ansoft高級(jí)培訓(xùn)班教程

會(huì)計(jì)學(xué)1ansoft高級(jí)培訓(xùn)班教程第一章概述

AnsoftHFSS軟件是應(yīng)用有限元方法的原理來編制的，深入的了解有限元方法的理論基礎(chǔ)，及其在電磁場(chǎng)與微波技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用原理，對(duì)于我們靈活、準(zhǔn)確地使用AnsoftHFSS軟件來解決實(shí)際工程問題能夠提供幫助。這一部分教材的內(nèi)容就是在結(jié)合AnsoftHFSS軟件中涉及到的有限元技術(shù)，力爭(zhēng)在最小的篇幅和最短的時(shí)間里為學(xué)員建立理論結(jié)合實(shí)際的有限元方法的基本概念。

第2頁/共68頁第1頁/共68頁第二章有限元的基本理論及三維有限元分析

有限元方法是近似求解數(shù)理邊值問題的一種數(shù)值技術(shù)，大約有40年的歷史。他首先在本世紀(jì)40年代被提出，在50年用于飛機(jī)的設(shè)計(jì)。在六七十年代被引進(jìn)到電磁場(chǎng)問題的求解中。第3頁/共68頁第2頁/共68頁2．1電磁場(chǎng)邊值問題及其變分原理

電磁場(chǎng)的邊值問題和很多的物理系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)模型中的邊值問題一樣，都可以用區(qū)域Ω內(nèi)的控制微分方程（電磁場(chǎng)問題中可以是泊松方程、標(biāo)量波動(dòng)方程和矢量波動(dòng)方程等）和包圍區(qū)域的邊界Γ上的邊界條件（可以是第一類的Dirichlet條件和第二類的Neumann條件，或者是阻抗和輻射邊界條件等）來定義。微分方程可表示為：（2.1）式中，是微分算符，是激勵(lì)函數(shù)，是未知量。第4頁/共68頁第3頁/共68頁對(duì)于電磁場(chǎng)邊值問題，只有少數(shù)情況可以得到解析解。很多的時(shí)候我們采用基于變分原理的數(shù)值方法去求其近似解，比如伽遼金方法。在伽遼金方法中，我們首先定義非零的殘數(shù)：（2.2)

的最佳近似應(yīng)能滿足：

（2.3)

第5頁/共68頁第4頁/共68頁

這里表示殘數(shù)加權(quán)積分（也可稱為誤差泛函），是所選擇的加權(quán)函數(shù)。進(jìn)一步地，我們可以將近似解展開為：

(2.4)式中，是定義在區(qū)域Ω內(nèi)的展開函數(shù)，是待定的展開系數(shù)。并且我們將加權(quán)函數(shù)選為：（2.5）

第6頁/共68頁第5頁/共68頁這時(shí)，式（2.3）變?yōu)椋海?.6）這樣問題的求解就轉(zhuǎn)化為能夠使上式最小化的展開系數(shù)的線性問題的求解，將（2.6）式寫為矩陣形式：（2.7）的元素為：（2.8）的元素為：（2.9）第7頁/共68頁第6頁/共68頁2．2有限元方法的原理――從一維的例子

來看其建模的過程

從上一小節(jié)的內(nèi)容我們可以看到電磁場(chǎng)邊值問題變分解法的這樣的兩個(gè)特點(diǎn)：（1）變分問題已經(jīng)將原來電磁場(chǎng)邊值問題的嚴(yán)格求解變?yōu)榍蠼庠诜汉馑枷碌娜踅猓@個(gè)解可以和原來的解式不一樣的。（2）在電磁場(chǎng)邊值問題的變分方法中，展開函數(shù)（也可成為試探函數(shù)）是由定義在全域上的一組基函數(shù)組成，這種組合必須能夠表示真實(shí)解，也必須滿足適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，這對(duì)于二維、三維問題是非常困難的。第8頁/共68頁第7頁/共68頁

很自然的，人們認(rèn)為如果采用組成全域的子域上的一組基函數(shù)能夠提高近似解對(duì)于真實(shí)解的逼近精度。這就是有限元方法。下面我們通過一個(gè)簡(jiǎn)單的一維例子來看看有限元方法的建模過程和其方法的特點(diǎn)?？紤]一個(gè)均勻充填介電常數(shù)為ε的平板電容器，如圖2.1所示:第9頁/共68頁第8頁/共68頁

如果我們假設(shè)電場(chǎng)只有x方向的分量，問題就可以簡(jiǎn)化為一維問題。問題的支配方程為：

（2.10）其邊界條件為：（2.11）利用（2.10）式與權(quán)函數(shù)構(gòu)成內(nèi)積，仿照（2.3）式的方法我們可以給出這里的誤差泛函：

（2.12）第10頁/共68頁第9頁/共68頁

如圖2.2所示，我們可以將一維區(qū)域離散化為N段（單元），每一小段又有編號(hào)為“1”和“2”的兩個(gè)端點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)），也稱為“本地”序號(hào)，當(dāng)然，與單元一樣每個(gè)結(jié)點(diǎn)還有相應(yīng)的全域序號(hào)。

第11頁/共68頁第10頁/共68頁

如果我們假設(shè)在單元內(nèi)部電位函數(shù)按照線性規(guī)律變化，也就是對(duì)于單元內(nèi)部的函數(shù)進(jìn)行一階插值：

(2.13）特別的，在兩個(gè)結(jié)點(diǎn)和處我們令其值分別為和，則（2.13）式可以重新寫為（實(shí)際上和就成為了這一子域上的待求的系數(shù)）：（2.14）其中：，，，，第12頁/共68頁第11頁/共68頁

那么這時(shí)候在離散化的意義下，泛函（2.12）式可以寫為：（2.15）其中，k是結(jié)點(diǎn)的全域序號(hào)，K是所有結(jié)點(diǎn)的總數(shù)，是第k個(gè)結(jié)點(diǎn)的子域。由于結(jié)點(diǎn)和單元的關(guān)系，我們可以在單元內(nèi)選?。╥＝1，2）做為權(quán)函數(shù)，在利用一些矢量運(yùn)算恒等式，我們可以得到：（2.16）式中，n為單元的序號(hào)，N為總的單元數(shù)。

第13頁/共68頁第12頁/共68頁注意到在離散化子域上有：（2.17）（2.18）實(shí)際問題中，應(yīng)該是域內(nèi)無源，所以為零。則在每個(gè)單元內(nèi)（2.16）式的左邊可以寫為線性表達(dá)式：（2.19）

第14頁/共68頁第13頁/共68頁

（2.19）

具體的我們可以用圖2.1所示的例子來進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)。在圖2.1的離散化情況下我們有3個(gè)未知數(shù)，即對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)全域序號(hào)的，和（而其中的和又有邊界條件給定）。首先將（2.19）式對(duì)應(yīng)單元1中的線性表達(dá)式的值帶入到求解全部3個(gè)未知數(shù)的全域矩陣中：

（2.20）

第15頁/共68頁第14頁/共68頁

再將（2.19）式對(duì)應(yīng)單元2中的線性表達(dá)式的值帶入到求解全部3個(gè)未知數(shù)的全域矩陣中，構(gòu)成全域矩陣方程：（2.21）第16頁/共68頁第15頁/共68頁

再在（2.21）式中加入邊界條件和，則有最終的矩陣方程：（2.22）很方便的可以解出。第17頁/共68頁第16頁/共68頁從這個(gè)很簡(jiǎn)單的例子我們可以看出有限元方法的幾個(gè)特點(diǎn)：（1）通過離散化和建立誤差泛函，原來的電磁場(chǎng)邊值問題變?yōu)榍蠼饩仃嚪匠?，這是原來問題的弱解。（2）最終矩陣方程的維數(shù)與結(jié)點(diǎn)的總數(shù)相同，未知數(shù)是結(jié)點(diǎn)上的數(shù)值解，單元內(nèi)的數(shù)值是依靠結(jié)點(diǎn)處數(shù)值解的插值（這里是線性插值）。（3）最終矩陣的構(gòu)成是由子域上的小線性系統(tǒng)按照其全域序陣，其計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)要求并不大。號(hào)來在相應(yīng)位置上填充的，所以最終矩陣是稀疏矩陣，其計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)要求并不大。

第18頁/共68頁第17頁/共68頁總結(jié)來看，有限元方法的建模過程可以分為以下幾個(gè)步驟：（1）區(qū)域離散。在任何有限元分析中，區(qū)域離散是第一步，或許也是最重要的一步，因?yàn)閰^(qū)域離散的方式將影響計(jì)算機(jī)內(nèi)存的需求、計(jì)算時(shí)間和數(shù)值結(jié)果的精確度。在我們前面的一維例子里面，我們選取短直線段為單元，二維可以選擇矩形或者三角形，三維問題可以選擇四面體、三棱柱或矩形塊。AnsoftHFSS選用的四面體作為基本單元，在下一小節(jié)我們將著重加以介紹。第19頁/共68頁第18頁/共68頁（2）插值函數(shù)的選擇。在每一個(gè)離散單元的結(jié)點(diǎn)上的值是我們要求的未知量，在其內(nèi)部的其它點(diǎn)上的值是依靠結(jié)點(diǎn)值對(duì)其進(jìn)行插值。我們?cè)谝陨系囊痪S例子中選擇了線性插值，很多復(fù)雜的問題中如果選用高階多項(xiàng)式插值精度應(yīng)該更高，但是公式也更復(fù)雜。AnsoftHFSS軟件中有兩種插值方式可供選擇，我們將在下節(jié)中的介紹。第20頁/共68頁第19頁/共68頁（3）方程組的建立。對(duì)Maxwell方程利用變分方法建立誤差泛函，由于問題已經(jīng)離散化為很多個(gè)子域的組合，我們可以首先在每個(gè)單元內(nèi)建立泛函對(duì)應(yīng)的小的線性表達(dá)式，其次，將其填充到全域矩陣中的相應(yīng)位置，最后應(yīng)用邊界條件來得到矩陣方程的最終形式。（4）方程組的求解。方程組的求解是有限元分析的最后一步。最終的方程組是下列兩種形式之一：（2.23）或者（2.24）第21頁/共68頁第20頁/共68頁方程（2.23）是確定型的，它是從非齊次微分方程或非齊次邊界條件或從它們兩者兼有的問題中導(dǎo)出的。在電磁學(xué)中，確定性方程組通常與散射、輻射以及其它存在源或激勵(lì)的確定性問題有關(guān)。而方程（2.24）是本征值型的，它是從齊次微分方程和齊次邊界條件導(dǎo)出的。在電磁學(xué)中，本征值方程組通常與諸如波導(dǎo)中波傳輸和腔體中的諧振等無源問題有關(guān)。在這種情形下，已知向量為零，矩陣可以寫成

的形式，這里λ表示未知的本征值。這兩種方程組的解法是不同的，我們會(huì)在2.4節(jié)中具體介紹。第22頁/共68頁第21頁/共68頁2．3三維時(shí)諧場(chǎng)有限元問題

在上一節(jié)中，我們用一個(gè)靜電問題的例子介紹了有限元的建模過程。這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的一維例子，能夠是我們?cè)诮榻B中將注意力最大限度的集中到有限元方法本身的介紹，從而使讀者很容易掌握有限元方法的基本特點(diǎn)。但是，實(shí)際上所有的物理問題都是三維的，AnsoftHFSS軟件也是以三維有限元方法為基礎(chǔ)的，本小節(jié)將通過以下幾個(gè)方面對(duì)其著力加以介紹。第23頁/共68頁第22頁/共68頁2．3．1三維支配方程

廣義的來說，三維麥克思韋方程組是三維電磁場(chǎng)問題的三維支配方程，但是，一般情況下為了方便求解和建模，大多選取由麥克思韋方程組的前兩個(gè)旋度方程導(dǎo)出的電場(chǎng)強(qiáng)度滿足的矢量亥姆赫茲方程作為支配方程（注意：麥克思韋方程組中的后兩個(gè)散度方程并沒有被考慮）。比如，AnsoftHFSS軟件的支配方程為：（2.25）

式中：是時(shí)諧場(chǎng)對(duì)應(yīng)的相量，（在abc3d模塊中）。是自由空間波數(shù)，是復(fù)的相對(duì)導(dǎo)磁率，是復(fù)的相對(duì)介電常數(shù)（考慮了介質(zhì)的損耗）。第24頁/共68頁第23頁/共68頁2．3．2三維變分公式

根據(jù)我們上一節(jié)介紹的變分原理，上式的泛函可以寫為：（2.26）特別要指出的是，這只是無源區(qū)的域內(nèi)支配方程對(duì)應(yīng)的泛函，還沒有強(qiáng)加邊界條件和源項(xiàng)。第25頁/共68頁第24頁/共68頁2．3．3三維離散單元

從上一節(jié)關(guān)于有限元建模過程的介紹我們可以看到，有限元方法的一個(gè)關(guān)鍵步驟是建立離散單元的小矩陣，只要我們得到了離散單元的小矩陣，然后將其填充到全域矩陣中。因此三維有限元與一維和二維有限元的重要區(qū)別也就在如何利用（2.3）式泛函建立三維離散單元的小矩陣。對(duì)于三維問題，矩形塊、四面體和六面體等都可以被選用做基本的離散單元，但是，不同離散單元對(duì)于有限元運(yùn)算的精度、速度和內(nèi)存需求都有不同。AnsoftHFSS采用四面體作為基本離散單元，并選用上一世紀(jì)80年代以后才被應(yīng)用于電磁學(xué)中的棱邊元作為矢量基函數(shù)。圖2.3AnsoftHFSS軟件中的四面體棱邊元第26頁/共68頁第25頁/共68頁

下面我們首先介紹按照結(jié)點(diǎn)值定義的四面體棱邊元，然后分析其可能帶來的偽解、界面不連續(xù)和奇異點(diǎn)等問題，最后介紹AnsoftHFSS選用的三維棱邊元，從而使讀者對(duì)其基本定義和選用其的優(yōu)越性得以充分了解。假設(shè)圖2.4所示的四面體內(nèi)的未知函數(shù)能夠近似為：（2.27）

圖2.4四面體單元第27頁/共68頁第26頁/共68頁

如果用四面體的四個(gè)頂點(diǎn)

（即四個(gè)結(jié)點(diǎn)）處的值（i=1,…,4）來表示，我們可以得到：（2.28）式中插值函數(shù)為（2.29）（單元四面體體積）（2.30）

第28頁/共68頁第27頁/共68頁而有下列等式獲得：（2.31）（2.32）

第29頁/共68頁第28頁/共68頁

（2.33）

（2.34）

第30頁/共68頁第29頁/共68頁

這就是傳統(tǒng)的有限元四面體單元的線性系統(tǒng)，可以看到類似于上一節(jié)中一維問題的線段端點(diǎn)作為結(jié)點(diǎn)未知量，這里四面體的頂點(diǎn)作為結(jié)點(diǎn)。然而，按照這一思路研究的有限元方法在解決時(shí)諧電磁場(chǎng)問題時(shí)出現(xiàn)了偽解、界面不連續(xù)和奇異點(diǎn)等問題，一直困擾著很多的研究者，我們具體對(duì)其介紹如下。第31頁/共68頁第30頁/共68頁2．3．4時(shí)諧電磁場(chǎng)有限元數(shù)值解的偽

解、界面不連續(xù)和場(chǎng)的奇異性問題

在實(shí)際運(yùn)用以上單元定義求解泛函（2.26）時(shí)，有時(shí)獲得的有限元數(shù)值解是錯(cuò)誤的。進(jìn)一步研究表明這種解不滿足散度條件，即在無源區(qū)域不滿足。初看起來，這似乎是不可能的，因?yàn)樯⒍葪l件已經(jīng)隱含在矢量亥姆赫茲方程（2.25）式的推導(dǎo)中。但是，（2.26）式的解只是（2.25）式解的弱解，（2.25）式要求的場(chǎng)的二次可微（也就是說必須是連續(xù)的），然而實(shí)際上我們只做到了插值函數(shù)本身的連續(xù)。這種情況下，不符合物理實(shí)際的偽解就有可能產(chǎn)生。

第32頁/共68頁第31頁/共68頁

另外一個(gè)按照以上單元定義容易出現(xiàn)的問題就是界面不連續(xù)情況的處理非常困難。如果實(shí)際物理問題中包含不同媒質(zhì)，即計(jì)算區(qū)域包含不連續(xù)性界面的情形下，我們需要在界面兩側(cè)強(qiáng)加連續(xù)性條件：（2.35）但是按照現(xiàn)有定義，在實(shí)施上述過程中，我們也強(qiáng)加了法向場(chǎng)連續(xù)性，這與實(shí)際下列邊界條件矛盾：（2.36）

很多研究者為了消除以上矛盾，做了很多的努力。比如說，在界面處細(xì)分網(wǎng)格，但也帶來了大大增加未知量的缺點(diǎn)。第33頁/共68頁第32頁/共68頁

尖端場(chǎng)的奇異性也給有限元發(fā)展帶來了很大的阻礙。因?yàn)樵诤芏鄬?shí)際應(yīng)用中，感興趣的區(qū)域包括導(dǎo)電體的尖邊緣和尖點(diǎn)，或者材料的尖邊緣和尖點(diǎn)，又是兩者兼而有之。我們都知道，在導(dǎo)電體邊緣和尖點(diǎn)，或材料的邊緣和尖點(diǎn)上，場(chǎng)的某些分量可能變成無窮大。但在有限元分析中，因?yàn)槭菙?shù)值解，即使問題包含邊緣和尖點(diǎn)，我們也要確定邊緣和尖點(diǎn)的場(chǎng)，然而，我們也看到，通過結(jié)點(diǎn)場(chǎng)插值無法得到無窮大的場(chǎng)。第34頁/共68頁第33頁/共68頁2．3．5三維棱邊元

上一世紀(jì)80年代以后，棱邊元單元的出現(xiàn)解決了上面提到的這些有限元方法的缺點(diǎn)。AnsoftHFSS正是采用了棱邊元（也稱為矢量有限元）的方法，下面我們對(duì)其進(jìn)行介紹。考察矢量函數(shù)：（2.37）

首先，容易看出，（2.38）

第35頁/共68頁第34頁/共68頁

其次，假設(shè)表示從結(jié)點(diǎn)1指向結(jié)點(diǎn)2的單位矢量。因?yàn)槭菑慕Y(jié)點(diǎn)1處的1變化到結(jié)點(diǎn)2處的0的線性函數(shù)，是從結(jié)點(diǎn)2處的1變化為結(jié)點(diǎn)1處的線性函數(shù)，所以，，其中，表示連接結(jié)點(diǎn)1和2的棱邊長(zhǎng)。因此（2.39）它表示沿棱邊（1，2）有一個(gè)常切向分量，沿其它5個(gè)棱邊沒有切向分量。第36頁/共68頁第35頁/共68頁如果定義該棱邊為1，則可以定義其矢量基函數(shù)為：（2.40）類似可得到棱邊i的矢量基函數(shù)為：

（2.41）其中棱邊數(shù)及相關(guān)結(jié)點(diǎn)和定義在表2.1中。

第37頁/共68頁第36頁/共68頁表2.1四面體單元的棱邊定義

棱邊

結(jié)點(diǎn)

結(jié)點(diǎn)

112213314423542634第38頁/共68頁第37頁/共68頁

在以上定義的基礎(chǔ)上，適用于泛函（2.26）的四面體單元內(nèi)的電場(chǎng)矢量可以表示為：（2.42）

其中，（i＝1，…，6）就是單元內(nèi)的未知量。這就是AnsoftHFSS中使用的棱邊元（對(duì)應(yīng)其0thorderbasisfunction）?？梢钥吹剑@類矢量基函數(shù)在單元內(nèi)自然滿足散度為零，旋度不為零（見（2.38）式），其定義也正好是沿切向定義的，棱邊元也避免了結(jié)點(diǎn)值，所以它能夠去除我們上一小節(jié)所談的結(jié)點(diǎn)值四面體的三個(gè)缺點(diǎn)。第39頁/共68頁第38頁/共68頁

四面體單元在模擬任意形狀的幾何體時(shí)，特別是不規(guī)則的幾何物體時(shí)，比矩形塊、六面體等單元更加靈活和準(zhǔn)確。雖然對(duì)于的同樣離散數(shù)，矩形塊和六面體比四面體的未知數(shù)要少，但是，有趣的是，對(duì)于幾乎同樣的未知量數(shù)目，采用四面體的有限元數(shù)值解比采用矩形塊和六面體的有限元數(shù)值解精度要高。應(yīng)該說，四面體單元特別是四面體棱邊元在解決三維問題時(shí)是較好的選擇。第40頁/共68頁第39頁/共68頁2．4有限元方程組的求解

在利用變分原理和離散化方法建立了有限元矩陣方程后，我們就面臨著求解以結(jié)點(diǎn)值為未知數(shù)的矩陣方程。我們將方程寫為：（2.42）式中系數(shù)矩陣A是一個(gè)n×n方陣，x是待求解的未知量，b表示已知向量。為了精確的描述電磁場(chǎng)工程中的實(shí)際問題，許多應(yīng)用中的系數(shù)矩陣的維數(shù)（對(duì)應(yīng)離散剖分的結(jié)點(diǎn)值未知量個(gè)數(shù)）非常大。結(jié)果，當(dāng)我們利用計(jì)算機(jī)尋求數(shù)值解時(shí)，我們遇到龐大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存需求和過長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間。幸好，正如我們?cè)?.2節(jié)談到的，有限元離散得到的矩陣總是稀疏的、對(duì)稱的和帶狀的。如果我們充分的利用這些性質(zhì)，就可以大大地第41頁/共68頁第40頁/共68頁節(jié)省存儲(chǔ)量。比如說，一般的有限元矩陣每行的非零元素少于15個(gè)，如果我們只存儲(chǔ)非零元素，由于對(duì)稱性，我們只需要存儲(chǔ)8個(gè)元素，因此，對(duì)于一個(gè)10000個(gè)未知量的方程，只有大約8×10000個(gè)非零矩陣元素需要存儲(chǔ)。加上用于記號(hào)所需的兩個(gè)整型數(shù)組，總存儲(chǔ)量不到相應(yīng)滿秩矩陣存儲(chǔ)空間的六百分之一。除存儲(chǔ)量降低外，有限元矩陣的特殊性質(zhì)也能減少計(jì)算時(shí)間。大量的零矩陣元素不需產(chǎn)生，加上適當(dāng)設(shè)計(jì)算法，它們?cè)诮膺^程中的運(yùn)算也可避免。因此，正是這一為矩量法等積分方程方法所不具備的特殊性質(zhì)，使得有限元方法對(duì)分析電大尺寸問題時(shí)更有吸引力。

第42頁/共68頁第41頁/共68頁

下面我首先介紹矩陣方程的解法，然后介紹在此基礎(chǔ)上AnsoftHFSS為在一定精度的要求上最大限度的提高效率而設(shè)計(jì)的自適應(yīng)迭代算法。第43頁/共68頁第42頁/共68頁2．4．1確定性問題矩陣方程求解的直接法

當(dāng)式（2.42）右端的已知激勵(lì)向量b不為零時(shí)，為確定性方程求解，也就是利用各種等效方法的對(duì)矩陣A求逆，其中最適用于有限元方法矩陣的是分解法，AnsoftHFSS就是采用的分解法。這其中，LU分解是最基礎(chǔ)的一種方法，很多的快速分解方法都是在其基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，所以我們這里將介紹LU分解方法。第44頁/共68頁第43頁/共68頁如果矩陣可以分解為

A＝LU（2.43）其中，L是一個(gè)下三角矩陣，U是一個(gè)上三角矩陣。那么，先求解

Ly＝b（2.44）然后求解

Ux＝y(tǒng)（2.45）即可得到（2.42）式的解。因?yàn)長(zhǎng)是一個(gè)下三角矩陣，y可通過前向替代過程而高效地獲得（2.46）

（2.47）

第45頁/共68頁第44頁/共68頁然后，x可通過后向替代過程而獲得（2.48）

（2.49）

這種分解算法其計(jì)算的復(fù)雜度正比于，也并沒有利用有限元帶狀稀疏陣的性質(zhì)。進(jìn)一步利用帶狀稀疏陣的分解算法能夠有效地提高運(yùn)算效率，降低計(jì)算復(fù)雜度。AnsoftHFSS的快速算法計(jì)算度就在以下。第46頁/共68頁第45頁/共68頁2．4．2確定性問題矩陣方程求解的迭代法

矩陣方程的迭代方法又可以分為直接迭代方法和共軛梯度法，特別是共軛梯度法現(xiàn)在被認(rèn)為是求解矩陣方程的有效方法。共軛梯度法首先給出未知量的一個(gè)初始猜測(cè)，然后在一定的泛函空間中按照搜索向量進(jìn)行迭代，直到達(dá)到設(shè)定的精度。共軛梯度法的計(jì)算復(fù)雜度正比于。因?yàn)锳nsoftHFSS使用的是分解法，這里對(duì)共軛梯度法不再詳細(xì)介紹。第47頁/共68頁第46頁/共68頁2．4．3本征值問題的解

當(dāng)式（2.42）右端的已知激勵(lì)向量b為零時(shí)，為對(duì)應(yīng)腔體諧振和波導(dǎo)分析的本征值方程求解。一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的本征值問題由下式定義：

Ax＝λx

（2.50）其中，A是一個(gè)n×n方陣，x是本征向量，λ表示對(duì)應(yīng)的本征值。顯然，僅當(dāng)下式成立時(shí)（2.51）（2.50）式才可能有非零解。在上式中，I表示單位矩陣。總的來說，本征值問題的解法很多，也比確定性問題更復(fù)雜，有些也是以矩陣分解為基礎(chǔ)的。第48頁/共68頁第47頁/共68頁

有限元方法得到的一般是廣義形式的本征值問題：Ax＝λBx（2.52）很明顯，如果把B分解為，其中L是一個(gè)下三角陣，那么廣義本征值問題可以改為標(biāo)準(zhǔn)形式（2.53）

Lanczos法是有效的求解帶狀稀疏矩陣的本征值問題的方法，大家可以在AnsoftHFSS的solver中找到。第49頁/共68頁第48頁/共68頁2．4．4AnsoftHFSS的自適應(yīng)迭代算法

從上面的討論我們可以看出，矩陣方程的求解復(fù)雜度與有限元的剖分密度即未知數(shù)數(shù)目有很大的關(guān)系，未知數(shù)數(shù)目越多，求解所需的時(shí)間越長(zhǎng)。然而，從另外一個(gè)方面來說，有限元方法求解的精度與也隨著未知數(shù)數(shù)目的增加而更加準(zhǔn)確。因此，有限元方法的求解時(shí)間與準(zhǔn)確度是一對(duì)矛盾。為了在越短的時(shí)間內(nèi)取得越大的精度，AnsoftHFSS采取了自適應(yīng)迭代算法，如圖2.5所示。該算法一開始先選用較粗的剖分，采用我們上面所談的方法求解，然后看其進(jìn)度是否滿足要求。如不滿足，進(jìn)一步細(xì)化剖分，再次進(jìn)行求解，知道達(dá)到給定的精度。第50頁/共68頁第49頁/共68頁圖2.5AnsoftHFSS的自適應(yīng)迭代算法第51頁/共68頁第50頁/共68頁第三章電磁內(nèi)問題和散射問題的有限元分析方法AnsoftHFSS是分析電磁場(chǎng)工程中的內(nèi)問題和射問題的有力工具，下面我們對(duì)其應(yīng)用于電磁內(nèi)問題和散射問題時(shí)的一些關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行介紹。第52頁/共68頁第51頁/共68頁3．1電磁內(nèi)問題AnsoftHFSS可以分析封閉的各種傳輸線及其不連續(xù)性、諧振腔特性等。在工程上，我們尤其關(guān)心各種微波結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)特性，一般來說，我們使用S參數(shù)來描述這些網(wǎng)絡(luò)特性。實(shí)際用戶在使用AnsoftHFSS

時(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)和預(yù)想的情況不太吻合，甚至出現(xiàn)的不合理情況。在本節(jié)中，我們著重講述AnsoftHFSS計(jì)算微波網(wǎng)絡(luò)S參數(shù)的一些問題，幫助用戶分析實(shí)際使用中的一些問題。

第53頁/共68頁第52頁/共68頁3．1．1AnsoftHFSS中S參數(shù)的定義

在我們建立了微波問題的有限元研究模型并求解其場(chǎng)結(jié)構(gòu)以后，我們可以利用求得的場(chǎng)進(jìn)一步求取其多端口網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。多端口網(wǎng)絡(luò)的S參數(shù)描述的是多端口網(wǎng)絡(luò)端口反射波和入射波之間的線性關(guān)系，比如一個(gè)二端口網(wǎng)絡(luò)的S參數(shù)定義為：（3.1）

第54頁/共68頁第53頁/共68頁AnsoftHFSS對(duì)其中各參數(shù)的定義為：我們是端口i的入射波，其模值平方是激勵(lì)功率，相位是激勵(lì)場(chǎng)相位（對(duì)于有耗端口模式和無耗傳輸模式定義為0，對(duì)于無耗截止模是90）。是端口i的反射波，其模值平方是激勵(lì)功率，相位是反射場(chǎng)由于激勵(lì)場(chǎng)而產(chǎn)生的相位。

描述了端口j處的激勵(lì)場(chǎng)反射或傳輸?shù)蕉丝趇的比率和相移。必須注意到，AnsoftHFSS定義的S參數(shù)是與模式有關(guān)的，其默認(rèn)的S參數(shù)是主模的S參數(shù)，同時(shí)也具備計(jì)算高次模式的S參數(shù)。第55頁/共68頁第54頁/共68頁3．1．2AnsoftHFSS中多口網(wǎng)絡(luò)端口特性

阻抗的定義AnsoftHFSS端口的特性阻抗有，和三種阻抗定義，我們分別具體介紹如下。是由功率P和電流I來定義的：

（3.2）

式中的功率P和電流I都可以由有限元方法計(jì)算的場(chǎng)來求得，功率P由下式計(jì)算：（3.3）

s表示端口表面積。第56頁/共68頁第55頁/共68頁電流I由下式計(jì)算：

（3.4）l為端口環(huán)線積分。注意電流由流入和流出端口兩種，AnsoftHFSS取其平均。是由功率P和電壓V定義的：（3.5）式中功率P的定義和（3.3）式相同，電壓V的定義為：（3.6）積分式在設(shè)定端口時(shí)定義的阻抗線上進(jìn)行。則是由前兩個(gè)阻抗來定義的： （3.7）第57頁/共68頁第56頁/共68頁

一般來說，對(duì)于TEM傳輸線，AnsoftHFSS選擇使用作為特性阻抗的定義；對(duì)于微帶線，AnsoftHFSS建議使用作為特性阻抗的定義；對(duì)于槽狀結(jié)構(gòu)的共面波導(dǎo)等，AnsoftHFSS建議使用作為特性阻抗的定義。

第58頁/共68頁第57頁/共68頁3．1．3AnsoftHFSS中S參數(shù)模值大于1情況

的一些分析

在選定和恰當(dāng)?shù)赜?jì)算了端口特性阻抗后，S參數(shù)就可以反歸一到實(shí)際結(jié)構(gòu)的S參數(shù)。但是，實(shí)際運(yùn)算中，有時(shí)我們會(huì)看到S參數(shù)的模值大于1的現(xiàn)象，可能會(huì)使以下原因造成的。很大的可能這是由于高次截止模式的影響。正如前面我們提到的，AnsoftHFSS的S參數(shù)的定義是和模式聯(lián)系的，因此高次截止模能量的存在影響了主模的S參數(shù)所滿足的能量守恒特性，所以還應(yīng)該考慮高次模式的S參數(shù)。第59頁/共68頁第58頁/共68頁

另外可能出現(xiàn)的地方是當(dāng)我們應(yīng)用快速掃頻技術(shù)時(shí)，因?yàn)槲覀兪鞘褂糜邢揞l率點(diǎn)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)特性并由其插值而獲得其它頻點(diǎn)的特性，而且其剖分有時(shí)也僅對(duì)頻帶中心點(diǎn)是準(zhǔn)確的。這種插值當(dāng)計(jì)算點(diǎn)較少而元器件的寬帶特性又較復(fù)雜時(shí)是無法獲得準(zhǔn)確值的。第60頁/共68頁第59頁/共68頁3．2電磁散射問題