模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)201325

模態(tài)分析理論基礎(chǔ)陜西重型汽車有限公司汽車工程研究院試驗(yàn)中心運(yùn)偉國(guó)

添加標(biāo)題1添加標(biāo)題2添加標(biāo)題3添加標(biāo)題4機(jī)械振動(dòng)的基本概念1模態(tài)分析的基本概念2模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)3模態(tài)試驗(yàn)研究4概要一、機(jī)械振動(dòng)的基本概念

1、什么是振動(dòng)：

物體在一固定位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，稱為機(jī)械振動(dòng)。

廣義地，凡是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，在某一固定值附近作周期性變化，都可稱該物理量作振動(dòng)。振動(dòng)的概念任何一個(gè)具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)在其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生突變時(shí),都會(huì)發(fā)生振動(dòng)。物體在發(fā)生搖擺、顛簸、打擊、發(fā)聲之處均有振動(dòng)。2、振動(dòng)的分類按照振動(dòng)系統(tǒng)的自由度數(shù)分類單自由度系統(tǒng)振動(dòng)：在《機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)》書中有對(duì)自由度詳細(xì)的解釋二自由度系統(tǒng)振動(dòng)：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)：按振動(dòng)系統(tǒng)所受的激勵(lì)類型分類自由振動(dòng)——系統(tǒng)受初始干擾或原有的外激勵(lì)取消后產(chǎn)生的振動(dòng)；強(qiáng)迫振動(dòng)——系統(tǒng)在外激勵(lì)力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)；自激振動(dòng)——系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性并有能源補(bǔ)充而產(chǎn)生的振動(dòng)。按系統(tǒng)的響應(yīng)（振動(dòng)規(guī)律）分類簡(jiǎn)諧振動(dòng)—能用一項(xiàng)時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)；周期振動(dòng)—能用時(shí)間的周期函數(shù)表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)；瞬態(tài)振動(dòng)—只能用時(shí)間的非周期衰減函數(shù)表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)；隨機(jī)振動(dòng)—不能用簡(jiǎn)單函數(shù)或函數(shù)的組合表達(dá)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而只能用統(tǒng)計(jì)方法表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)?！峨S機(jī)振動(dòng)》吳業(yè)森按描述系統(tǒng)的微分方程分類線性系統(tǒng)——描述系統(tǒng)的微分方程為線性微分方程非線性系統(tǒng)——描述系統(tǒng)的微分方程為非線性微分方程；模態(tài)分析研究的是：

線性定常穩(wěn)態(tài)振動(dòng)系統(tǒng)線性：系統(tǒng)的響應(yīng)對(duì)激勵(lì)有疊加性，即：定常：系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性（質(zhì)量、剛度、阻尼）不隨時(shí)間而變化。穩(wěn)態(tài)：系統(tǒng)對(duì)有限的激勵(lì)將產(chǎn)生有限的響應(yīng)。振動(dòng)的影響工程中的振動(dòng)問題＊產(chǎn)生的后果：災(zāi)難性事故、疲勞斷裂、損壞、噪聲動(dòng)力學(xué)與靜力學(xué)的關(guān)系靜力學(xué)與動(dòng)力學(xué)都屬于工程力學(xué)的范疇。我國(guó)目前對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)主要停留在功能、靜力學(xué)設(shè)計(jì)，動(dòng)力學(xué)的設(shè)計(jì)還在探索中。靜力學(xué)：胡克定律F=k×x動(dòng)力學(xué)：牛頓第二定律F=m×a區(qū)別：時(shí)間==頻率（結(jié)構(gòu)對(duì)輸入響應(yīng)的快、滿）一般機(jī)械的振動(dòng)問題1、已知激勵(lì)與振動(dòng)結(jié)構(gòu)，求結(jié)構(gòu)的響應(yīng)

根據(jù)已知的載荷條件，對(duì)振動(dòng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化得到可以求解的數(shù)學(xué)模型，通過一定的數(shù)學(xué)方法求解出振動(dòng)結(jié)構(gòu)上關(guān)心點(diǎn)的位移、應(yīng)力等。2、已知激勵(lì)與響應(yīng)，求系統(tǒng)的參數(shù)

參數(shù)識(shí)別問題

對(duì)于線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)而言，激勵(lì)、系統(tǒng)及輸出之間存在確定的關(guān)系3、已知系統(tǒng)與響應(yīng)，求輸入

例如飛機(jī)與船舶

一般地，以振動(dòng)理論為基礎(chǔ)，以模態(tài)參數(shù)為目標(biāo)的分析過程。模態(tài)分析是研究系統(tǒng)物理參數(shù)模型、模態(tài)參數(shù)模型及非參數(shù)模型的關(guān)系，并通過一定的手段決定這些系統(tǒng)模型的一門學(xué)科。二、什么是模態(tài)分析模態(tài)分析的經(jīng)典定義：將線性定常系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程組中的物理坐標(biāo)變?yōu)槟B(tài)坐標(biāo)，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標(biāo)及模態(tài)參數(shù)描述的方程，以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。坐標(biāo)變換的變換矩陣為模態(tài)矩陣，其每列為模態(tài)陣型；模態(tài)分析的最終目標(biāo)：識(shí)別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)特性分析，振動(dòng)故障的診斷和預(yù)報(bào)以及結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。物理參數(shù)模型模態(tài)參數(shù)模型非參數(shù)模型根據(jù)模態(tài)分析的手段和方法不同，模態(tài)分析分為理論模態(tài)分析和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析理論模態(tài)分析試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析非參數(shù)模型模態(tài)參數(shù)模型物理參數(shù)模型計(jì)算模態(tài)分析實(shí)際上是一種理論建模過程，主要運(yùn)用有限元方法對(duì)振動(dòng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，建立系統(tǒng)特征值的數(shù)學(xué)模型，用各種近似方法求解系統(tǒng)特征值和特征矢量，由于對(duì)阻尼難以準(zhǔn)確的處理，通常對(duì)于一些小阻尼系統(tǒng)的阻尼通常忽略不計(jì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別是試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的核心，常用的方法是基于最小二乘法等曲線擬合法，各公司有自己不同的算法，例如：LMS公司的polymax方法，并有自己的專利。三、模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)根據(jù)牛頓第二定律：對(duì)于自由振動(dòng)，上式可以寫成其解的形式為（1）（2）

對(duì)（1）式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并假設(shè)初始值為0，則可以得到：對(duì)于自由振動(dòng)而言：（3）（4）由上式可以解得s的兩個(gè)根為：（5）式中為無阻尼系統(tǒng)的固有頻率

根據(jù)系統(tǒng)阻尼比的大小，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分為三種情況：過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)不產(chǎn)生振動(dòng)；

臨界阻尼系統(tǒng)，無振動(dòng)發(fā)生；

欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)；欠阻尼系統(tǒng)是我們主要研究的系統(tǒng)，在機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)中較為常見頻響函數(shù)：（3）式中的具有剛度特性，稱為系統(tǒng)的動(dòng)剛度，在物理上它具有阻止系統(tǒng)振動(dòng)的性質(zhì)，又稱為系統(tǒng)的機(jī)械阻抗，其倒數(shù)稱為導(dǎo)納，又稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，表示成：（6）將上式轉(zhuǎn)化到傅氏域中，即，得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)：（7）系統(tǒng)的阻抗有三部分組成：質(zhì)量阻抗：

阻尼阻抗：

剛度阻抗：

傳遞函數(shù)H(s)是在復(fù)數(shù)域中描述和考察系統(tǒng)的特性，與在時(shí)域中用微分方程來描述和考察系統(tǒng)的特性相比有許多優(yōu)點(diǎn)。頻率響應(yīng)函數(shù)是在頻域中描述和考察系統(tǒng)特性。與傳遞函數(shù)相比，頻率響應(yīng)函數(shù)易通過試驗(yàn)來建立，且其物理概念清楚，利用它和傳遞函數(shù)的關(guān)系，由它極易求出傳遞函數(shù)。在系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(s)已經(jīng)知道的情況下，令H(s)中s的實(shí)部為零，即s=jω便可以求得頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)。

傳遞函數(shù)H(s)與頻率響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)的特性曲線：當(dāng)系統(tǒng)的頻響函數(shù)幅值接近于彈簧元件的導(dǎo)納，作用在系統(tǒng)上的外力主要靠彈簧力來平衡，系統(tǒng)的總剛度接近于彈簧的靜剛度。當(dāng)系統(tǒng)的頻響函數(shù)幅值達(dá)到極大值，其數(shù)值取決于阻尼比的大小，且與其成反比，此時(shí)系統(tǒng)處于共振狀態(tài)，系統(tǒng)的慣性力與彈簧力相平衡，外界力與阻尼力相平衡；當(dāng)此時(shí)系統(tǒng)的外界力由慣性力來平衡；二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)二自由度系統(tǒng)矩陣和向量表示（1）對(duì)于二自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)而言：對(duì)于（1）式兩邊進(jìn)行傅里葉變換，得到

（2）其阻抗矩陣為（3）系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為（4）因此系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣為可見頻響函數(shù)矩陣為2*2階矩陣，可以寫成下面討論頻響函數(shù)的幅頻特性,取原點(diǎn)頻響函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，可以看到，以零階等效剛度線作為起始漸近線（2）當(dāng)時(shí)，，系統(tǒng)進(jìn)入共振狀態(tài)，響應(yīng)頻率稱為第一階共振頻率，在共振頻率處，滿足以下關(guān)系式第一階等效質(zhì)量（3）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)頻率稱為反共振頻率，系統(tǒng)處于反共振狀態(tài)，質(zhì)量m1的振幅為零，而m2的振幅不為零，系統(tǒng)的反共振現(xiàn)象為系統(tǒng)的局部現(xiàn)象，而共振為系統(tǒng)的總體現(xiàn)象，因?yàn)橄到y(tǒng)共振時(shí)，系統(tǒng)中個(gè)點(diǎn)的振幅均達(dá)到極大值。反共振時(shí)第一階等效剛度（4）當(dāng)時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入第二階共振狀態(tài)，相應(yīng)的頻率為第二階共振頻率，滿足下式第二階等效質(zhì)量（5）當(dāng)時(shí)下降最后以第二階等效質(zhì)量線為漸近線并趨于零。對(duì)于有阻尼的系統(tǒng)，的幅頻曲線如圖中的虛線所示，顯然在共振頻率處幅值不為無窮大，其值取決于阻尼的大小。以上分析可以引申到多自由系統(tǒng)，對(duì)于N自由度的約束系統(tǒng)則有N個(gè)共振頻率，有（N-1）個(gè)反共振頻率。對(duì)于原點(diǎn)頻響函數(shù)而言，各階共振、反共振交替出現(xiàn)，即在每一個(gè)共振之后一定出現(xiàn)反共振。然而對(duì)于跨點(diǎn)頻響函數(shù)而言，則無此規(guī)律，一般講，兩個(gè)距離遠(yuǎn)的跨點(diǎn)出現(xiàn)反共振的機(jī)會(huì)比較近跨點(diǎn)的少。系統(tǒng)的物理坐標(biāo)描述的運(yùn)動(dòng)方程多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)與模態(tài)參數(shù)我們以N個(gè)自由度的比例阻尼系統(tǒng)作為對(duì)象加以討論，其結(jié)果可以很方便的推廣到其他阻尼系統(tǒng)。

如右圖所示為一個(gè)多自由度的線性定常系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：（1）式中M、C、K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣，均為（N*N）階矩陣。X、F分別為系統(tǒng)的位移相應(yīng)向量及激勵(lì)力向量對(duì)于多自由度線性微分方程求解難度較大。所以能否將上述耦合方程變成非耦合的、獨(dú)立的微分方程組，就是模態(tài)分析的所要解決的根本問題。

模態(tài)分析的方法是以無阻尼系統(tǒng)的各階振型所對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)來代替物理坐標(biāo)，使坐標(biāo)耦合的微分方程組解耦為各個(gè)坐標(biāo)獨(dú)立的微分方程組，從而求出系統(tǒng)的各階模態(tài)參數(shù)。將(1)式兩邊進(jìn)行拉式變換，可得:（2）(2)式亦可寫成:（3）（4）位移阻抗矩陣的逆矩陣為傳遞函數(shù)矩陣：（5）對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，其極點(diǎn)在復(fù)平面的左半平面，將s換成jw，便得到傅氏域中的頻響函數(shù)矩陣：（6）（7）根據(jù)振動(dòng)理論：線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的任一點(diǎn)響應(yīng)均可表示為各階模態(tài)響應(yīng)的線性組合。則對(duì)l點(diǎn)的響應(yīng)可以表示為：（8）式中：為第l個(gè)測(cè)點(diǎn)，第r階模態(tài)的振型系數(shù).由N個(gè)測(cè)點(diǎn)的振型系數(shù)所組成的列向量為（9）式，稱為第r階模態(tài)向量，他反映該階模態(tài)的振動(dòng)形狀（9）由各階模態(tài)模態(tài)向量組成的矩陣稱為模態(tài)矩陣，記為：（10）由(2)、(10)可得（11）

為第r階模態(tài)坐標(biāo)，可理解為各階模態(tài)對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)量，一般低階模態(tài)比高階模態(tài)有較大的加權(quán)系數(shù)。1.無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)（11）式變成對(duì)于第r階模態(tài)對(duì)上式左邊乘以同理對(duì)于第s階模態(tài)將上式轉(zhuǎn)置并右乘由于K、M矩陣為對(duì)稱矩陣（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）當(dāng)時(shí)上式不成立，此時(shí)由上式可得將上式代入得令：為第r階模態(tài)剛度及模態(tài)質(zhì)量，他們已不再是矩陣，而是某個(gè)數(shù)，他們與模態(tài)有關(guān)，不同的模態(tài)有不同的模態(tài)剛度與模態(tài)質(zhì)量，但是對(duì)于一定得模態(tài)，模態(tài)剛度及模態(tài)質(zhì)量的數(shù)值不是唯一的，他與模態(tài)向量的歸一化方法有關(guān)，因?yàn)槟B(tài)向量指標(biāo)是振動(dòng)的形狀，不表示振幅的大?。?9）（20）注意：模態(tài)試驗(yàn)的結(jié)果中振型也只是反映振動(dòng)的形狀模態(tài)正交性物理意義：第r階模態(tài)的慣性力對(duì)第s階模態(tài)位移所做的功為零此時(shí)由上式可得：由下式反映出一個(gè)重要的特征：由振動(dòng)理論指出：一個(gè)無阻力系統(tǒng)的各階模態(tài)稱為主模態(tài)，各階模態(tài)向量所張成的空間稱為主空間，其相應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)稱為主坐標(biāo)。數(shù)學(xué)意義：兩個(gè)矢量在空間正交，彼此成90度，相互之間的投影為零，即相互獨(dú)立，互不依賴。將（12）式左邊乘，并考慮到上述正交性，得（21）式中及均為對(duì)角矩陣，顯然上式為非耦合方程，方程的坐標(biāo)為模態(tài)坐標(biāo)，參數(shù)為模態(tài)剛度、模態(tài)質(zhì)量。若模態(tài)向量按下列形式歸一化，即令：（22）模態(tài)質(zhì)量歸一化加權(quán)模態(tài)向量則質(zhì)量矩陣和剛度矩陣對(duì)加權(quán)模態(tài)向量的正交性條件為：2.比例阻尼振動(dòng)系統(tǒng)

由于質(zhì)量矩陣M與剛度矩陣K均為對(duì)稱實(shí)數(shù)矩陣，所以C亦為對(duì)稱實(shí)數(shù)矩陣，滿足解耦的條件，顯然滿足以下的正交性條件：模態(tài)阻尼，是一個(gè)數(shù)，非矩陣用模態(tài)坐標(biāo)代替物理坐標(biāo)，左乘，并考慮到上述正交性條件后可得經(jīng)推到，對(duì)于第r階模態(tài)多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系經(jīng)推到，對(duì)于2個(gè)自由度的系統(tǒng)：同樣，對(duì)于N個(gè)自由度的系統(tǒng)：四、模態(tài)試驗(yàn)研究1.模態(tài)試驗(yàn)的目的、用途和特點(diǎn)2.模態(tài)試驗(yàn)的基本假設(shè)