布萊克斯克爾斯期權(quán)定價(jià)模型

布萊克--斯克爾斯期權(quán)定價(jià)模型在國(guó)際衍生金融市場(chǎng)的形成發(fā)展過程中，期權(quán)的合理定價(jià)是困擾投資者的一大難題。隨著計(jì)算機(jī)、先進(jìn)通訊技術(shù)的應(yīng)用，復(fù)雜期權(quán)定價(jià)公式的運(yùn)用成為可能。在過去的２０年中，投資者通過運(yùn)用布萊克———斯克爾斯期權(quán)定價(jià)模型，將這一抽象的數(shù)字公式轉(zhuǎn)變成了大量的財(cái)富。下面著重分析了布萊克———斯克爾斯期權(quán)公式的推導(dǎo)并就其應(yīng)用與發(fā)展作了進(jìn)一步的介紹。認(rèn)為該模型的思想方法能為今后我國(guó)期權(quán)市場(chǎng)的公正合理運(yùn)作提供某些借鑒。1997年10月10日，第二十九屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了兩位美國(guó)學(xué)者,哈佛商學(xué)院教授羅伯特·默頓(ＲｏｂｅｒｔＭｅｒｔｏｎ)和斯坦福大學(xué)教授邁倫·斯克爾斯(ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓ)。他們創(chuàng)立和發(fā)展的布萊克———斯克爾斯期權(quán)定價(jià)模型(Ｂｌａｃｋ-ＳｃｈｏｌｅｓＯｐｔｉｏｎＰｒｉｃｉｎｇＭｏｄｅｌ)為包括股票、債券、貨幣、商品在內(nèi)的新興衍生金融市場(chǎng)的各種以市價(jià)價(jià)格變動(dòng)定價(jià)的衍生金融工具的合理定價(jià)奠定了基礎(chǔ)。斯克爾斯與他的同事、已故數(shù)學(xué)家費(fèi)雪·布萊克(ＦｉｓｃｈｅｒＢｌａｃｋ)在70年代初合作研究出了一個(gè)期權(quán)定價(jià)的復(fù)雜公式。

與此同時(shí),默頓也發(fā)現(xiàn)了同樣的公式及許多其它有關(guān)期權(quán)的有用結(jié)論。結(jié)果,兩篇論文幾乎同時(shí)在不同刊物上發(fā)表。所以,布萊克—斯克爾斯定價(jià)模型亦可稱為布萊克—斯克爾斯—默頓定價(jià)模型。默頓擴(kuò)展了原模型的內(nèi)涵,使之同樣運(yùn)用于許多其它形式的金融交易。瑞士皇家科學(xué)協(xié)會(huì)(ＴｈｅＲｏｙａｌＳｗｅｄｉｓｈＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ)贊譽(yù)他們?cè)谄跈?quán)定價(jià)方面的研究成果是今后25年經(jīng)濟(jì)科學(xué)中的最杰出貢獻(xiàn)。一、布萊克—斯克爾斯定價(jià)模型(以下簡(jiǎn)稱Ｂ-Ｓ模型)及其假設(shè)條件(一)Ｂ-Ｓ模型有5個(gè)重要的假設(shè)

1金融資產(chǎn)收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布;

2在期權(quán)有效期內(nèi),無風(fēng)險(xiǎn)利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的;

3市場(chǎng)無摩擦,即不存在稅收和交易成本;

4金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利及其它所得(該假設(shè)后被放棄);

5該期權(quán)是歐式期權(quán),即在期權(quán)到期前不可實(shí)施。(二)榮獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的Ｂ-Ｓ定價(jià)公式

Ｃ=Ｓ·Ｎ(ｄ1)-Ｌ·ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2)

其中:

ｄ1=1ｎＳＬ+(γ+σ22)Ｔσ·Ｔ

ｄ2=ｄ1-σ·ＴＣ—期權(quán)權(quán)初始合合理價(jià)格格ＬＬ——期權(quán)交交割價(jià)格格ＳＳ——所交易易金融資資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)價(jià)ＴＴ——期權(quán)有有效期ｒｒ—連連續(xù)復(fù)利利計(jì)無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率率σ2—年度化方方差Ｎ()——正態(tài)分分布變量量的累積積概率分分布函數(shù)數(shù)，在此此應(yīng)當(dāng)說說明兩點(diǎn)點(diǎn)：第第一,該該模型中中無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率必必須是連連續(xù)復(fù)利利形式。。一個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的或或不連續(xù)續(xù)的無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率率(設(shè)為為ｒ0)一般是是一年復(fù)復(fù)利一次次,而ｒｒ要求利利率連續(xù)續(xù)復(fù)利。。ｒ0必須須轉(zhuǎn)化為為ｒ方能能代入上上式計(jì)算算。兩者者換算關(guān)關(guān)系為:ｒ=ｌｌｎ(1+ｒ0)或ｒｒ0=ｅｅｒ-1。例如如ｒ0=0.06,則則ｒ=ｌｌｎ(1+0.06)=0853,即100以583%的連續(xù)續(xù)復(fù)利投投資第二二年將獲獲106,該結(jié)結(jié)果與直直接用ｒｒ0=0.06計(jì)算的的答案一一致。第二,期期權(quán)有效效期Ｔ的的相對(duì)數(shù)數(shù)表示,即期權(quán)權(quán)有效天天數(shù)與一一年365天的的比值。。如果期期權(quán)有效效期為100天天,則ＴＴ=100365=0.274。二、Ｂ-Ｓ定價(jià)價(jià)模型的的推導(dǎo)與與運(yùn)用(一)ＢＢ-Ｓ模模型的推推導(dǎo)Ｂ-Ｓ模型型的推導(dǎo)導(dǎo)是由看看漲期權(quán)權(quán)入手的的,對(duì)于于一項(xiàng)看看漲期權(quán)權(quán),其到到期的期期值是:Ｅ[ＧＧ]=ＥＥ[ｍａａｘ(ＳＳＴ-ＬＬ,Ｏ)]其其中,ＥＥ[Ｇ]—看漲漲期權(quán)到到期期望望值ＳＴ—到到期所交交易金融融資產(chǎn)的的市場(chǎng)價(jià)價(jià)值ＬＬ—期權(quán)權(quán)交割(實(shí)施)價(jià)到到期有兩兩種可能能情況:1、、如果ＳＳＴ>ＬＬ,則期期權(quán)實(shí)施施以進(jìn)帳帳(ｉｎｎ-ｔｈｈｅ-ｍｍｏｎｅｅｙ)生生效,且且ｍａｘｘ(ＳＴＴ-Ｌ,Ｏ)=ＳＴ-Ｌ2、如果果ＳＴ<Ｌ,則則期權(quán)所所有人放放棄購(gòu)買買權(quán)力,期權(quán)以以出帳(Ｏｕｔｔ-ｏｆｆ-ｔｈｈｅ-ｍｍｏｎｅｅｙ)失失效,且且有:ｍｍａｘｘ(ＳＴＴ-Ｌ,Ｏ)=0從從而:ＥＥ[ＣＣＴ]=Ｐ×(Ｅ[ＳＳＴ|ＳＳＴ>ＬＬ)+(1-ＰＰ)×ＯＯ=Ｐ××(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]-Ｌ)其中:ＰＰ—(ＳＳＴ>ＬＬ)的概概率Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]——既定(ＳＴ>Ｌ)下下ＳＴ的的期望值值將Ｅ[Ｇ]按按有效期期無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)復(fù)利ｒＴＴ貼現(xiàn),得期權(quán)權(quán)初始合合理價(jià)格格:ＣＣ=ｐ××ｅ-ｒｒＴ×(Ｅ[ＳＳＴ|ＳＳＴ>ＬＬ]-ＬＬ)(*)這樣樣期權(quán)定定價(jià)轉(zhuǎn)化化為確定定Ｐ和ＥＥ[ＳＴＴ|ＳＴＴ>Ｌ]。首先,對(duì)收益益進(jìn)行定義。。與利率一致致,收益為金金融資產(chǎn)期權(quán)權(quán)交割日市場(chǎng)場(chǎng)價(jià)格(ＳＴＴ)與現(xiàn)價(jià)(Ｓ)比值的的對(duì)數(shù)值,即即收益=1ｎｎＳＴＳ。由由假設(shè)1收益益服從對(duì)數(shù)正正態(tài)分布,即即1ｎＳＴＳＳ～Ｎ(μｔ,σｔ2),所以以Ｅ[1ｎ(ＳＴＳ]=μｔ,ＳＴＳ～～ｅＮ(μｔ,σｔ2)可以證證明,相對(duì)價(jià)價(jià)格期望值大大于ｅμｔ,為:ＥＥ[ＳＴＳＳ]=ｅμｔ+σｔ22=ｅｅμｔ+σ2Ｔ2=ｅγＴ從而,μｔ=Ｔ(γ-σ22),且有σｔ=σＴ。其次,求(ＳＴ>ＬＬ)的概率率Ｐ,也即即求收益大大于(ＬＳＳ)的概率率。已知正正態(tài)分布有有性質(zhì):ＰＰｒ06[ζ>χ]=1-ＮＮ(χ-μμσ)其中中:ζ—正正態(tài)分布隨隨機(jī)變量χχ—關(guān)鍵值值μ—ζ的的期望值σσ—ζ的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差所以以:Ｐ=ＰＰｒ06[ＳＴ>1]=Ｐｒｒ06[1ｎＳＴＳＳ]>1ｎｎＬＳ]=1Ｎ-1ｎＬＳ-(γ-σσ22)ＴＴσＴｎｃｃ4由對(duì)對(duì)稱稱性性:1-ＮＮ(ｄｄ)=ＮＮ(-ｄｄ)ＰＰ=ＮＮ1ｎｎＳＳＬＬ+(γγ-σσ22)ＴＴσσＴＴａａｒｒS第第三三,求求既既定定ＳＳＴＴ>ＬＬ下下ＳＳＴＴ的的期期望望值值。。因因?yàn)闉椋牛臶ＳＳＴＴ|ＳＳＴＴ]>ＬＬ]處處于于正正態(tài)態(tài)分分布布的的ＬＬ到到∞∞范范圍圍,所所以以,Ｅ[ＳＳＴ|ＳＴＴ]>=ＳＳ·ｅｅγＴＴ·ＮＮ(ｄｄ1)Ｎ(ｄ2)其中:ｄ1=ｌｌｎＳＳＬ+(γγ+σσ22)ＴＴσＴＴｄ2=ｌｌｎＳＳＬ+(γγ-σσ22)ＴＴσＴＴ=ｄｄ1-σＴＴ最最后,將ＰＰ、ＥＥ[ＳＳＴ|ＳＴＴ]>Ｌ]代入入(*)式式整理理得ＢＢ-ＳＳ定價(jià)價(jià)模型型:ＣＣ=ＳＳ·ＮＮ(ｄｄ1)-ＬＬ·ｅｅ-γγＴ··Ｎ(ｄ2)(二)Ｂ-Ｓ模模型應(yīng)應(yīng)用實(shí)實(shí)例假假設(shè)設(shè)市場(chǎng)場(chǎng)上某某股票票現(xiàn)價(jià)價(jià)Ｓ為為164,無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)連連續(xù)復(fù)復(fù)利利利率γγ是0.0521,市場(chǎng)場(chǎng)方差差σ2為0.0841,那么么實(shí)施施價(jià)格格Ｌ是是165,有效效期ＴＴ為0.0959的的期權(quán)權(quán)初始始合理理價(jià)格格計(jì)算算步驟驟如下下:①求ｄｄ1:ｄ1=(1ｎｎ164165+(0.052)+0.08412)××0.09590.29×0.0959=0.0328②②求ｄｄ2:ｄ2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570③③查標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分分布函函數(shù)表表,得得:ＮＮ(0.03)=0.5120ＮＮ(-0.06)=0.4761④④求ＣＣ:ＣＣ=164×0.5120-165××ｅ-0.0521×0.0959××0.4761=5.803因此理論上上該期權(quán)的的合理價(jià)格格是5.803。如如果該期權(quán)權(quán)市場(chǎng)實(shí)際際價(jià)格是5.75,那么這意意味著該期期權(quán)有所低低估。在沒沒有交易成成本的條件件下,購(gòu)買買該看漲期期權(quán)有利可可圖。(三)看跌跌期權(quán)定價(jià)價(jià)公式的推推導(dǎo)ＢＢ-Ｓ模模型是看漲漲期權(quán)的定定價(jià)公式,根據(jù)售出出—購(gòu)進(jìn)平平價(jià)理論(ｐｕｔ-ｃａｌｌｌｐａｒｉｉｔｙ)可可以推導(dǎo)出出有效期權(quán)權(quán)的定價(jià)模模型由售出出—購(gòu)進(jìn)平平價(jià)理論,購(gòu)買某股股票和該股股票看跌期期權(quán)的組合與購(gòu)買該該股票同等等條件下的的看漲期權(quán)權(quán)和以期權(quán)權(quán)交割價(jià)為為面值的無無風(fēng)險(xiǎn)折扣扣發(fā)行債券券具有同等等價(jià)值,以以公式表示示為:Ｓ+Ｐｅ(ＳＳ,Ｔ,ＬＬ)=Ｃｅｅ(Ｓ,ＴＴ,Ｌ)+Ｌ(1+γ)-Ｔ移項(xiàng)得:Ｐｅ(ＳＳ,Ｔ,ＬＬ)=Ｃｅｅ(Ｓ,ＴＴ,Ｌ)+Ｌ(1+γ)-Ｔ-Ｓ,將將Ｂ-Ｓ模模型代入整整理得:ＰＰ=Ｌ·ｅｅ-γＴ·[1-Ｎ(ｄ2)]-ＳＳ[1-ＮＮ(ｄ1)]此即為為看跌期權(quán)權(quán)初始價(jià)格格定價(jià)模型型。三、Ｂ-ＳＳ模型的發(fā)發(fā)展、股票票分紅Ｂ-Ｓ模型型只解決了了不分紅股股票的期權(quán)權(quán)定價(jià)問題題,默頓發(fā)發(fā)展了Ｂ-Ｓ模型,使其亦運(yùn)運(yùn)用于支付付紅利的股股票期權(quán)。。(一)存在在已知的不不連續(xù)紅利利假設(shè)某股股票在期權(quán)權(quán)有效期內(nèi)內(nèi)某時(shí)間ｔｔ(即除息息日)支付付已知紅利利Ｄｔ,只需需將該紅利利現(xiàn)值從股股票現(xiàn)價(jià)ＳＳ中除去,將調(diào)整后后的股票價(jià)價(jià)值Ｓ′代代入Ｂ-ＳＳ模型中即即可:Ｓ′′=Ｓ-ＤＤｔ·ｅ-ｒｔ。如如果在有效效期內(nèi)存在在其它所得得,依該法法一一減去去。從而將將Ｂ-Ｓ模模型變型得得新公式:Ｃ=(ＳＳ-·ｅ-γｔ·ＮＮ(ｄ1)-Ｌ·ｅｅ-γｔ··Ｎ(ｄ2)(二)存在在連續(xù)紅利利支付是指指某股票以以一已知分分紅率(設(shè)設(shè)為δ)支支付不間斷斷連續(xù)紅利利,假如某某公司股票票年分紅率率δ為0.04,該該股票現(xiàn)值值為164,從而該該年可望得得紅利164×004=6.56。值值得注意的的是,該紅紅利并非分分4季支付付每季164;事實(shí)實(shí)上,它是是隨美元的的極小單位位連續(xù)不斷斷的再投資資而自然增增長(zhǎng)的,一一年累積成成為6.56。因?yàn)楣蓛r(jià)價(jià)在全年年是不斷斷波動(dòng)的的,實(shí)際際紅利也也是變化化的,但但分紅率率是固定定的。因因此,該該模型并并不要求求紅利已已知或固固定,它它只要求求紅利按按股票價(jià)價(jià)格的支支付比例例固定。。在此紅紅利現(xiàn)值值為:ＳＳ(1-ｅ-δＴ),所所以Ｓ′′=Ｓ··ｅ-δＴ,以ＳＳ′代ＳＳ,得存存在連續(xù)續(xù)紅利支支付的期期權(quán)定價(jià)價(jià)公式:Ｃ=ＳＳ·ｅ-δＴ·Ｎ(ｄ1)-Ｌ··ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2)四、Ｂ-Ｓ模型型的影響響自Ｂ-ＳＳ模型1973年首次次在政治治經(jīng)濟(jì)雜雜志(ＪＪｏｕｒｒｎａｌｌｏｆＰＰｏｌｉｉｔｉｃｃａｌＥＥｃｏｎｎｏｍｙｙ)發(fā)表表之后,芝加哥哥期權(quán)交交易商們們馬上意意識(shí)到它它的重要要性,很很快將ＢＢ-Ｓ模模型程序序化輸入入計(jì)算機(jī)機(jī)應(yīng)用于于剛剛營(yíng)營(yíng)業(yè)的芝芝加哥期期權(quán)交易易所。該公式的的應(yīng)用隨隨著計(jì)算算機(jī)、通通訊技術(shù)術(shù)的進(jìn)步步而擴(kuò)展展。到今今天,該該模型以以及它的的一些變變形已被被期權(quán)交交易商、、投資銀銀行、金金融管理理者、保保險(xiǎn)人等等廣泛使使用。衍衍生工具具的擴(kuò)展展使國(guó)際際金融市市場(chǎng)更富富有效率率,但也也促使全全球市場(chǎng)場(chǎng)更加易易變。新的技術(shù)和新新的金融工具具的創(chuàng)造加強(qiáng)強(qiáng)了市場(chǎng)與市市場(chǎng)參與者的的相互依賴,不僅限于一一國(guó)之內(nèi)還涉涉及他國(guó)甚至至多國(guó)。結(jié)果果是一個(gè)市場(chǎng)場(chǎng)或一個(gè)國(guó)家家的波動(dòng)或金金融危機(jī)極有有可能迅速的的傳導(dǎo)到其它它國(guó)家乃至整整個(gè)世界經(jīng)濟(jì)濟(jì)之中。我國(guó)金融體制制不健全、資資本市場(chǎng)不完完善,但是隨隨著改革的深深入和向國(guó)際際化靠攏,資資本市場(chǎng)將不不斷發(fā)展,匯匯兌制度日漸漸完善,企業(yè)業(yè)也將擁有更更多的自主權(quán)權(quán)從而面臨更更大的風(fēng)險(xiǎn)。。因此,對(duì)規(guī)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的金金融衍生市場(chǎng)場(chǎng)的培育是必必需的,對(duì)衍衍生市場(chǎng)進(jìn)行行探索也是必必要的,我們們才剛剛起步步。謝謝12月月-2209:15:2409:1509:1512月月-2212月月-2209:1509:1509:15:2412月-2212月-2209:15:242022/12/319:15:249、靜夜四四無鄰，，荒居舊舊業(yè)貧。。。12月-2212月-22Saturday,December31,202210、雨中黃葉樹樹，燈下白頭頭人。。09:15:2509:15:2509:1512/31/20229:15:25AM11、以以我我獨(dú)獨(dú)沈沈久久，，愧愧君君相相見見頻頻。。。。12月月-2209:15:2509:15Dec-2231-Dec-2212、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。09:15:2509:15:2509:15Saturday,December31,202213、乍見見翻疑疑夢(mèng)，，相悲悲各問問年。。。12月月-2212月月-2209:15:2509:15:25December31,202214、他鄉(xiāng)生生白發(fā)，，舊國(guó)見見青山。。。31十十二月20229:15:25上午午09:15:2512月-2215、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。十二月229:15上午午12月-2209:15December31,202216、行動(dòng)出成成果，工作作出財(cái)富。。。2022/12/319:15:2509:15:2531December202217、做前，能能夠環(huán)視四四周；做時(shí)時(shí)，你只能能或者最好好沿著以腳腳為起點(diǎn)的的射線向前前。。9:15:25上上午9:15上上午09:15:2512月-229、沒沒有有失失敗敗，，只只有有暫暫時(shí)時(shí)停停止止成成功功！！。。12月月-2212月月-22Saturday,December31,202210、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有結(jié)結(jié)果果，，但但是是不不努努力力卻卻什什么么改改變變也也沒沒有有。。。。09:15:2509:15:2509:1512/31/20229:15:25AM11、成功功就是是日復(fù)復(fù)一日日那一一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小小努力力的積積累。。。12月月-2209:15:2509:15Dec-2231-Dec-2212、世間間成事事，不不求其其絕對(duì)對(duì)圓滿滿，留留一份份不足足，可可得無無限完完美。。。09:15:2509:15:2509:15Saturday,December31,202213、不知香香積寺，，數(shù)里入入云峰。。。12月-2212月-2209:15:2509:15:25December31,202214、意志堅(jiān)堅(jiān)強(qiáng)的人人能把世世界放在在手中像像泥塊一一樣任意意揉捏。。31十十二月20229:15:25上午午09:15:2512月-2215、楚塞三湘接接，荊門九派派通。。。十二月229:15上上午12月-2209:15December31,202216、少年十五五二十時(shí)，，步行奪得得胡馬騎。。。2022/12/319:15:2509:15:2531December202217、空空山山新新雨雨后后，，天天氣氣晚晚來來秋秋。。。。9:15:25上上午午9:15上上午午09:15:2512月月-229、楊楊柳柳散散和和風(fēng)風(fēng)，，青青山山澹澹吾吾慮慮。。。。12月月-2212月月-22Saturday,December31,202210、閱讀讀一切切好書書如同同和過過去最最杰出出的人人談話話。09:15