第三章光學(xué)成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)-20150510

傳統(tǒng)的光學(xué)系統(tǒng)像質(zhì)評價(jià)方法是星點(diǎn)法和分辨率法星點(diǎn)法指檢驗(yàn)點(diǎn)光源經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)所產(chǎn)生的像斑，由于像差、玻璃材料不均勻以及加工和裝配缺陷等使像斑不規(guī)則,很難對它作出定量計(jì)算和測量，檢驗(yàn)者的主觀判斷將帶入檢驗(yàn)結(jié)果中。分辨率法雖能定量評價(jià)系統(tǒng)分辨景物細(xì)節(jié)的能力，但并不能對可分辨范圍內(nèi)的像質(zhì)好壞給予全面評價(jià)。第三章光學(xué)成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2023/1/151光學(xué)成像系統(tǒng)是信息傳遞的系統(tǒng)。在一定條件下，成像系統(tǒng)可以看做空間不變的線性系統(tǒng)，因而可以用線性系統(tǒng)理論來研究它的性能，把輸入信息分解為由本征函數(shù)構(gòu)成的頻率分量，研究這些空間頻率分量在系統(tǒng)傳遞過程中，丟失、衰減、相移等等變化，即研究這些空間頻率特性或傳遞函數(shù)。顯然，這是一種全面評價(jià)光學(xué)系統(tǒng)像質(zhì)的科學(xué)方法。輸出像的質(zhì)量完全取決于光學(xué)系統(tǒng)的傳遞特性。2023/1/152傳遞函數(shù)可由光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算得出。雖然計(jì)算傳遞函數(shù)的步驟比較麻煩，但是，大容量高速度電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)以及高精度光電測試技術(shù)的發(fā)展，使光學(xué)傳遞函數(shù)的計(jì)算和測量日趨完善，并得到了實(shí)際的應(yīng)用。2023/1/1533.1相干照明衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)任何平面物場分布都可以看做是無數(shù)小面元的組合，而每個(gè)面元都可以看做一個(gè)加權(quán)的函數(shù)對于一個(gè)透鏡或一個(gè)成像系統(tǒng)，如果能清楚地了解物平面上任一小面元的光振動通過成像系統(tǒng)后在像平面上造成的光振動分布情況，通過線性迭加，原則上便能求得任何物面光場分布通過系統(tǒng)后所形成的像面光場分布，進(jìn)而求得像面強(qiáng)度分布這就是相干照明下的成像過程，關(guān)鍵是求出任意小面元的光振動所對應(yīng)的像場分布。-即脈沖響應(yīng)2023/1/154當(dāng)該面元的光振動為單位脈沖函數(shù)時(shí)，這個(gè)像場分布函數(shù)叫做點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)或脈沖響應(yīng)，通常用它表示物平面上（x0,y0）點(diǎn)的單位脈沖通過成像系統(tǒng)后在像平面上（xi,yi）點(diǎn)產(chǎn)生的光場分布。一般來說，它既是（x0,y0）的函數(shù)，又是(xi,yi）的函數(shù)。表示2023/1/155一輻輸入圖像可看成是一個(gè)點(diǎn)物的集合，只要能確定所有點(diǎn)物的像，就可以完備地描述這一成像系統(tǒng)的效應(yīng)。但要注意的是，一定要把所有物點(diǎn)的像疊加起來，才能得到輸出圖像。即完全確定一個(gè)線性系統(tǒng)的性質(zhì)，需要知道系統(tǒng)對于輸入平面上所有可能位置上的函數(shù)輸入的脈沖響應(yīng)。2023/1/1563.1.1透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)如圖，在單色光照明下，一個(gè)薄的無像差的正透鏡對透射物成實(shí)像的簡單情況。下面研究四個(gè)面上的光場的復(fù)振幅分布，進(jìn)而求出系統(tǒng)的輸入和輸出的關(guān)系。菲涅耳衍射公式2023/1/157透鏡的復(fù)振幅透過率為為光瞳函數(shù)2023/1/158透鏡后的透射光場為光波傳播距離，需要再次運(yùn)用菲涅耳衍射公式計(jì)算將代入上式，并棄去常量相位因子得2023/1/159這是一個(gè)復(fù)雜的四重積分，必須作進(jìn)一步的簡化。我們來看三個(gè)含有二次相位因子的項(xiàng)：不影響最終探測的強(qiáng)度分布，可以棄去。積分號內(nèi)的兩個(gè)二次相位因子和積分變量（x,y）、（x0,y0）有關(guān)，只有在一定的條件下才能棄去。2023/1/1510假定點(diǎn)物產(chǎn)生的影響是一個(gè)很小的像斑，那么能夠?qū)τ谙衩嫔希▁i,yi）點(diǎn)光場產(chǎn)生有意義的貢獻(xiàn)的，必定只是物面上以幾何成像所對應(yīng)的物點(diǎn)為中心的微小區(qū)域。如果在這個(gè)微小區(qū)域內(nèi)的相位變化不大于幾分之一弧度，則可作以下近相似。2023/1/1511其中是系統(tǒng)的放大倍率。經(jīng)過近似后的相位因子不再依賴于(x0,y0),它同樣不會影響xiyi平面強(qiáng)度探測，因此，可以棄去。另外，假定選擇觀察平面，使它與透鏡距離di滿足：則積分號內(nèi)關(guān)于（x,y)的二次相位因子將消失，上式正是幾何光學(xué)的透鏡成像定律。這樣上式已大簡化。我們先對(x0,y0)積分2023/1/1512是U0的傅里葉變換。上式表明成像過程經(jīng)歷了兩次傅里葉變換，物的頻譜成分在傳遞過程中將受到有限大小的光瞳的截取。對二元函數(shù)作二次傅里葉變換，可得其倒立像2023/1/1513是U0的傅里葉變換。上式表明成像過程經(jīng)歷了兩次傅里葉變換，物的頻譜成分在傳遞過程中將受到有限大小的光瞳的截取。而上式等于該式的傅里葉變換，卷積定理2023/1/1514設(shè)為光瞳函數(shù)的傅里葉變換，即上式等于傅里葉逆變換2023/1/1515利用卷積定理得由于光波傳播的線性性質(zhì)，Ui本來就可以用下述迭加積分表示令：2023/1/1516因此可看作系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。是幾何光學(xué)理想像點(diǎn)的坐標(biāo)。我們可以定義一個(gè)新函數(shù)表示幾何光學(xué)的理想像假如不考慮衍射效應(yīng)，即透鏡的孔徑為無限大，這時(shí)點(diǎn)物能產(chǎn)生嚴(yán)格的點(diǎn)像。這時(shí)物體能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)。2023/1/1517但是，實(shí)際上必須考慮透鏡有限孔徑的衍射效應(yīng)，是一個(gè)衍射斑。上式就等于透鏡孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn)注：物平面上一點(diǎn)(x0,y0)經(jīng)透鏡成像后得到一個(gè)衍射斑這時(shí)像的光場分布等于幾何光學(xué)理想像與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積2023/1/1518上述結(jié)論表明，由透鏡構(gòu)成的成像系統(tǒng)可看作線性空間不變系統(tǒng)。其輸入物和輸出像之間的關(guān)系由上式卷積積分確定。可以從疊加性質(zhì)和不變性兩方面理解卷積成像的物理含義。把輸入物看作點(diǎn)源的集合，它們在像平面上以幾何光學(xué)理想像點(diǎn)為中心產(chǎn)生各自的衍射斑，這些衍射斑的函數(shù)形式相同，都是透鏡孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，但受到對應(yīng)物點(diǎn)光場的適當(dāng)加權(quán)。2023/1/1519這些脈沖響應(yīng)的相干疊加給出像面的復(fù)振幅分布。系統(tǒng)的作用正是把物平面上點(diǎn)的集合變換為像平面上重疊衍射斑的集合。因而像不再是物體的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)，而是物體的平滑變形，孔徑愈小，脈沖響應(yīng)愈寬，變形就愈嚴(yán)重。這種平滑化使像中失去物體的精細(xì)結(jié)構(gòu)，尤其當(dāng)這種細(xì)節(jié)變化的周期小于脈沖響應(yīng)的寬度。下圖是卷積成像的示意圖=物函數(shù)脈沖響應(yīng)像函數(shù)2023/1/15203.1.2衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)1、成像系統(tǒng)的普遍模型考慮一個(gè)一般的成像系統(tǒng)，它可能由幾個(gè)透鏡（正透鏡或負(fù)透鏡）組成，透鏡也不必是薄的，系統(tǒng)最終給出一個(gè)實(shí)像。我們將為這樣一個(gè)系統(tǒng)建立一個(gè)普遍適用的模型。透鏡組入瞳出瞳黑箱2023/1/1521由上圖可知，任意成像系統(tǒng)都可以分為三個(gè)部分：物平面到入瞳；入瞳到出瞳；出瞳到像平面。透鏡組入瞳出瞳黑箱2023/1/1522入瞳和出瞳是指系統(tǒng)限制光束的孔徑光闌在物像空間的幾何像。入瞳出瞳光闌2023/1/1523對整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)而言，入瞳和出瞳保持物像其軛關(guān)系。由入瞳限制的物方光束必能全部通過系統(tǒng)，成為被出射光瞳所限制的像方光束。光波在一、三兩個(gè)部分內(nèi)的傳播可按菲涅耳衍射處理，而對于第二部分，即透鏡系統(tǒng)，在等暈條件下，可把它看作一個(gè)“黑箱”。只要能夠確定它兩端的邊端性質(zhì)，整個(gè)透鏡組的性質(zhì)就可以確定下來，而不必考慮其內(nèi)部結(jié)構(gòu)。這里黑箱的兩端是入瞳和出瞳。所謂邊端性質(zhì)應(yīng)是指成像光波在入瞳和出瞳平面的物理性質(zhì)。透鏡組入瞳出瞳黑箱2023/1/1524為了確定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，需要知道這個(gè)黑箱對于點(diǎn)光源發(fā)出的球面波的變換作用，即當(dāng)入瞳平面輸入發(fā)散球面波時(shí)，在出瞳平面透射波前的性質(zhì)。對于實(shí)際的透鏡組，這一邊端性質(zhì)千差萬別，但總可以分為兩類：衍射受限系統(tǒng)和有像差系統(tǒng)。衍射受限系統(tǒng)是指系統(tǒng)可以不考慮像差的影響，僅僅考慮光瞳產(chǎn)生的衍射限制。當(dāng)像差很小，或者系統(tǒng)的孔徑和視場都不大，實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)就可以近似看作是衍射受限的系統(tǒng)。透鏡組入瞳出瞳黑箱2023/1/1525它的邊端性質(zhì)是：物面上任一點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，被透鏡組變換為出瞳上的會聚球面波。有像差系統(tǒng)的邊端性質(zhì)是：點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，出瞳處的波前明顯偏離理想球面波。偏離的程度可由波像差描述，它決定于透鏡組本身的物理結(jié)構(gòu)。透鏡組入瞳出瞳黑箱2023/1/15262、阿貝（Abbe)成像理論阿貝基于對顯微鏡成像的研究，1873年提出了其衍射成像理論。他認(rèn)為成像過程包含了兩次衍射過程。焦平面物體-2級+2級-1級+1級0級采用相干光波照明物體，可以把物體看作一個(gè)復(fù)雜的衍射光柵，衍射光波在透鏡后焦平面形成物體的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。像2023/1/1527把后焦面上的點(diǎn)看作相干的次級波源，發(fā)出子波，在像面上相干疊加產(chǎn)生物體的像。兩次衍射過程也就是兩次傅里葉變換的過程：由物面到后焦面，物體衍射光波分解為各種頻率的角譜分量，即不同方向傳播的平面波分量，在后焦面上得到物體的頻譜。這是一次傅里葉變換過程。由后焦面到像面，各角譜分量又合成為像，這是一次傅里葉逆變換過程。焦平面物體-2級+2級-1級+1級0級像2023/1/1528當(dāng)不考慮有限光瞳的限制時(shí)，物體所有頻率分量都參與成像，所得的像應(yīng)逼真于物。但實(shí)際上，由于物鏡有限大小光瞳的限制，物體的頻率分量只有一部分能參與變換。一些高頻率成分被丟失，因而產(chǎn)生像的失真，即影響像的清晰度或分辨率。焦平面物體-2級+2級-1級+1級0級像2023/1/1529當(dāng)高頻分量具有的能量很弱，或者物鏡足夠大，丟失的高頻分量的影響就小，像也就更近似于物。因此，光學(xué)系統(tǒng)的作用類相似于一個(gè)低通濾波器，它濾掉了物體的高頻成分，而只允許一定范圍內(nèi)的低頻成分通過系統(tǒng)，這正是任何光學(xué)系統(tǒng)不能傳遞物面全部細(xì)節(jié)的根本原因。Abbe認(rèn)為衍射效應(yīng)是由于有限的入瞳引起的，1896年瑞利提出衍射效應(yīng)來自有限的出瞳。由于一個(gè)光瞳只不過是另一個(gè)光瞳的的幾何像，這兩種看法是等價(jià)的。衍射效應(yīng)可以歸結(jié)為有限大小的入瞳（或出瞳）對于成像光波的限制。焦平面物體-2級+2級-1級+1級0級像2023/1/1530瑞利衍射理論瑞利認(rèn)為：衍射效應(yīng)來自有效大小的出瞳由于一個(gè)光瞳不過是另一個(gè)光瞳的幾何像與阿貝衍射理論等效衍射效應(yīng)可歸結(jié)為入瞳或出瞳對于成像光波的限制2023/1/15313、單色光照明的衍射受限系統(tǒng)單色光照明時(shí)，由于光傳播的線性性質(zhì)，像面復(fù)振幅分布可以用疊加積分表示：透鏡組入瞳出瞳黑箱對衍射受限系統(tǒng)來說，h是由從出瞳向理想像點(diǎn)（Mx0,My0)會聚的球面波產(chǎn)生的。這里M是放大倍率。由于受有限大小光瞳的限制，該透射波傳播到像平面產(chǎn)生一個(gè)衍射斑。2023/1/1532由于出射光瞳的限制作用，在像面上將產(chǎn)生以理想像點(diǎn)為中心的出瞳孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。因此，可寫出物面上以點(diǎn)的單位脈沖通過衍射受限系統(tǒng)后在與物面共軛的像面上的復(fù)振幅分布，即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù):K為復(fù)常數(shù)，令2023/1/1533結(jié)果表明，單色光照明時(shí)，衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是光學(xué)系統(tǒng)出瞳的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，其中心在幾何光學(xué)的理想像點(diǎn)略去積分號前的系數(shù)，脈沖響應(yīng)就是光瞳函數(shù)的傅里葉變換,F例如，對于矩形或圓形孔徑的光瞳，成像系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)分別是sinc函數(shù)和愛里斑。脈沖響應(yīng)具有空不變性質(zhì)，即物點(diǎn)發(fā)生變化時(shí)，像平面上的脈沖響應(yīng)僅改變位置，函數(shù)形式不變。代入下式2023/1/1534定義則這一卷積積分表明，不僅對薄的單透鏡系統(tǒng)，而且對更普遍的情形，衍射受限的成像系統(tǒng)仍可以看作是線性空間不變系統(tǒng)。像的復(fù)振幅分布是幾何光學(xué)理想像和系統(tǒng)出瞳所確定的脈沖響應(yīng)的卷積。2023/1/15353.3衍射受限相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的相干成像系統(tǒng)對于復(fù)振幅的傳遞是線性空間不變系統(tǒng)。這同時(shí)意味著系統(tǒng)對于強(qiáng)度變換是非線性的。原因是此時(shí)光場是相干疊加。所以，本節(jié)的討論僅適用于線性的復(fù)振幅變換。3.3.1相干傳遞函數(shù)相干成像系統(tǒng)的物像關(guān)系由卷積積分描述。表示幾何光學(xué)的理想像是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。2023/1/1536卷積成像是把點(diǎn)物看作基元物，像是點(diǎn)物產(chǎn)生的衍射圖樣的相干疊加。系統(tǒng)的特性完全由點(diǎn)物所成的像斑的復(fù)振幅分布所決定。我們也可以從頻域分析成像過程。選擇復(fù)指數(shù)函數(shù)為基元函數(shù)，考慮系統(tǒng)對各種頻率成分的傳遞特性。F定義系統(tǒng)的輸入頻譜和輸出頻譜分別為F相干傳遞函數(shù)（CTF）為F由卷積定理2023/1/1537由上式可以看出，表征了衍射受限系統(tǒng)在頻域中的作用它使輸入頻譜轉(zhuǎn)化為輸出頻譜決定于系統(tǒng)本身的物理結(jié)構(gòu)。由于是空不變系統(tǒng)，可以用的脈沖響應(yīng)表示成像系統(tǒng)的特性2023/1/1538利用函數(shù)的比例性質(zhì)和篩選性質(zhì)，并略去常系數(shù)2023/1/1539上式指出，相干傳遞函數(shù)（CTF）等于光瞳函數(shù)，僅在空域坐標(biāo)x,y和頻域坐標(biāo)之間存在著一定的坐標(biāo)縮放關(guān)系。如果在一個(gè)反演的坐標(biāo)中來定義P，則可以去掉負(fù)號的累贅。實(shí)際光瞳函數(shù)總是取1和0兩個(gè)值，所以相干傳遞函數(shù)也是如此，只有0和1兩個(gè)值，這表明，在頻域中存在一個(gè)有限通頻帶，此通帶內(nèi)全部頻率分量可以通過系統(tǒng)而沒有振幅和相位畸變。而通帶以外的頻率分量完全被衰減掉。因此，衍射受限系統(tǒng)是一個(gè)低通濾波器，低于某一頻率的分量按原樣通過，高于該頻率的分量將被截止。這個(gè)頻率稱為截止頻率.2023/1/1540相干傳遞函數(shù)計(jì)算和運(yùn)用的例子。例1、正方形出瞳的衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)xy光瞳函數(shù)為相干傳遞函數(shù)為由rect定義，設(shè)2023/1/1541是軸和軸方向的截止頻率。這里是高斯像面的截止頻率。實(shí)際物面的截止頻率還應(yīng)乘以放大倍數(shù)M。因?yàn)槲锉环糯笠院?，空間頻率變小。例2、圓形出瞳的衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)2023/1/1542xy為各個(gè)方向的截止頻率。2023/1/1543例3、如圖所示為衍射受限系統(tǒng)的相干成像系統(tǒng)，矩形光闌縫寬l

=3cm,透鏡焦距f=5cm，照明光波長成像倍率M=1,如果物體是振幅透過率的理想光柵，周期d=0.01mm,求像的強(qiáng)度分布。解：首先確定系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)2023/1/1544周/mm1,0,采用單位振幅平面波垂直照射，幾何光學(xué)理想像的場分布Ug就等于物體的透過率，輸入頻譜輸出頻譜周/mm由例1結(jié)論2023/1/1545常用函數(shù)的傅里葉變換對2023/1/1546略去常系數(shù)，像光場分布為成像系統(tǒng)在空域和頻域的作用如下圖所示，從像面強(qiáng)度分布，還可以看出光柵仍能分辨。像與物具有相同的周期，但在兩個(gè)主極大之間出現(xiàn)次極大，光柵條紋已經(jīng)變形。系統(tǒng)通過頻帶愈寬，像與物愈相似。假如周/mm物的基頻成分也不能傳遞到像面，將看不到光柵的像。光柵成像的強(qiáng)度分布2023/1/1547空域和頻域的運(yùn)算結(jié)果光柵成像的強(qiáng)度分布2023/1/1548例4用一直徑為D，焦距為f的理想單透鏡對相干照明物體成像。若物方空間截止頻率為oc,試問當(dāng)系統(tǒng)的放大率M為何值時(shí)，oc有最大值？解：設(shè)物距為d0,像距為di,放大率為M。則系統(tǒng)的截止頻率2023/1/1549此時(shí)，物置于透鏡前焦面，像在像方無窮遠(yuǎn)處，在物空間的通頻帶為由上式可知，只有當(dāng)M為無窮大時(shí)，系統(tǒng)才有最大的空間截止頻率2023/1/1550例5如圖表示兩個(gè)相干成像系統(tǒng)，所用透鏡的焦距都相同。單透鏡系統(tǒng)中光闌的直徑為D，雙透鏡系統(tǒng)為了獲得相同的截止頻率，光闌直徑a應(yīng)等于多大（相對D寫出關(guān)系式）。解：這兩個(gè)系統(tǒng)都是橫向放大率為1的系統(tǒng)，故不必區(qū)分物方截止頻率和像方截止頻率。對于單透鏡系統(tǒng)的截止頻率為2023/1/1551對于雙透鏡系統(tǒng)，其孔徑光闌置于頻譜面上，故入瞳和出瞳分別在物方和像方無窮遠(yuǎn)處。入瞳與孔徑光闌保持物像其軛關(guān)系，出瞳與孔徑光闌也保持物像其軛關(guān)系。能通過光闌的最高空間頻率出必定能通過入瞳與出瞳，因此，系統(tǒng)的截止頻率可通過光闌的尺寸來計(jì)算。2023/1/15523.3.2相干線擴(kuò)散函數(shù)和邊緣擴(kuò)散函數(shù)測量傳遞函數(shù)的方法，一種是計(jì)算或測量出系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，然后對它做傅里葉變換以確定傳遞函數(shù)。但在有些情況下，得不到點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的精確表達(dá)式，這種方法不好使用。另一種方法是把大量頻率不同的本征函數(shù)逐個(gè)輸入系統(tǒng)，并確定每個(gè)本征函數(shù)所受到的衰減及其相移，從而得到傳遞函數(shù)。這種方法較第一種方法直接，但測量數(shù)目大，有時(shí)實(shí)現(xiàn)起來相當(dāng)困難，由線擴(kuò)散函數(shù)確定傳遞函數(shù)是另一種方法。2023/1/15531、線擴(kuò)散函數(shù)和邊緣擴(kuò)散函數(shù)的概念一個(gè)物點(diǎn)在像面上造成的強(qiáng)度為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，在理想成像下，是圓對稱的?，F(xiàn)在以一亮狹縫作為輸入通過光學(xué)系統(tǒng)后，光強(qiáng)分布是往兩側(cè)散開的，散開的情況取決于光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。因?yàn)橐桓林本€或一個(gè)亮狹縫，可以看成是由許多亮點(diǎn)的集合組成的，這許多沿直線排列的點(diǎn)源的像點(diǎn)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）的疊加就構(gòu)成亮直線的光強(qiáng)分布，這就是線擴(kuò)散函數(shù)。2023/1/1554設(shè)系統(tǒng)輸入一線脈沖，平行于y0軸，即線性空不變系統(tǒng)的線擴(kuò)散函數(shù)為是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。它等于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)沿yi方向的線積分。2023/1/1555現(xiàn)用一個(gè)與狹縫方向平行的刀片放置在像面上，開始時(shí)刀片完全擋住狹縫像，刀片逐漸移動，也就是逐漸放入狹縫像的光。如下圖，放入光通量與圖中陰影面積成比例。這樣一來，在刀片的整個(gè)移動過程中，進(jìn)入探測器的光通量隨刀口位置的變化構(gòu)成一個(gè)函數(shù)E(xi),這個(gè)函數(shù)就叫做邊緣擴(kuò)散函數(shù)。由上式又可得2023/1/1556邊緣擴(kuò)散函數(shù)也可以用下面方法導(dǎo)出。對系統(tǒng)輸入一個(gè)階躍函數(shù)，例如均勻照明的直邊或刀口形成的光分布。系統(tǒng)的輸出階躍響應(yīng)或邊緣擴(kuò)散函數(shù)，即2023/1/15572、相干線擴(kuò)散函數(shù)和邊緣擴(kuò)散函數(shù)在相干照明下的狹縫在像面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布叫相干線擴(kuò)散函數(shù)，它的一維傅里葉變換等于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)沿方向截面分布。FF2023/1/1558在衍射受限系統(tǒng)中的相干傳遞函數(shù)在通頻帶內(nèi)為常數(shù)，無論孔徑形狀如何，相干傳遞函數(shù)的截面總是矩形函數(shù)，因而將呈sinc函數(shù)變化。如對于直徑為D的圓形出瞳，垂直于孔徑的任意截面，都是矩形函數(shù)，即2023/1/1559線擴(kuò)散函數(shù)為F-1邊緣擴(kuò)散函數(shù)為展開式為2023/1/15601上圖給出了衍射受限的相干線響應(yīng)與直邊響應(yīng)函數(shù)。注意直邊的振蕩性質(zhì)。直邊的像不再是亮暗嚴(yán)格分明的，在亮區(qū)與暗區(qū)都會產(chǎn)生一些亮暗交替的條紋。2023/1/1561P擴(kuò)展面光源3.4衍射受限非相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在非相干照明下，物面上各點(diǎn)的振幅和相位隨時(shí)間變化的方式是彼此獨(dú)立的、統(tǒng)計(jì)無關(guān)的。這樣一來，雖然物面上每一點(diǎn)通過系統(tǒng)后仍可得到一個(gè)對應(yīng)的復(fù)振幅分布，但由于物面的照明是非相干的，故不能通過對這些復(fù)振幅分布的相干迭加得到像的復(fù)振幅分布，而應(yīng)該先由這些復(fù)振幅分布分別求出對應(yīng)的強(qiáng)度分布，然后將這些強(qiáng)度分布疊加（非相干疊加）而得到像的強(qiáng)度分布。若成像系統(tǒng)是空不變的，則非相干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度的線性空不變系統(tǒng)。2023/1/15623.4.1非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)非相干成像系統(tǒng)，物像關(guān)系滿足下面卷積關(guān)系式式中是幾何光學(xué)理想像的強(qiáng)度分布，K是常數(shù)，由于它不影響Ii的分布形式，所以不用給出具體表達(dá)形式。hI為強(qiáng)度脈沖響應(yīng)或強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。它是點(diǎn)物產(chǎn)生的像斑的強(qiáng)度分布，它應(yīng)該是復(fù)振幅點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)絕對值的平方，即是像的強(qiáng)度分布2023/1/1563對于非相干照明下的強(qiáng)度線性空不變系統(tǒng)，在頻域中來描述物像關(guān)系更加方便。對上式兩邊進(jìn)行傅里葉變換并略去無關(guān)緊要的常數(shù)后得FFF輸入光強(qiáng)頻譜函數(shù)輸出光強(qiáng)頻譜函數(shù)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)頻譜函數(shù)2023/1/1564下面以的傅里葉分解來說明光強(qiáng)頻譜的含義是實(shí)函數(shù)，其傅里葉變換是厄米型函數(shù)。故可以表示為意義：物面光強(qiáng)分布可以看作是不同空間頻率的余弦光強(qiáng)分量的線性組合。各頻率成分的振幅和初相位分別由光強(qiáng)頻譜的模和幅角確定。2023/1/1565對于呈余弦函數(shù)變化的強(qiáng)度分布，很自然地要討論其對比度，或調(diào)制度，其定義為式中分別為光強(qiáng)分布的最大值和最小值。比如對于信號其對比度為所以對比度等到于余弦分布的振幅和背景光強(qiáng)（零頻分量）的比值。當(dāng)a=I0時(shí)，V=1為最大值，條紋看起來最清晰。這時(shí)因背景光太強(qiáng)，條紋看起來很不清晰。2023/1/1566就像在陽光下看電視，不會有令人滿意的收看效果。所以，從圖像的視覺效果考慮，我們更關(guān)心各頻率余弦分量的對比度。為此，可用零頻分量的頻譜值對光強(qiáng)頻譜作歸一化。輸入和輸出的歸一化光強(qiáng)頻譜定義為Ai(,)Ag(,)

(,)2023/1/1567因?yàn)樗訟i(,)=Ag(,)歸一化的頻譜公式稱為非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)OTF,它描述非相干成像系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)。對于實(shí)際系統(tǒng)，頻譜函數(shù)一般都是復(fù)函數(shù)，都可以用它的模和輻角表示。于是有Ai(,)=Ai(,)Ag(,)=Ag(,)

(,)=

(,)

(,)2023/1/1568Ai(,)Ag(,)Ai(,)=Ai(,)Ag(,)=Ag(,)

(,)=稱為調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）稱為相位傳遞函數(shù)（PTF）2023/1/1569和的物理意義例：一個(gè)余弦輸入的光強(qiáng)為求其輸出光強(qiáng)和對比度的變化解：輸入光強(qiáng)的頻譜為2023/1/1570像面的強(qiáng)度分布為其傅里葉逆變換由于是一確定的常數(shù)，對像強(qiáng)度的相對分布沒有影響可忽略不計(jì)。

(,)

(,)

(,)

(,)2023/1/1571

(0,0)

(-0,-0)

(-0,-0)=

(0,0)=

(0,0)=12023/1/1572將上面的式子代入前面的式中并求其傅里葉逆變換由于上式是任意的，因此可以寫成一般形式結(jié)論：余弦條紋通過線性空不變系統(tǒng)成像后，像仍舊是同頻率的余弦條紋，只是振幅減小了，相位變化了。振幅的減小和相位的變化都取決于系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)在該頻率處的取值。2023/1/1573物和像的對比度為2023/1/1574像的對比度等于物的對比度與相應(yīng)的頻率的MTF的積，PTF給出了相應(yīng)的相移?？臻g余弦分布的相位差體現(xiàn)了余弦像分布相對于物分布移動多少。當(dāng)時(shí)表示錯開了一個(gè)條紋，當(dāng)時(shí)，說明錯開了個(gè)條紋。2023/1/1575由此可見，光學(xué)傳遞函數(shù)的模表示物分布中頻率為的余弦基元通過系統(tǒng)后的衰減或者說，表示頻率為的余弦物通過系統(tǒng)后調(diào)制度或?qū)Ρ榷鹊慕档?，正是這個(gè)原因，才把制傳遞函數(shù)（MTF）。叫稱為調(diào)2023/1/1576的輻角則表示頻率為余弦像分布相對理想像的橫向位移量，所以也把叫做相位傳遞函數(shù)。光學(xué)傳遞函數(shù)的作用圖示2023/1/15773.4.2OTF與CTF的聯(lián)系CTF和OTF分別是描述同一個(gè)成像系統(tǒng)采用相干照明和非相干照明時(shí)的傳遞函數(shù)，它們都決定于系統(tǒng)的物理性質(zhì)，我們應(yīng)該可以找到二者的聯(lián)系。溝通兩者的橋梁是下面的公式。CTF和OTF分別定義為FFFF

2023/1/1578利用傅里葉變換的自相關(guān)定理和巴塞伐定理得到結(jié)論：對于同一系統(tǒng)來說，光學(xué)傳遞函數(shù)等于相干傳遞函數(shù)的自相關(guān)歸一化函數(shù)。它對有像差和無像差的系統(tǒng)都成立。2023/1/15793.4.3衍射受限系統(tǒng)的OTF對于相干照明的衍射受限系統(tǒng)，已知令積分變量的替代不影響積分結(jié)果。2023/1/1580由于光瞳函數(shù)只有0和1兩個(gè)值，積分中的P2可以寫作P。因此，衍射受限系統(tǒng)的OTF是光瞳函數(shù)的歸一化自相關(guān)函數(shù)。2023/1/1581研究上式，可得到OTF的重要幾何解釋。式中分母是光瞳的總面積S0，分子代表中心位于的經(jīng)過平移的光瞳與原光瞳的重疊面積S（，），求衍射受限的OTF只不過是歸一化的重疊面積計(jì)算問題。2023/1/1582