數(shù)值分析 第1章 插值方法

§1問題的提法§2拉格朗日插值公式§3插值余項§4埃特金算法§5牛頓插值公式§6埃爾米特插值§7分段插值法§8樣條函數(shù)§9曲線擬合的最小二乘法習題§1問題的提法1.泰勒插值

問題:求作n次多項式Pn(x),使?jié)M足條件xi為插值節(jié)點2.拉格朗日插值

問題:求作n次多項式Pn(x),使?jié)M足條件泰勒插值問題的解是泰勒多項式：§2拉格朗日插值公式1.線性插值

問題:求作一次式P1(x),使?jié)M足條件

問題的解(插值公式):點斜式:對稱式:插值基函數(shù)2.拋物插值

問題:求作二次式P2(x),使?jié)M足條件

問題的解(插值公式):插值基函數(shù)3.一般情形

問題的解(插值公式):插值基函數(shù)§3插值余項1.拉格朗日余項定理

稱R(x)=f(x)-Pn(x)為插值函數(shù)的截斷誤差,或插值余項.

拉格朗日余項定理:設(shè)函數(shù)f(x)在含有節(jié)點x0,x1,…,xn的區(qū)間[a,b]內(nèi)有直到n+1階導數(shù),且f(xi)=yi(i=0,1,…,n)已給,則當x屬于[a,b]時,對于Pn(x),有

例題1:

令x0=0,x1=1.寫出y=f(x)=e-x的一次插值多項式P1(x),并估計誤差.解:x0=0,y0=1;x1=1,y1=e-1.

例題2:

設(shè)y=f(x)=x4,試利用拉格朗日余項定理寫出以-1,0,1,2為插值節(jié)點的三次插值多項式.解:拉格朗日插值余項2.誤差的事后估計

考察[a,b]內(nèi)三個節(jié)點x0,x1,x2.對于給定的插值點x,先用x0與x1進行線性插值求出y=f(x)的近似值y1,然后取x0與x2進行線性插值求出另一個近似值y2,則由余項定理得假設(shè)§4埃特金算法

拉格朗日公式的缺點：如果要臨時增加一個插值節(jié)點,則拉格朗日公式的所有系數(shù)都要重算,會造成計算量的浪費．

幾個標記：①②

在上節(jié)“誤差的事后估計”中,曾用線性插值的兩個結(jié)果建立了近似公式:應(yīng)用上面約定的記號,有這表明:用線性插值的兩個結(jié)果再作線性插值,結(jié)果得到了拋物插值.

推廣：利用兩個k-1次插值的結(jié)果,再作線性插值,得到k次插值,即有遞推公式:

埃特金插值表:

埃特金算法的特點:①將一個高次插值過程歸結(jié)為線性插值的多次重復(fù)；②插值表中的每個數(shù)據(jù)均可視作插值結(jié)果.§5牛頓插值公式

考察線性插值:1.具有承襲性的公式可看作零次插值多項式,則

考察拋物插值:滿足條件:由可以確定c2,即記,則對于給定函數(shù)f(x),f(x0,x1,…,xn)表示關(guān)于節(jié)點x0,x1,…,xn的n階差商.2.差商

一階差商:

二階差商:

n階差商:

零階差商:差商表:差商的性質(zhì):xi?(xi)一階差商二階差商三階差商…n階差商x0x1x2x3xn?(x0)?(x1)?(x2)?(x3)?(xn)?[x0,x1]?[x1,x2]?[x2,x3]?[xn-1,xn]?[x0,x1,x2]?[x1,x2,x3]?[xn-2,xn-1,xn]?[x0,x1,x2,x3]?[xn-3,xn-2,x2,x3]………………?[x0,x1,…,xn]

例題1:給出函數(shù)y=(x)的函數(shù)表如下,寫出其差商表.解:i0123xi-2-112(xi)531721ixi?(xi)一階差商二階差商三階差商0123-2-112531721-2743-1-1按照差商定義:3.差商形式的插值公式反復(fù)用前一個式子帶入前一個式子,可得可令其中顯然故Pn(x)就是拉格朗日問題的解.牛頓插值公式

例題2:對例1中的(x),求節(jié)點為x0,x1的一次插值,節(jié)點為x0,x1,x2的二次插值和節(jié)點為x0,x1,x2,x3的三次插值多項式.解:由例1的差商表知

[x0,x1]=-2,[x0,x1,x2]=3,[x0,x1,x2,x3]=-1ixi?(xi)一階差商二階差商三階差商0123-2-112531721-2743-1-1P1(x)=5-2(x+2)=1-2xP2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7P3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9§6埃爾米特插值

在各節(jié)點上,插值函數(shù)與原函數(shù)不僅具有相同的函數(shù)值,而且具有相同的導數(shù)值,即所謂的“過點”、“相切”。它是泰勒插值與拉格朗日插值的綜合和推廣。1.埃爾米特插值的特點問題:求作二次式P2(x),使?jié)M足2.埃爾米特插值問題即要求用插值函數(shù)P2(x)來逼近函數(shù)f(x).顯然，它滿足條件用另一條件來確定c，得到解法1：基于承襲性，令式中三個基函數(shù)分別滿足條件:用另一條件可確定c=-1，所以解法2：用基函數(shù)方法.為簡化計算,先設(shè)x0=0,x1=1,并令顯然,有:若x0,x1是兩個任意節(jié)點，記h=x1-x0,則可得到解為仿照前面的方法,可得到問題的解:

問題：求作三次式P3(x),使?jié)M足§9 曲線擬合的最小二乘法

曲線擬合的目的：從給出的一大堆看上去雜亂無章的數(shù)據(jù)中找出規(guī)律性來，即要設(shè)法構(gòu)造一條曲線——擬合曲線，用來反映所給數(shù)據(jù)點總的趨勢，以消除所給數(shù)據(jù)的局部波動.設(shè)所給的數(shù)據(jù)點

(xi,yi)的分布大致成一直線.要求所作的擬合直線1.直線擬合xix0x1x2…xnyiy0y1y2…yn要盡可能地從所給數(shù)據(jù)點附近通過.即要求近似成立超定方程組設(shè)表示按擬合直線最小二乘法求得的近似值,一般它不同于實測值yi

,兩者之差稱為殘差:構(gòu)造擬合曲線的三種準則:直線擬合:對于給定的數(shù)據(jù)點

(xi,yi),i=1,2,…,N,求作一次式y(tǒng)=a+bx

,使總誤差為最小,即參數(shù)a,b的確定:

例題1:

設(shè)有某實驗數(shù)據(jù)如下，試按最小二乘法求一次多項式擬合該數(shù)據(jù).解:設(shè)一次擬合多項式為y=a+bx，則xi1.361.731.952.28yi14.09416.84418.47520.963多項式擬合:對于給定的數(shù)據(jù)點

(xi,yi),i=1,2,…,N,求作m(m<<N)次多項式使總誤差為最小.即:2.多項式擬合參數(shù)aj的確定:正則方程組例題2:觀測通過某電阻的電流I及其兩端的電壓U如下表，試按最小二乘法擬合該數(shù)據(jù).解:設(shè)擬合多項式為y=a0+a1x+a2x2，則根據(jù)I00.91.93.03.95.0U010305180111I00.91.93.03.95.0U010305180111目標檢測設(shè)計:氣溫/℃261813104－1杯數(shù)202434385064（1）畫散點圖；（2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)溫度與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；

1.下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對比表

（3）求線性回歸方程；（4）按照回歸方程，計算溫度為10℃時銷售杯數(shù)。為什么與表中不同？如果某天的氣溫是－5℃時，預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)；目標檢測設(shè)計