2023年北京市中國(guó)人民人大高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在直角梯形中，，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，()A． B．2 C． D．2．很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費(fèi)馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則將它乘以再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以；如此循環(huán)，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個(gè)程序框圖.若輸入的值為，則輸出i的值為（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中既關(guān)于直線對(duì)稱，又在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A．. B．C． D．4．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．5．在菱形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A． B． C．5 D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，為上任意一點(diǎn)，若，則（）A．30° B．45° C．60° D．75°7．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，則（）A． B． C． D．9．若不等式對(duì)于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B． C． D．10．已知實(shí)數(shù)，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．11．?dāng)?shù)列滿足：，則數(shù)列前項(xiàng)的和為A． B． C． D．12．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.若；且，則周長(zhǎng)的范圍為_(kāi)_________.14．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_________.15．已知集合,,則__________．16．已知圓柱的上下底面的中心分別為，過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該圓柱的體積為_(kāi)___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，且.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，與圓相交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值.19．（12分）在直角坐標(biāo)平面中，已知的頂點(diǎn)，，為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過(guò)軸上的定點(diǎn).20．（12分）某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬(wàn)名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬(wàn)元.年齡（單位：歲）保費(fèi)（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數(shù)時(shí)的最小值；（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元，如果參保，保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲，若購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元；若沒(méi)有購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn)，針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算？21．（12分）已知橢圓：（），點(diǎn)是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為（異于點(diǎn)），是否存在直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.22．（10分）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，，且.（1）求角的值；（2）求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

由題，可求出，所以，根據(jù)共線定理，設(shè)，利用向量三角形法則求出，結(jié)合題給，得出，進(jìn)而得出，最后利用二次函數(shù)求出的最大值，即可求出.【詳解】由題意，直角梯形中，，，，，可求得，所以·∵點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，即，又因?yàn)樗?，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理，以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.2．B【解析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入，不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)不成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性的特點(diǎn)，利用排除法，即可得出答案.【詳解】A中，當(dāng)時(shí)，，所以不關(guān)于直線對(duì)稱，則錯(cuò)誤；B中，，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，則錯(cuò)誤；D中，，而，則，所以不關(guān)于直線對(duì)稱，則錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】

根據(jù)集合的混合運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】，故可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.5．B【解析】

據(jù)題意以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果.【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，的方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問(wèn)題，難度一般.長(zhǎng)方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問(wèn)題，如果直接計(jì)算較麻煩可考慮用建系的方法求解.6．C【解析】

如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，故，得到答案.【詳解】如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，在中，，故，即.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中角度的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.7．C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點(diǎn)，∴，則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴，即.∴雙曲線的離心率為故選C.點(diǎn)睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時(shí)涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用，對(duì)于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．8．B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】，即，即，，，得，，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中角的正弦值的計(jì)算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9．C【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，即可得到結(jié)論．解：不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈(0，]成立，等價(jià)于a≥-x-對(duì)于一切成立，∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C．考點(diǎn)：不等式的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題10．B【解析】

根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：∵，∴，，．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．A【解析】分析：通過(guò)對(duì)an﹣an+1=2anan+1變形可知，進(jìn)而可知，利用裂項(xiàng)相消法求和即可．詳解：∵，∴，又∵=5，∴，即，∴，∴數(shù)列前項(xiàng)的和為，故選A．點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.12．A【解析】

選取中間值和，利用對(duì)數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求角，再用余弦定理找到邊的關(guān)系，再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解：所以三角形周長(zhǎng)故答案為：【點(diǎn)睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件；基礎(chǔ)題.14．【解析】

先求出導(dǎo)數(shù)，再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號(hào)為正時(shí)對(duì)應(yīng)的的集合，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，注意先考慮函數(shù)的定義域，再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號(hào)，本題屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

直接根據(jù)集合和集合求交集即可.【詳解】解:,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.16．【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.【詳解】解：因?yàn)檩S截面是正方形，且面積是36，所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為：【點(diǎn)睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用勾股定理結(jié)合條件求得和，利用橢圓的定義求得的值，進(jìn)而可得出，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求出，利用幾何法求得直線截圓所得弦長(zhǎng)，可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）在橢圓上，，，，，，，又，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立消去，得，，則，，設(shè)圓的圓心到直線的距離為，則.，，，，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中弦長(zhǎng)之積的取值范圍的求解，涉及韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）求解出導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理說(shuō)明在上存在唯一的零點(diǎn)即可；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，判斷出的單調(diào)性，從而可確定，利用以及的單調(diào)性，可確定出之間的關(guān)系，從而的值可求.【詳解】（1）證明：∵，∴.∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，令，，則在上單調(diào)遞減，，故.令，則所以函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn).（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∴.由（*）式得.∴，顯然是方程的解.又∵是單調(diào)遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)，難度較難.（1）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷；（2）函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問(wèn)題，可通過(guò)“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行分析.19．（1）（）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，分別用表示、表示和余弦定理表示，將表示為、的方程，再化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)直線方程代入的軌跡方程，得，設(shè)點(diǎn)，，，表示出直線，取，得，即可證明直線過(guò)軸上的定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)，由已知，∴，∴（），化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡的方程為：（）；（2）由（1）知，過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為0時(shí)與無(wú)交點(diǎn)，不合題意故可設(shè)直線的方程為：（），代入的方程得：.設(shè)，，則，，.∴直線：.令，得.直線過(guò)軸上的定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡方程的求法、余弦定理的應(yīng)用和利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系求定點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.20．（1）30；（2），比較劃算.【解析】

（1）由頻率和為1求出，根據(jù)的值求出保費(fèi)的平均值，然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果，最后取近似值即可；（2）分別計(jì)算參保與不參保時(shí)的期望，，比較大小即可.【詳解】解:（1）由，解得.保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為:∴要使公司不虧本，則，即解得∴.（2）①若該老人購(gòu)買了此項(xiàng)保險(xiǎn)，則的取值為∴(元).②若該老人沒(méi)有購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)，則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)比較劃算.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題的能力，掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì)，知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為容易題.21．（1）；（2）存在，【解析】

（1）把點(diǎn)代入橢圓C的方程，再結(jié)合離心率，可得a,b,c的關(guān)系，可得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，代入橢圓，運(yùn)用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由，可求得直線的方程,要注意檢驗(yàn)直線是否和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．【詳解】（1）由題可得∴，所以橢圓的方程（2）由題知，設(shè)，直線的斜率存在設(shè)為，則與橢圓聯(lián)立得，，∴，，∴若以