第6章彎曲內(nèi)力(1,2)

第六章彎曲內(nèi)力§6-1對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖§6-2

梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖§6-3平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖比較—分類法第6章知識點彎曲的概念與內(nèi)力（平面彎曲、梁、簡圖、內(nèi)力符號規(guī)定、外力與內(nèi)力規(guī)律42字）梁的內(nèi)力圖的畫法平面剛架和平面曲桿的內(nèi)力圖截面法求內(nèi)力和簡便法求內(nèi)力（步驟）內(nèi)力方程畫內(nèi)力圖、內(nèi)力圖特征畫內(nèi)力圖平面剛架內(nèi)力圖的畫法彎矩、剪力、荷載三者微分關(guān)系畫內(nèi)力圖、疊加法畫彎矩圖平面曲桿內(nèi)力圖的畫法梁§6-1對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖一.彎曲的概念1.彎曲的一些概念橋梁，屋梁，車軸都是最常見梁的例子。梁：工程中以彎曲變形為主的桿件稱為

彎曲：

受力特點：桿件在包含其軸線的縱向平面內(nèi)，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用。

變形特點：直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€?？v向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面對稱軸所構(gòu)成的平面。平面彎曲（對稱彎曲）：當(dāng)作用在梁上的橫向載荷和力偶均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線。非對稱彎曲：若梁不具有縱向?qū)ΨQ平面，或者，梁雖具有縱向?qū)ΨQ平面，但橫向力或力偶不作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，這種彎曲則統(tǒng)稱為非對稱彎曲。本章和第七、八章研究的都是平面彎曲，至于非對稱彎曲在《材料力學(xué)（Ⅱ）的第一章介紹。二.梁的計算簡圖1.桿件的簡化用梁的軸線來代替實際的梁。Pq(x)2.載荷的簡化荷載簡化為集中荷載、分布荷載和力偶。3.支座的簡化根據(jù)支座對梁在載荷面內(nèi)的約束情況，一般可簡化為三種基本形式：CL7TU2固定端支座可動鉸支座固定鉸支座三、梁的分類1.按支座情況分為（三種簡單靜定梁）(記?。?.按支座數(shù)目分為：簡支梁靜定梁外伸梁懸臂梁超靜定梁跨

——梁在兩支座間的部分跨長——梁在兩支座間的長度3.按跨數(shù)分為：單跨梁多跨梁工程中梁的實例火車車輪軸簡圖廠房的吊車梁簡圖MA

FAABq0陽臺挑梁及其計算簡圖水壩及其計算簡圖跳臺跳板

試求圖a所示有中間鉸C的梁在A、B處的約束力。例6-1請同學(xué)們先寫出解題思路，再列方程求出結(jié)果（時間3分鐘）§6-2

梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖一、梁的剪力Fs(FQ)和彎矩M

圖a所示跨度為l的簡支梁其支座反力為

梁的左段內(nèi)任一橫截面m-m上的內(nèi)力，由m-m左邊分離體(圖b)的平衡條件可知：

它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖b中所示。顯然這些內(nèi)力是m-m右邊的梁段對于左邊梁段的作用力和作用力矩。

故根據(jù)作用與反作用原理，m-m左邊的梁段對于右邊梁段(圖c)的作用力和作用力矩數(shù)值應(yīng)與上式所示相同，但指向和轉(zhuǎn)向相反。

梁的橫截面上位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力FS或FQ與橫截面左右兩側(cè)的兩段梁在與梁軸相垂直方向的錯動(剪切)相對應(yīng)，故稱為剪力；梁的橫截面上作用在縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩是與梁的彎曲相對應(yīng)，故稱為彎矩。總之，梁在橫向荷載作用下橫截面的內(nèi)力為：(a)剪力Fs：與橫截面相切的內(nèi)力，單位：N或kN(b)彎矩M：作用在縱向平面的內(nèi)力偶矩，單位：N·m或kN·m剪力FS的符號規(guī)定彎矩M的符號規(guī)定使物體順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)。下凸上凹為正，反之為負(fù)。㈩㈠㈠㈩FSFSFSFS結(jié)論：剪力順時針為正，逆時針為負(fù)；彎矩下凸彎為正，上凸彎為負(fù)。二、梁的內(nèi)力符號規(guī)定三、求梁內(nèi)力的方法（一）截面法求內(nèi)力步驟：1、顯示內(nèi)力：假想用截面把梁截開，取其中一部分為對象，用內(nèi)力來代替兩部分的相互作用；

2、確定內(nèi)力：列平衡方程求內(nèi)力。注意：在用截面法算梁內(nèi)力時，假設(shè)所求橫截面上的內(nèi)力為正，即假定所求截面上的剪力順時針，彎矩使梁下凸上凹，其目的是便于畫出梁正確的內(nèi)力圖。求梁內(nèi)力的方程是：剪力：向上取y軸，由彎矩：對橫截面形心O取矩，由(剪力）(彎矩）解：（1）求梁的支反力FRA

和FRB例6-2圖示梁的計算簡圖.已知F1、F2,且F2>F1,尺寸a、b、c和l亦均為已知.試求梁在E

、F

點處橫截面處的剪力和彎矩.FRBBdEDAabclCFF1F2FRA

記E

截面處的剪力為FSE

和彎矩

ME，且假設(shè)FSE

和彎矩ME

的指向和轉(zhuǎn)向均為正值.BdEDAabclCFF1F2FRAAEcFSEFRAME解得

計算F點橫截面處的剪力FSF

和彎矩MF

.BdEDAabclCFF1F2FRAFdBFSFMFFRB解得：-+任一橫截面上的剪力等于該橫截面任一側(cè)所有外力的代數(shù)和。（二）簡便法求內(nèi)力1、外力與內(nèi)力大小規(guī)律任一橫截面上的彎矩等于該橫截面任一側(cè)所有外力對橫截面形心力矩的代數(shù)和。FFFFFSFSFSFS左側(cè)梁右側(cè)梁（+）（-）FS=FFS=-F外力與剪力方向規(guī)律：截面左側(cè)梁段向上外力或截面右側(cè)梁向下外力，該截面引起正剪力；反之該截面引起負(fù)剪力。見上圖表示。2、外力與內(nèi)力方向規(guī)律（三個）FFFMFM左側(cè)梁右側(cè)梁（+）（-）M=FxM=-FxMMxxxx（1）截面任一側(cè)梁，凡是向上外力，該截面引起正彎矩；反之，該截面引起負(fù)彎矩。見上圖表示。外力與彎矩方向規(guī)律（兩個）MM左側(cè)梁右側(cè)梁（+）（-）M=mM=-mMMmmmm（2）截面左側(cè)梁順時針轉(zhuǎn)向的外力偶或截面右側(cè)梁逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶，該截面引起正彎矩；反之，該截面引起負(fù)彎矩。見上圖表示。剪力等于外力和;彎矩等于力矩和;左上右下剪為正;左上右上彎為正;左順右逆彎為正;與上不符皆為負(fù)。背口訣，快速記（42字）3、簡便法求梁內(nèi)力的步驟步驟：（1）先分別判斷梁上各外力在截面上引起的內(nèi)力符號，并求出相應(yīng)的內(nèi)力數(shù)值。（2）由外力與內(nèi)力大小規(guī)律，將截面上的各內(nèi)力代數(shù)和，即為所有外力作用下梁截面的內(nèi)力?？谠E（9個字）：先判斷→分別求→后疊加例6-3求梁1-1、2-2、3-3和4-4截面上的剪力和彎矩。解：（1）求支座反力（2）求剪力與彎矩解：D左鄰截面：例6-4

試求圖示外伸梁D左與右鄰截面上的FQ和M。D右鄰截面：四.剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖

剪力方程和彎矩方程實際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律，或稱為內(nèi)力方程。顯示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖，它們是梁配鋼筋和承載能力計算的依據(jù)。梁剪力圖的畫法：取縱橫坐標(biāo)軸，橫坐標(biāo)軸與梁軸線平行，表示梁的截面位置，縱坐標(biāo)軸表示梁截面對應(yīng)的剪力的大小，規(guī)定正剪力畫在橫坐標(biāo)軸的上方，負(fù)剪力畫在橫坐標(biāo)軸的下方，畫出的圖形即為梁的剪力圖。梁彎矩圖的畫法：取縱橫坐標(biāo)軸，橫坐標(biāo)軸與梁軸線平行，表示梁的截面位置，縱坐標(biāo)軸表示梁截面對應(yīng)的彎矩的大小，規(guī)定梁的彎矩圖畫在梁的受拉側(cè)，因為正彎矩使梁下側(cè)受拉，所以正彎矩畫在橫坐標(biāo)軸的下方；負(fù)彎矩使梁的上側(cè)受拉，所以負(fù)彎矩畫在橫坐標(biāo)軸的上方，畫出的圖形即為梁的彎矩圖。作剪力圖和彎矩圖的方法：

1.列內(nèi)力方程畫內(nèi)力圖

4.疊加法畫內(nèi)力圖(主要畫彎矩圖)

3.控制點法(或稱由Ｍ、Ｆs、q三者微分關(guān)系畫內(nèi)力圖）2.由內(nèi)力圖特征畫內(nèi)力圖注意：畫梁的內(nèi)力圖一定要標(biāo)圖名、控制點數(shù)值、單位、正負(fù)號。1、由內(nèi)力方程畫內(nèi)力圖步驟：

1.求梁的支座反力;2、列出梁的剪力方程和彎矩方程M=M(x),Fs=Fs(x);3、由梁的內(nèi)力方程求出梁控制點的剪力和彎矩，從而畫出梁的剪力圖和彎矩圖。注意：列剪力方程時，集中力作用的點除外，因為集中力作用點處剪力是不確定值；列彎矩方程時，集中力偶作用的點除外，因為集中力偶作用點處彎矩是不確定值。例6-5圖示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支反力2、列剪力方程和彎矩方程xFBFABlAqql

2FS

ql28l/2MBlAq3、作剪力圖和彎矩圖結(jié)論：（1）梁上有均布荷載，剪力圖是斜直線，彎矩圖是二次曲線，彎矩圖的凸向與均布荷載指向一致；剪力等于零處，彎矩有極值。（2）固定鉸支座、可動鉸支座和圓柱鉸鏈，上面沒有力偶矩，則這些支座的彎矩等于零。例6-6圖示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支反力2、列剪力方程和彎矩方程——需分兩段列出xBlAFabCFBFAAC段CB段xBlAFabCFBFA3、作剪力圖和彎矩圖FS

FblFaMxFablFBlAabClx發(fā)生在集中荷載作用處發(fā)生在AC段b>a時結(jié)論：（1）梁上某段沒有均布荷載，剪力圖為水平線，彎矩圖為直線；（2）在集中力F作用處，剪力圖有突變，突變方向：從左向右看，與集中力指向一致，突變值為集中力的大?。粚?yīng)該處彎矩圖有尖角。

在集中力F作用（C截面）處，其左、右兩側(cè)的剪力發(fā)生突變，且二者的差值等于F，即

其原因是把分布在小范圍的分布力，抽象成為集中力所造成的。若集中力F視為作用在Dx段上的分布力，就不存在突變現(xiàn)象了（圖d）。例6-7圖示簡支梁在C點受矩為Me

的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解:1、求支反力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：彎矩方程——兩段：AC段：CB段：FA

FBBlACabx3、作剪力圖和彎矩圖b>a時發(fā)生在C截面右側(cè)BlACabFslxMelMxMealMeb結(jié)論：梁上有集中力偶矩時，該處剪力圖無變化，但該處彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶矩，突變方向：（1）從左向右看，若集中力偶矩是順時針，則彎矩圖從上向下突變；（2）從左向右看，若集中力偶矩時逆時針，則彎矩圖從下向上突變。內(nèi)力圖特征（口訣）無均載,Fs圖平M圖直;有均載,Fs圖斜M圖曲;彎凸向,與均載指向相一致;剪力零,該處彎矩有極值;無力偶:固定鉸、可動鉸、圓鉸鏈該處彎矩等于零；集中力，該處Fs圖有突變，對應(yīng)M圖有尖角；突變向（從左向右看），與集中力指向相一致；突變值，等于集中力大小值；有力偶，該處M圖有突變，對應(yīng)Fs圖無變化；力偶順（從左向右看），該處突變由上向下跑；力偶逆（從左向右看），該處突變由下向上跑；突變值，等于集中力大小值。思考：荷載是對稱性與反對稱性，內(nèi)力圖有何規(guī)律？

（請同學(xué)們自己總結(jié)內(nèi)力圖規(guī)律）Bl/2FA

AFBCl/2FxMFl/4xFsF/2F/2Bl/2FA

AFBCMe

l/2FslxMeMxMe/2Me/22.由內(nèi)力圖特征畫內(nèi)力圖步驟：（1）求梁的支座反力；（2）根據(jù)梁上的荷載，將梁分成若干段，由簡便法求出各段控制點的內(nèi)力數(shù)值，并標(biāo)在所要畫的Fs圖、M圖上；（3）由內(nèi)力圖的特征將各控制點的內(nèi)力數(shù)值連成直線或曲線，便可得到整個梁的內(nèi)力圖。注意：此方法畫梁的內(nèi)力圖簡單實用，該方法可用于下學(xué)期《結(jié)構(gòu)力學(xué)》畫結(jié)構(gòu)（梁、剛架等）的剪力圖和彎矩圖，希望同學(xué)們一定要掌握。解:(1)求支反力E4m4m4m3mABCD