或所以得第24頁(yè)/共41頁(yè)例3

設(shè)求正交陣使

為對(duì)角陣

.解特征值為第25頁(yè)/共41頁(yè)將代入(2E-A)X=0得基礎(chǔ)解系正交化單位化第26頁(yè)/共41頁(yè)28將代入(-7E-A)X=0得基礎(chǔ)解系單位化故為正交陣diag(2,2,-7)第27頁(yè)/共41頁(yè)29已知矩陣A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,它的特征值分別是

1,1,2,且屬于2

的特征向量是

(1,0,1,)T,

求A=?

解

A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,正交相似于對(duì)角陣

diag(1,1,2),

屬于特征值1的特征向量與屬于2的特征向量

(1,0,1,)T正交,由此得到屬于1的特征向量為(0,1,0)T,(1,0,-1)T,

單位化得到相應(yīng)的正交矩陣:例4第28頁(yè)/共41頁(yè)30由PTAP=diag(1,1,2)可以得到A.第29頁(yè)/共41頁(yè)31例5設(shè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值都大于零,試證證因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,所以存在正交陣P,使第30頁(yè)/共41頁(yè)32預(yù)習(xí)

習(xí)題六(^-^)Bye!第31頁(yè)/共41頁(yè)331.若A有n個(gè)互異特征值

A可相似對(duì)角化.2.A可對(duì)角化A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.3.

A可對(duì)角化A每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)R(λiE

–A)=n-ri

(i=1,2,…,s)=代數(shù)重?cái)?shù).總結(jié)(A為方陣)4.實(shí)矩陣在實(shí)數(shù)域內(nèi)對(duì)角化,首先特征值都是實(shí)數(shù),且每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)=代數(shù)重?cái)?shù).5.實(shí)對(duì)稱(chēng)陣一定可以正交相似對(duì)角化第32頁(yè)/共41頁(yè)34(1)特征多項(xiàng)式,

(2)

特征值,(1)A的k次冪,(2)(4)已知特征值,特征向量,反求矩陣A.(3)判斷矩陣相似(若A~,B~,則A~B.)(A可相似對(duì)角化).2.可以簡(jiǎn)化方陣A的某些計(jì)算如求A相似與對(duì)角陣的應(yīng)用：1.有5同,所以易求(3)行列式,

(4)

跡,

(5)

秩.第33頁(yè)/共41頁(yè)35設(shè)求正交陣P,使得PTAP成對(duì)角陣.解

(1)例6第34頁(yè)/共41頁(yè)36求得基礎(chǔ)解系:

(2)

將代入(E,得第35頁(yè)/共41頁(yè)37先將其正交化:第36頁(yè)/共41頁(yè)38再