微分中值定理及其應(yīng)用講課教案

分類號(hào)UDC 單位代碼密級(jí)公開(kāi) 學(xué)號(hào)2006040223四川文理學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文論文題目：微分中值定理及其應(yīng)用論文作者：指導(dǎo)教師：論文作者：指導(dǎo)教師：學(xué)科專業(yè)：提交論文日期:論文答辯日期:學(xué)位授予單位:XXX數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2010年4月20日2010年4月28日四川文理學(xué)院中國(guó)？達(dá)亦2010年4月TOC\o"1-5"\h\z摘要 IABSTRACT II引言\o"CurrentDocument"第一章微分中值定理歷史 1引言 1微分中值定理產(chǎn)生的歷史 2\o"CurrentDocument"第二章微分中值定理介紹 4羅爾定理 4拉格朗日中值定理 4柯西中值定理 6\o"CurrentDocument"第三章微分中值定理應(yīng)用 7根的存在性的證明 7一些不等式的證明 8求不定式極限 100型不定式極限 10011—型不定式極限11利用拉格朗日定理討論函數(shù)的單調(diào)性 12第四章結(jié)論 14參考文獻(xiàn) 15\o"CurrentDocument"致謝 16微分中值定理及其應(yīng)用學(xué)生：XXX指導(dǎo)老師：XXX摘要微分中值定理是微分學(xué)的基本定理之一 ,在微分學(xué)有著重要的地位，其發(fā)展經(jīng)歷了幾百年．費(fèi)馬作為微積分的創(chuàng)立者 ,提出了費(fèi)馬定理，羅爾在《方程的解法》中又有了羅爾定理的前身，拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書(shū)中首次提出拉格朗日中值定理，柯西在《微分計(jì)算教程》中給出最初的柯西定理．在本論文第二章分別詳細(xì)的介紹了微分中值定理的三大派別．微分中值定理的應(yīng)用很廣，在很多領(lǐng)域都可以看到其理論知識(shí)．在第三章微分中值定理的應(yīng)用中分別從證明根的存在性問(wèn)題、證明一些不等式、不定式極限三個(gè)方向簡(jiǎn)要說(shuō)明其應(yīng)用，并用一些經(jīng)典的例題來(lái)詮釋．關(guān)鍵詞：羅爾定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；根的存在性；不定式極限D(zhuǎn)IFFERENTIALMEANVALUETHEOREMANDITSAPPLICATIONstudent:HuZhanhongSupervisor:HuRongABSTRACTMeanValueTheoremisoneofthefundamentaltheoremofdifferentialcalculus,thedifferentialcalculusplaysanimportantrole.Itsdevelopmentthroughthecenturies,FermatasthefounderofcalculusproposedFermat'stheorem,Rollein"EquationSolution"intheformer,therehasbeenRolle'stheorem,Lagrangeinthe"theoryofanalyticfunctions"thefirsttimeabookLagrangemeanvaluetheorem,Cauchyinthe"differentialComputerCourse"givenintheinitialCauchy'stheorem.InthesecondchapterpresentedadetaileddescriptionoftheMeanValueTheoremofthethreemajorfactions.MeanValueTheoremisverybroad,canbeseeninmanyareasoftheirtheoreticalknowledge.ChapterIIIApplicationofMeanValueTheoremtoprovetheroot,respectively,fromtheexistenceoftheproblem,thatsomeofinequality,abriefdescriptionoftheinfinitivelimititsapplicationinthreedirections,andwithsomeclassicexamplestoexplain.Keywords:Rolle'stheorem,Lagrangetheorem!CauchymeanvaluetheoremRootof,InfinitiveLimit第一章微分中值定理歷史[1]1.1引言微分中值定理是微分學(xué)的基本定理之一 ，是研究函數(shù)的有力工具.微分中值定理有著明顯的幾何意義和運(yùn)動(dòng)學(xué)意義.以拉格朗日(Lagrange)中值定理為例，它的幾何意義：一個(gè)定義在區(qū)間［a,b］上的可微(注：連續(xù)且除端點(diǎn)外處處具有不垂直于 x軸的切線)的曲線弧f(x),其上至少有一點(diǎn)C,使曲線在這一點(diǎn)的切線平行于連接點(diǎn)(a,f(a))與(b,f(b))的割線.它的運(yùn)動(dòng)學(xué)意義：設(shè)f是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間區(qū)間［a,b］上走過(guò)白^路程f(b)f(a),f⑼f(a)代表質(zhì)點(diǎn)在(a,b)上的平均速度，在(a,b)上至少存在某一時(shí)刻，使得質(zhì)點(diǎn)在ba的瞬時(shí)速度恰好是它的平均速度 .人們對(duì)微分中值定理的認(rèn)識(shí)可以追溯到公元前古希臘時(shí)代 .古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中，得到如下結(jié)論：“過(guò)拋物線弓形的頂點(diǎn)的切線必平行于拋物線弓形的底” ，這正是拉格朗日定理的特殊情況.希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用這一結(jié)論，求出拋物弓形的面積.意大利卡瓦列里(Cavalieri)在《不可分量幾何學(xué)》(1635年)的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理 ，其中引理3基于幾何的觀點(diǎn)也敘述了同樣一個(gè)事實(shí) ：曲線段上必有一點(diǎn)的切線平行于曲線的弦.這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理.人們對(duì)微分中值定理的研究，從微積分建立之時(shí)就開(kāi)始了 .1637年，著名法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)在《求最大值和最小值的方法》中給出費(fèi)馬定理 ，在教科書(shū)中，人們通常將它稱為費(fèi)馬引理.1691年，法國(guó)數(shù)學(xué)家羅爾(Rolle)在《方程的解法》一文中給出多項(xiàng)式形式的羅爾定理.1797年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書(shū)中給出拉格朗日定理 ，并給出最初的證明.對(duì)微分中值定理進(jìn)行系統(tǒng)研究的是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西 (Cauchy),他是數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)的推動(dòng)者，他的三部巨著《分析教程》、 《無(wú)窮小計(jì)算教程概論》 (1823年)、《微分計(jì)算教程》(1829年)以嚴(yán)格化為其主要目標(biāo)，對(duì)微積分理論進(jìn)行了重構(gòu).他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為微分學(xué)的核心定理.在《無(wú)窮小計(jì)算教程概論》中，柯西首先嚴(yán)格地證明了拉格朗日定理，又在《微分計(jì)算教程》中將其推廣為廣義中值定理一柯西定理 .從而發(fā)現(xiàn)了最后一個(gè)微分中值定理.1.2 微分中值定理產(chǎn)生的歷史費(fèi)馬作為微積分的創(chuàng)立者，他在研究極大和極小問(wèn)題的解法時(shí) ，得到統(tǒng)一的解法“虛擬等式法”，從而得出原始形式的費(fèi)馬定理 .所謂的虛擬等式法，費(fèi)馬的“虛擬等式法”基于一種非常直觀的想法，如果f(Xo)為f(x)的極大值,那么從直觀上來(lái)看，f(x)在X0附近值變化很小，當(dāng)e很小時(shí)xxo,f(x)和f(xe)相差很小.用現(xiàn)代語(yǔ)言來(lái)說(shuō),對(duì)于函數(shù)f(x),讓自變量從x變化到xe,當(dāng)f(x)為極值時(shí)，f(x)和f(xe)的差近似為0,用e除虛擬等式，f(xe)"刈0,然后讓一 0,就得到函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為 0,這就是費(fèi)馬定e理：函數(shù)f(x)在x%處取極值，并且可導(dǎo)，則f(x)0.應(yīng)該指出：費(fèi)馬給出以上結(jié)論，微積分還處于初創(chuàng)階段，并沒(méi)有明確導(dǎo)數(shù)，極限連續(xù)的概念，用現(xiàn)代眼光來(lái)看，其論斷也是不嚴(yán)格的.現(xiàn)在看到的費(fèi)馬定理是后人根據(jù)微積分理論和費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)的實(shí)質(zhì)重新給出的 ^羅爾在論著《方程的解法》給出了“在多項(xiàng)式 a°xnaixn1Lan〔xa。0的兩個(gè)相鄰根中，方程na°xn1(n1)a〔xn2L烝10至少有一個(gè)實(shí)根.”這是定理："f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，并且f(a)f(b),則必存在一點(diǎn) (2笛)，使￡()0"的特例.也就是以上定理被稱為羅爾定理的原因 .最初羅爾定理和現(xiàn)代羅爾定理不僅內(nèi)容有所不同，而且證明也大相徑庭，它是羅爾利用純代數(shù)方法加以證明的 ，和微積分并沒(méi)有什么聯(lián)系.現(xiàn)在看到的羅爾定理，是后人根據(jù)微積分理論重新證明 ，并把它推廣為一般函數(shù)，“羅爾定理”這一名稱是由德羅比什在 1834年給出，并由意大利數(shù)學(xué)家貝拉維蒂斯在 1846年發(fā)表的論文中正式使用的.拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理.它是指 ：" f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在一點(diǎn) (a,b),,使f(b)f(a)f().”這一定理是拉格朗日在ba《解析函數(shù)論》一書(shū)中首先給出的 ，它最初形式為：“函數(shù)f(x)在x0和x之間連續(xù)，f(x)

的最大值為A,最小值為B,則fx)一乂")必?。跙,A］中一個(gè)值.”xX0歷史上拉格朗日定理證明有三個(gè) ，最初的證明是拉格朗日在《解析函數(shù)論》中給出的 .這個(gè)證明很大程度建立在直觀基礎(chǔ)上 ，所以并不是嚴(yán)格的.它依賴于這樣一個(gè)事實(shí)：當(dāng)f(z)0,f(z)在［a,b］上單調(diào)增加.所用的條件也比現(xiàn)在強(qiáng),現(xiàn)代中值定理只須f(x)在［a,b］上可導(dǎo)，而拉格朗日最初的中值定理，卻需f(x)在［a,b］上可導(dǎo)，并存在連續(xù)導(dǎo)數(shù).并且所用連續(xù)概念，也是直觀的，“假設(shè)變量連續(xù)地變化，那么函數(shù)將會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)變化，但是如果不經(jīng)過(guò)一切中間值，它就不會(huì)從一個(gè)值過(guò)渡到另一個(gè)值.”十九世紀(jì)初，在以柯西等為代表的微積分嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)中，人們給出了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格定義，也給拉格朗日中值定理以新的嚴(yán)格證明，柯西在《無(wú)窮小計(jì)算概論》中證明了：如果f(x)在［a,b］為連續(xù)，則必有一個(gè)［a,b］,使f(x) f(Xo) f()現(xiàn)代形式的拉格朗日定理，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家博xX。(O.Bonnet)在其著作《CoursdeCalculDifferentieletintegral 》中給出的，他不是利TOC\o"1-5"\h\z用f(x)的連續(xù)性，而是羅爾定理對(duì)拉格朗日定理加以重新證明 ^柯西定理被認(rèn)為是拉格朗日定理的推廣.它是指：設(shè)f(x)和F(x)在［a,b］上連續(xù)，在柯西定理被認(rèn)為是拉格朗日定理的推廣(a,b)上可導(dǎo)，并且F(x)0,則必有一個(gè)值 (a,b),使f(b)f(a) f()F(b)F(a) F()柯西在《微分計(jì)算教程》中給出最初的柯西定理f(x)柯西在《微分計(jì)算教程》中給出最初的柯西定理f(x)和F(x)在［a,b］上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，并且F(x)在［a,b］上不為零，這時(shí)對(duì)于某一點(diǎn) ［a,b］,有TOC\o"1-5"\h\zf(b)f(a) f()F(b)F(a) F()柯西的證明與拉格朗日對(duì)拉格朗日中值定理很相似 ^微分中值定理在柯西的微積分理論系統(tǒng)中占有重要的地位 .例如他利用微分中值定理給洛必達(dá)法則以嚴(yán)格的證明，并研究泰勒公式的余項(xiàng).從柯西起，微分中值定理就成為研究函數(shù)的重要工具和微分學(xué)的重要組成部分

第二章微分中值定理介紹[2]2.1羅爾定理[2]定理1(羅爾定理)若函數(shù)f滿足下列條件：(1)在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)可導(dǎo)；(3)f(a)f(b)，則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f()0TOC\o"1-5"\h\z(注：在羅爾定理中，三個(gè)條件有一個(gè)不成立，定理的結(jié)論就可能不成立 .)羅爾定理的幾何意義是說(shuō)：在除端點(diǎn)外處處可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端高度相等，則至少存在一條水平切線 .證明：因?yàn)?f在[a,b]上連續(xù)，所以有最大值和最小值，分別用M和m表示，現(xiàn)分兩種情況來(lái)討論：(1)若mM,則f在[a,b]上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立 .若mM，則因f(a)f(b),使得最大值M和最小值m至少有一個(gè)在(a,b)內(nèi)某點(diǎn)處取得，從而 是f的極值點(diǎn).由條件(2)，f在點(diǎn)處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推知f()0拉格朗日中值定理定理2(拉格朗日中值定理)若函數(shù) f滿足如下條件:(1)在閉區(qū)間 [a,b]連續(xù)；

(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)可導(dǎo),則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得f(b)f(a)f()

ba顯然，特別當(dāng)f(a)f(b)時(shí)，本定理的結(jié)論即為羅爾中值定理的結(jié)論.這表明羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情形.證明：作輔助函數(shù)f(b)f(a)/ 、F(x)f(x)f(a) —(xa)ba顯然，F(xiàn)(a)F(b)0,且F在［a,b］上滿足羅爾中值定理的另兩個(gè)條件.故存在(a,b),使F()f()f^0

ba移項(xiàng)后既得到所要證明的式子.拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理?xiàng)l件的曲線 yf(x)上至少存在一點(diǎn)P(,f()),該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線 AB.我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù)F(x),正是曲線yf(x)與直線AB(yf(a)f(b)f⑻(xa))之差.ba此外，拉格朗日公式還有以下幾種等價(jià)表示形式，供讀者在不同場(chǎng)合適用：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"f(b) f(a) f()(ba), a b;f(b) f(a) f(a(ba))(b a), 0 1；f(a h)f (a)f(ah)h, 0 1.表示成了a(ba),使得不論a,b為值得注意的是：拉格朗日公式無(wú)論對(duì)于ab,還是表示成了a(ba),使得不論a,b為之間的某一定數(shù).而后兩式的特點(diǎn)，在于把中值點(diǎn)何值， 總可為小于1的某一正數(shù).

柯西中值定理定理3(柯西中值定理)設(shè)函數(shù)f和g滿足(1)在閉區(qū)間［a,b］上都連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；f(x)和g(x)不同日時(shí)為0；g(a)g(b),則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得f(b)f(a)f()

g(b)g(a)g()證明：作輔助函數(shù)F(x)f(x)f(a)f(?f(a)(g(b)g(a))

ba易見(jiàn)F在［a,b］上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，故存在(a,b),使得F()f(b)f(a)g()g(b)g(a)因?yàn)镕()f(b)f(a)g()g(b)g(a)因?yàn)間()0(否則由上式f()也不為零)，所以可把上式改寫成結(jié)論.柯西中值定理的幾何意義：把f,g這兩個(gè)函數(shù)寫作以x為參量方程在UOV在UOV平面上表示一段曲線，由于而mdv則表示該曲線上x(chóng)g()duxug(x)

vf(x)f(b)f⑻表示連接該曲線兩端的弦AB的斜率,g(b)g(a)相對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)C(g(),f())處的切線的斜率.因此上述切線與弦AB互相平行.第三章微分中值定理應(yīng)用根的存在性的證明[3]引理若實(shí)函數(shù)yf(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x1) f(x2)L f(xn),其中Xi,X2,Lxn是(a,b)內(nèi)n個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，則方程f(x)0在(a,b)內(nèi)至少有n1個(gè)不同的實(shí)根．設(shè)x1,x2,Lxn已按從小到大的順序排列，以其作為分點(diǎn)可得 n1個(gè)小區(qū)間[x1,x2],[x2,x3],K,[xn1,xn]，在每個(gè)區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理即可得到上述結(jié)論．定理1若實(shí)函數(shù)yf(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有m階導(dǎo)數(shù)，且f(x1)f(x2)Lf(xn)，其中Xi,X2,Lxn是(a,b)內(nèi)n個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，則方程fm(x)0在(a,b)內(nèi)至少有nm個(gè)不同的實(shí)根．證明：由引理知方程 f(x)0在(a,b)內(nèi)至少有n1個(gè)根，不妨設(shè)這 n1個(gè)根為2,Ln1.則f(1)f(2)Lf(n1)0，由引理可得方程 f(x) 0在(a,b)內(nèi)至少有n2個(gè)根.以此類推，fm(x)0在(a,b)內(nèi)至少有nm個(gè)根.推論若實(shí)函數(shù)yf(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有m階導(dǎo)數(shù)，且方程fm(x) 0在(a,b)內(nèi)只有n個(gè)不同的實(shí)根，則方程 f(x)0在(a,b)內(nèi)至多有nm個(gè)不同的實(shí)根．例1：設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，求證方程4ax33bx22cxabc在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根.證明：令f(x)ax4bx3cx2(abc)x則f(0) f(1)0．易驗(yàn)證f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理的三個(gè)條件，從而存在(0,1)，使得f()0．即 4ax33bx22cxabc.例2：設(shè)f(x)在［0,1］上可導(dǎo)，且0f(x)1,又對(duì)于(0,1)內(nèi)的所有點(diǎn)x有f(x) 1證明方程f(x)x10在(0,1)內(nèi)有唯一的實(shí)根.證明：先證存在性令p(x)f(x)x1則p(x)在［0,1］上可導(dǎo).因?yàn)?f(x)1,所以p(0)f(0)10, p(1)f(1)0由中值定理知p(x)在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)即方程f(x)x10在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.再證唯一性用反證法，設(shè)方程f(x)x10在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根x1,x2,不妨設(shè)0f(x)1,有f(x1)1X,f(x2)1x2.對(duì)f(x)在［x1,x2］上由拉格朗日中值定理，有(、⑷使f() f(x2)f(x1) 1X2(1X1) 1x2X X2x1這與假設(shè)f(x) 1矛盾，唯一性得證.一些不等式的證明應(yīng)用微分中值定理(含Taylor公式)及其導(dǎo)出的結(jié)論證明不等式內(nèi)容十分豐富， 在此僅舉幾例.TOC\o"1-5"\h\z例1"：設(shè)a1，a2,Lan都是正數(shù)，有不等式 a)a2Lanw-' - ~n其中等號(hào)成立 31a2L anx 1 1證明：取函數(shù)f(x)In，它的定義域是區(qū)間(0,+8)故f(x)一,f(x) —x xa。wan將函數(shù)其中a0 a1a2…an或& a2nf（x）Inx在ao展開(kāi)泰勒公式（到二階導(dǎo)數(shù)）0有1nx ina01, 、1,1、， 、一(xa0)~(F)(xa0)a0 2!一， 1 1 2于a0與x之間，顯然—（一2）（xa°）w0

2!1x0有inin一(xa0)a0a1，a2,Lan (0,）時(shí)，分別有anna0 0Ina1wina0—(a1 a0)a0ina2wina01, 、一⑶a0)a0,aa1innwin0—(ana°)

a0將上述n個(gè)不等式兩端分別相加，有:即:亦即:因?yàn)閕na1ina2Linanwnina01ina1a2.anna1a2La2!1T) 0nIna0(觸a2Lan)&inna1a2Lanw 1—a1 a2a0annao所以，不等式中等號(hào)成立ai a2 Lan例4[4].設(shè)eabe2,證明ln2bln2age證明：對(duì)函數(shù)ln2x在［a,b］上應(yīng)用拉格朗日中值定理,ln2bln2a型吟則t11ntt丁吟則t11ntt丁0,所以t單調(diào)減少,從而,2、(e),即lne2ln3.3求不定式極限lne2ln3.3求不定式極限ln2bln2bln2a,2 4,lna —bae我們把兩個(gè)無(wú)窮小量或無(wú)窮大量之比的極限統(tǒng)稱為不定式極限,分別記為。型或一型我們把兩個(gè)無(wú)窮小量或無(wú)窮大量之比的極限統(tǒng)稱為不定式極限,分別記為。型或一型0的不定式極限.現(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限， 這個(gè)方法通常稱為洛必達(dá)法則.其中柯西中值定理是建立洛必達(dá)法則的理論依據(jù).3.3.10型不定式極限0定理1若函數(shù)f和g滿足:(1)limf(x)limg(x)0;XX0 xxo(2)在點(diǎn)X0的某空心鄰域U0(Xo)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g(x)0；A(A可為實(shí)數(shù)，也可為或例1[6].例1[6].求limx0limB

xX。g(x)lim上Axx0g(x)x(ex1)2(ex1)解：這是解：這是0型不定式，故

0lxm0x(ex1)2(ex1)x(elim--x01)xexlxm0x(ex1)2(ex1)x(elim--x01)xex2ex3x2lim1x0xxxee3x2x..elim—x0xxxee6x3.3.2 —型不定式極限定理2若函數(shù)f和g滿足:(1)limf(x)limg(x)xx° xx°在點(diǎn)x0的某右鄰域u0(x0)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g(x)0;(3)A(A可為實(shí)數(shù)，也可為limf^ lim9Axx0g(x)xx0g(x)例2.求Hmln(癡3x)x0ln(sinx)解：這是一型不定式，故ln(sin3x)lim x0ln(sinx)3cos3xsinxlim x0sin3xcosx3cosxcos3x9sin3xsinxlim x03cosxcos3xsin3xsinx=13.4利用拉格朗日定理討論函數(shù)的單調(diào)性利用拉格朗日中值定理能夠很方便地判別出函數(shù)的單調(diào)性定理1：若函數(shù)f(x)在［a,b］連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則有：如果在(a,b)內(nèi)f(x)>0則f(x)在［a,b］上單調(diào)遞增;如果在［a,b］內(nèi)f(x)w0則f(x)在［a,b］單凋遞減.另外f(x)在(a,b)內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)外，仍有f(x)>0(或w0),則f(x)在［a,b］仍然是單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減的)，即連續(xù)函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處無(wú)導(dǎo)數(shù)并不影響函數(shù)的單調(diào)性.證明：若f為增函數(shù)，則對(duì)每一x0［a,b］,當(dāng)xx0時(shí)，有f(x)f(x0)>n20xx0令xx0,即得f(x)>0.反之，若f(x)在區(qū)間［a,b］上恒有f(x)>0,則對(duì)任意x1,x2［a,b］(設(shè)x1x2)，應(yīng)用拉格朗日定理，存在 (x1,x)2［a,b］,使得f(x2)f(xi) f()(x2xi)>0由此征得f在［a,b］上為增函數(shù).2x例6.求證當(dāng)x0時(shí)，ln(1x)x——2證明：令2xf(x)ln(1x)(x—)2因f(x)在［0,+8)上連續(xù)，在(0,+OO)內(nèi)可導(dǎo)，且1 x2f(x)—1xx1 x12當(dāng)x0時(shí)，有f(x)—0,所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)是單調(diào)增加的,x