19屆高三數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)同步第1部分重點(diǎn)保分題專題檢測(15)立體幾何中的向量方法(通用版)

專題檢測（十五）立體幾何中的向量方法（高考題型全能練）1．(2019·肥質(zhì)檢合)如圖，六面體ABCDHEFG中，四邊形ABCD為菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3.(1)求證：EG⊥DF；(2)求BE與平面EFGH所成角的正弦值．2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，PA＝PB，O為AB的中點(diǎn)，OD⊥PC.(1)求證：

OC⊥PD；(2)若

PD

與平面

PAB所成的角為

30°，求二面角

D-PC-B的余弦值．3．(2019

·州模擬貴

)已知長方形

ABCD

中，AB＝1，AD＝

2.現(xiàn)將長方形沿對角線

BD

折起，使AC＝a，獲得一個(gè)四周體A-BCD，如下圖．(1)試問：在折疊的過程中，異面直線AB與CD，AD與BC可否垂直？若能垂直，求出相應(yīng)的a值；若不垂直，請說明原因．(2)當(dāng)四周體A-BCD的體積最大時(shí)，求二面角A-CD-B的余弦值．4．(2019·明七校聯(lián)考昆)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，E為BC中點(diǎn)．(1)求證：C1D⊥D1E；AM(2)在棱AA1上能否存在一點(diǎn)M，使得BM∥平面AD1E？若存在，求AA1的值，若不存在，說明原因；(3)若二面角B1-AE-D1的大小為90°，求AD的長．答案1．解：(1)證明：連結(jié)

AC，由

AE

CG可知四邊形

AEGC

為平行四邊形．因此

EG∥AC，而

AC⊥BD，AC⊥BF，因此

EG⊥BD，EG⊥BF，由于

BD∩BF＝B，因此

EG⊥平面

BDHF，又

DF?

平面

BDHF

，因此

EG⊥DF.(2)設(shè)

AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知可得：平面

ADHE∥平面

BCGF，因此

EH

∥FG，同理可得：

EF∥HG，因此四邊形

EFGH

為平行四邊形，因此

P為

EG

的中點(diǎn)，

O為

AC

的中點(diǎn)，因此OP綊AE，進(jìn)而OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，因此OA，OB，OP兩兩垂直，由平面幾何知識(shí)，得BF＝2.如圖，成立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B(0，2，0)，E(23，0，3)，F(xiàn)(0，2，2)，P(0，0，3)，因此＝(23，－2，3)，＝(23，0，0，)，＝(0，2，－1)．設(shè)平面EFGH的法向量為n＝(x，y，z)，x＝0，可得2y－z＝0，令y＝1，則z＝2.因此n＝(0，1，2)．設(shè)BE與平面EFGH所成角為θ，則sinθ＝＝4525.2.解：(1)證明：連結(jié)OP，∵PA＝PB，O為AB的中點(diǎn)，∴OP⊥AB.∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC.∵OD⊥PC，OP∩PC＝P，∴OD⊥平面OPC，∵OC?平面OPC，∴OD⊥OC，又OP⊥OC，OD∩OP＝O，∴OC⊥平面OPD，∵PD?平面OPD，∴OC⊥PD.(2)取CD的中點(diǎn)E，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE，OB，OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸成立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.在矩形ABCD中，由(1)得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不如設(shè)AD＝1，則AB＝2.∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△CPB，∴∠DPA為直線PD與平面PAB所成的角，∴∠DPA＝30°，∠CPB＝30°，PA＝PB＝3，∴B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，－1，0)，P(0，0，2)，進(jìn)而＝(1，1，－2)，＝(0，－2，0)．設(shè)平面PCD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，x1＋y1－2z1＝0，得2y1＝0，可取n1＝(2，0，1)．同理，可取平面PCB的一個(gè)法向量為n2＝(0，－2，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝n1·n2＝－1，3|n1|·|n2|1∴二面角D-PC-B的余弦值為－3.3．解：(1)若AB⊥CD，由于AB⊥AD，AD∩CD＝D，因此AB⊥平面ACD，因此AB⊥AC.即AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝(2)2，因此a＝1.若AD⊥BC，由于AD⊥AB，因此AD⊥平面ABC，因此AD⊥AC.即AD2＋a2＝CD2，即(2)2＋a2＝12，因此a2＝－1，無解．故AD⊥BC不可立．(2)要使四周體A-BCD的體積最大，由于△BCD的面積為定值2，2因此只要三棱錐A-BCD的高最大即可，此時(shí)平面ABD⊥平面BCD，過點(diǎn)A作AO⊥BD于點(diǎn)O，則AO⊥平面BCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)成立空間直角坐標(biāo)系O-xyz(如圖)，則易知A6，C(6，3，0)，D23，0，0，0，3330，3明顯，平面BCD的一個(gè)法向量為6＝0，0，3.設(shè)平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)．由于＝－6，3，0，＝0，－23，6，3333因此6x＝3y，令y＝2，得n＝(1，2，2)．3y＝6z，226故二面角A-CD-B的余弦值為|cos〈3＝27，n〉|＝7.6×1＋2＋434．解：(1)證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，成立如下圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)AD＝a，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，1，0)，B1(a，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，a，1，0，∴＝(0，－1，－1)，＝a，1，－1，0，1)，E22C1D⊥D1E.AM(2)設(shè)＝h，則M(a，0，h)，∴＝(0，－1，h)，＝－a，1，0，＝(－a，0，1)，2設(shè)平面AD1E的法向量為n＝(x，y，z)，∴平面AD1E的一個(gè)法向量為n＝(2，a，2a)，∵BM∥平面AD1E，1∴⊥n，即·n＝2ah－a＝0，∴h＝2.即在AA1上存在點(diǎn)M，使得BM∥平面AD1E，此時(shí)AM1＝.AA1