隨機變量及其分布考點總結(jié)

第二章隨機變量及其分布復(fù)習(xí)一、隨機變量.隨機試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.它就被稱為一個隨機試驗.離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量?若E是一個隨機變量，a,b是常數(shù)?則n=ag+b也是一個隨機變量?一般地，若E是隨機變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f憶)也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量3、 分布列：設(shè)離散型隨機變量E可能取的值為：x,x，…,x，…12iE取每一個值x(i=1,2,…)的概率P(^=x)=p，則表稱為隨機變量E的概率分布，簡稱E的分布列.￡ 1 1xxc i i ???x???p丄2p2???p. i 1???有性質(zhì)①P>0,i=1,2,…； ②P+pH FpH=1.1 1 2 i注意：若隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量例如:gw[0,5]即￡可以取0?5之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).典型例題：c1、 隨機變量￡的分布列為P(g=k)= ,k=1,2,3 ，則P(1<g<3)= k(kF1)12、 袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取兩個球都是白球的概率為7，現(xiàn)在甲乙兩人從袋中輪流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止，用￡表示取球的次數(shù)。(1)求￡的分布列(2)求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三個不同的信箱，且每封信投入每個信箱的機會均等，X表示三哥信箱中放有信件樹木的最大值，求X的分布列。4、為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班0人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生5女生10合計503已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為5.請將上面的列聯(lián)表補充完整；是否有99.5％的把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由(3)已知喜愛打籃球的10位女生中，A，A，A,A,A還喜歡打羽毛球，B，B，B還喜歡打乒乓1 2 3 4 5 1 2 3球，C，C還喜歡踢足球，現(xiàn)再從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的女生中各選出1名進行12其他方面的調(diào)查，求B和C不全被選中的概率.11下面的臨界值表供參考：(參考公式：K2(參考公式：K2=n(ad一bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=aFbFcFd)p(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

二、幾種常見概率1、條件概率與事件的獨立性B|A與AB的區(qū)別： P(B|A)的計算公 ,注意分子分母事件的性質(zhì)相同P(AB)的計算公式 注意二點：前提，目標(biāo)，一般情況 P(A+B)的計算公 注意二點：前提，目標(biāo)，一般情況 典型例題：1、市場上供應(yīng)的燈泡，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率80%，則從市場上買到一個是甲廠產(chǎn)的合格品的概率是多少？2、把一副撲克52張隨即均分給趙錢孫李四家，A=｛趙家得到六章草花｝,B=｛孫家得到3張草花｝，計算P(B|A)，P(AB)3、從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任取兩張，將其中1張在驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，求兩張都是假鈔的概率。4、有外形相同的球分裝在三個盒子，每個盒子10個，其中第一個盒子7球標(biāo)有字母A,3個球標(biāo)有字母B；第二個盒子中五個紅球五個白球；第三個盒子八個紅球，兩個白球；在如下規(guī)則下：先在第一個盒子取一個球，若是A球，則在第二個盒子取球；如果第一次取出的是B球，則在第三個盒子中取球，如果第二次取出的球是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率。5、在圖所示的電路中，5只箱子表示保險匣，箱中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率，當(dāng)開關(guān)合上時，電路暢通的概率是 11123511時，電路暢通的概率是 1112351146L1 甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求:2人都射中目標(biāo)的概率；(3)2人至少有1人射中目標(biāo)的概率;2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率；2人至多有1人射中目標(biāo)的概率?三、幾種分布⑴獨立重復(fù)試驗與二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：P(孕k)=Ckpkqn-k[其中k=0,1, ,n,q=1—p]于是得到隨機變量E的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量E服從二項分布，記作g?B(n?p)，其中n，p為參數(shù)，并記Ckpkqn—k=b(k;n-p).n⑵二項分布的判斷與應(yīng)用.二項分布，實際是對n次獨立重復(fù)試驗?關(guān)鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復(fù)，且每次試驗只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布當(dāng)隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果，此時可以把它看作獨立重復(fù)試驗，利用二項分布求其分布列.

￡1 2 1 k1 k 23???k???Pqqpq2p???qk-1p???p(g=k)=P(A)P(A)…P(A)P(A)=qk-ip(k￡1 2 1 k1 k 23???k???Pqqpq2p???qk-1p???p(g=k)=P(A)P(A)…P(A)P(A)=qk-ip(k二1,2,3,…)于是得至U隨機變量E的概率分布列.我們稱E服從幾何分布，并記g(k,p)=qk-ip，其中q=1-p.k=1,2,3…⑴超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M(MVN)件次品，今抽取n(1<n<N)件，則其中的次品數(shù)E是一離散型隨機變量，分布列為P(g=k)=CM“厲?(0<k<M,0<n-k<N-M)?〔分子是從M件次品中取CnNk件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定m<r時Cr=0，則k的范圍可以寫為k=O,l,…，mn.〕⑵超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件(lWnWa+b),則次品數(shù)E的分布列為p(g=k)=Ck?-kk=0,1,…,n.?Cna+b⑶超幾何分布與二項分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)E服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)耳的分布列可如下求得：把a+b個產(chǎn)品編號，則抽取n次共有(a+b)n個可能結(jié)果，等可能：(n=k)含Ckakbn-k個結(jié)果，故P(n=k)=Ckakbn-k=Ck(―a)k(l——^)n-k,k=0,1,2,…,n，即耳~B(n- )?［我n (a+b)n na+b a+b a+b們先為k個次品選定位置，共Ck種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法］可n以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，P憶=k)二P(n=k)，因此二項分布可作為超幾何分布的近似,無放回抽樣可近似看作放回抽樣.典型例題：1、某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)：(1)5次預(yù)報中恰有4次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報中至少有4次準(zhǔn)確的概率?2、在一個圓錐體的培養(yǎng)房內(nèi)培養(yǎng)了40只蜜蜂，準(zhǔn)備進行某種實驗，過圓錐高的中點有一個不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個實驗區(qū)，其中小錐體叫第一實驗區(qū)，圓臺體叫第二實驗區(qū)，且兩個實驗區(qū)是互通的。假設(shè)蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的。求蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；記X為落入第一實驗區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX。3、A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中兩只服用A,兩只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為2/3，服用B有效的概率為1/2.求一個試驗組為甲類組的概率。觀察3個試驗組，用￡表示3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求￡分布列某射擊運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p(O〈p〈l)。他有10發(fā)子彈，現(xiàn)對某一目標(biāo)連續(xù)射擊，每次打一發(fā)子彈，直到擊中目標(biāo)，或子彈打光為止。求他射擊次數(shù)的分布列。離散型隨機變量取值的平均水平.2.⑴隨機變量耳二ag+b的數(shù)學(xué)期望：En=E(ag+b)=離散型隨機變量取值的平均水平.2.⑴隨機變量耳二ag+b的數(shù)學(xué)期望：En=E(ag+b)=aEg+bgxx???x???P丄p22??????二、數(shù)學(xué)期望與方差.1.期望的含義：一般地，若離散型隨機變量E的概率分布為則稱Eg=xp+xp+…+乂p+…為E的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值?數(shù)學(xué)期望又簡稱期望?數(shù)學(xué)期望反映了1122nn當(dāng)a=0時，E(b)=b，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個常數(shù)本身.當(dāng)a=1時，E(g+b)=Eg+b，即隨機變量E與常數(shù)之和的期望等于E的期望與這個常數(shù)的和.當(dāng)b=0時，E(ag)=aEg，即常數(shù)與隨機變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的乘積⑵單點分布：Eg=cxl=c其分布列為：P(g=1)=c-⑶兩點分布：Eg=0xq+lxp=p，其分布列為：E01Pqp(p+q=1)⑷一項分布：Eg=Yk- — pk-qn-k=np其分布列為gk!(n-k)!B(n,p).(P為發(fā)生g的概率)⑸幾何分布：Eg=丄其分布列為g?q(k,p).(P為發(fā)生g的概率)p3?方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機變量E的分布列為P(g=x)=p(k=1,2,…)時，則稱k kDg=(x-Eg)2p+(x-Eg)2p+…+(x-Eg)2p+…為E的方差.顯然Dg>0，故og=\Dg.Og為E的根方差或標(biāo)準(zhǔn)1 1 2 2 n n差?隨機變量E的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量E取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.Dg越小,穩(wěn)定．性．越．高．，．波．動．越．?。?．方差的性質(zhì).E01Pqp⑴隨機變量n=ag+b的方差D(n)=D(ag+b)=a2Dg.(a、b均為常數(shù))⑵單點分布：Dg=0其分布列為P(g=1)=p⑶兩點分布：Dg=pq其分布列為：(p+q=1)⑷二項分布：Dg=npq⑸幾何分布：Dg=/-p2期望與方差的關(guān)系.⑴如果Eg和En都存在，則e(g±n)=Eg±En⑵設(shè)E和n是互相獨立的兩個隨機變量，則e(gn)=Eg-En,D(g+n)=Dg+Dn⑶期望與方差的轉(zhuǎn)化：Dg=Eg2-(Eg)2 ⑷E(g-Eg)=E(g)-E(Eg)(因為Eg為一常數(shù))=Eg-Eg=0--4-典型例題：1、 如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標(biāo)為T,T,T,T，電流能通過T,T,T的概率都是p,TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4 1 2 3電流能通過T的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨立.已知T,T,T中至少有一個能通過電流的4 1 2 3概率為0.999.(I)求p； (II)求電流能在M與N之間通過的概率；(III)匕表示T,T,T,T中能通過電流的元件個數(shù)，求g的期望.12 3 42、一名小學(xué)教師為了激發(fā)學(xué)生閱讀名著的熱情，在班內(nèi)進行名著和其作者的連線游戲，作為獎勵，參加連線的同學(xué)每連對一個獎勵一朵小紅花。假定一名小學(xué)生對四大名著沒有了解，只是隨即連線，試求該同學(xué)得到小紅花數(shù)X的分布列，均值，方差。3、甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分。2221假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為3，乙隊中3人答對的概率分別為3,3,2且各人正確與否相互之間沒有影響?用&表示甲隊的總得分.(I)求隨機變量&分布列和數(shù)學(xué)期望；仃I)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB).一24、某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是3，且各次射擊的結(jié)果互不影響。假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)。另外2次未擊中目標(biāo)的概率；III)假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記g為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求g的分布列，均值，方差。

三、正態(tài)分布.1?密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機變量位于x軸上方，E落在任一區(qū)間［a,b)內(nèi)的概率等于它與x輸直線x=a與直線x=b所圍成的曲邊梯形的面積(如圖陰影部分)的曲線叫E的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)f(x)叫做E的密度函數(shù)，由于“xe(-也+刈”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.⑴正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機變量E的概率密度為：f(x)=且QA0)，稱E服從參數(shù)為PQ的正態(tài)分布，用￡?N(PQ2)表示.f(x)的表達式可簡記為N(PQ2)，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.⑵正態(tài)分布的期望與方差：若￡?N(PQ2)，則E的期望與方差分別為：Eg=p,Dg=G2.⑶正態(tài)曲線的性質(zhì).①曲線在x軸上方，與x軸不相交.②曲線關(guān)于直線x二卩對稱.當(dāng)x二卩時曲線處于最高點，當(dāng)x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當(dāng)xv卩時，曲線上升；當(dāng)x>卩時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以X軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當(dāng)R一定時，曲線的形狀由Q確定，Q越大，曲線越“矮胖”?表示總體的分布越分散；Q越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.⑴標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機變量E的概率函數(shù)為申(x)=-^e-2(-sYxY+s)，則稱E服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即￡?N(0,1)有9(x)=P(￡<x)，*(x)=1-甲(-x)求出，而P(aVWb)的計算則是P(aY￡<b)=9(b)-*(a).a(x)A0.5.比如S注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的0(x)的X取0時，有0(x)=0.5當(dāng)0(x)的a(x)A0.5.比如S①嚴(yán)一卩)=0.0793Y0.5則0.5一卩必然小于0,如圖.⑵正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若￡?N(p,Q2)則E的分布函數(shù)通常用F(x)表示，且有P(g<x)=F(x)=9(蘭——).° 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線4.(1)3Q原則. S陰0.5Sa=0.5+S假設(shè)檢