反證法(初中數(shù)學)

路邊苦李王戎7歲時,與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動.王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李.

王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運用了怎樣的推理方法?小故事:

這與事實矛盾。說明李子是甜的這個假設是錯的還是對的？

假設李子不是苦的，即李子是甜的，那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被過路人摘去解渴呢？那么，樹上的李子還會這么多嗎？所以，李子是苦的14.1.3反證法

學習目標1、了解反證法的證明步驟，體會反證法證明問題的思想，并能夠運用反證法來證明一些問題；2、理解并體會反證法的思想內涵；3、通過反證法的學習，培養(yǎng)辯證唯物主義觀念。

學習重難點重點：反證法的證明步驟；難點：運用反證法證題。

一、問題情境小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，看見地上全濕了。小華對婷婷說：“昨天晚上下雨了?！蹦隳軐π∪A的判斷說出理由嗎？

假設昨天晚上沒有下雨，那么地上應是干的，這與早晨地上全濕了相矛盾，所以說昨晚下雨是正確的。小華的理由：

我們可以把這種說理方法應用到數(shù)學問題上。解析：由a2+b2＝c2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知∠C=90°，這個三角形一定是直角三角形

.

如圖，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有關系a2+b2＝c2時，這個三角形一定是直角三角形嗎？ACBabc一、復習引入探究：（1）假設它是一個直角三角形（2）由勾股定理，一定有a2+b2＝c2，與已知條件a2+b2≠

c2矛盾；（3）因此假設不成立，即它不是一個直角三角形。ACB

若將上面的條件改為“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b（a≤b≤c）,a2+b2≠

c2”，請問這個三角形是否一定不是直角三角形呢？請說明理由。abc問題：二、探究

這種證明方法與前面的證明方法不同，其步驟為：(1)先假設結論的反面是正確的;(2)然后通過邏輯推理，得出與基本事實、已證的定理、定義或已知條件相矛盾；(3)從而說明假設不成立，進而得出原結論正確。象這樣的證明方法叫做反證法。發(fā)現(xiàn)知識：原詞語

否定詞

原詞語

否定詞

等于任意的是

至少有一個

都是

至多有一個

大于

至少有n個

小于

至多有n個

對所有x成立對任何x不成立準確地作出反設(即否定結論)是非常重要的，下面是一些常見的關鍵詞的否定形式.

不是不都是不大于不小于一個也沒有至少有兩個至多有（n-1)個至少有（n+1)個存在某個x不成立存在某個x,成立不等于某個三、應用新知在△ABC中，AB≠AC,求證：∠B≠∠CABC證明：假設

，則（）這與

矛盾．假設不成立．∴

．∠B＝

∠

CAB＝AC等角對等邊已知AB≠AC∠B≠

∠

C例１感受反證法:證明：假設a與b不止一個交點，不妨假設有兩個交點A和A’因為兩點確定一條直線，即經過點A和A’的直線有且只有一條，這與已知兩條直線矛盾,假設不成立。

所以兩條直線相交只有一個交點。小結：根據(jù)假設推出結論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學過的基本事實、定理矛盾例2求證：兩條直線相交只有一個交點。已知：如圖兩條相交直線a、b。求證：a與b只有一個交點。abA●A，●

求證：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°。已知：△ABC求證：△ABC中至少有一個內角小于或等于60°證明：假設

，則

。∴

，即

。這與

矛盾．

假設不成立．∴

．△ABC中沒有一個內角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∠A+∠B+∠C>180°三角形的內角和為180度△ABC中至少有一個內角小于或等于60°點撥：至少的反面是沒有！例3∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°假設結論的反面正確推理論證得出結論回顧與歸納反證法反設歸謬結論

得出矛盾（已知、基本事實、定理等

假設不成立，原命題成立.證明真命題的方法直接證法間接證法反證法四、鞏固新知1、試說出下列命題的反面：（1）a是實數(shù)。 （2)a大于2。（3）a小于2。 （4）至少有2個（5）最多有一個（6）兩條直線平行2、用反證法證明“若a2≠b2,則a≠

b”的第一步是

。3、用反證法證明“如果一個三角形沒有兩個相等的角，那么這個三角形不是等腰三角形”的第一步

a不是實數(shù)

a小于或等于２

a大于或等于２沒有兩個一個也沒有兩直線相交假設a=b假設這個三角形是等