概率論基礎(chǔ)知識(shí)

概率論基礎(chǔ)知識(shí)

(復(fù)習(xí))主要內(nèi)容1.隨機(jī)事件與概率2.隨機(jī)變量及其概率分布3.多維隨機(jī)變量及其概率分布4.隨機(jī)變量的數(shù)字特征

5.大數(shù)定律及中心極限定理1.隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件§1.2概率§1.3條件概率§1.4事件的獨(dú)立性返回§1.1隨機(jī)事件一、隨機(jī)現(xiàn)象二、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件三、樣本空間四、事件的關(guān)系與運(yùn)算例子（事件的關(guān)系和運(yùn)算）練習(xí)題一、隨機(jī)現(xiàn)象1.確定性現(xiàn)象:

例如，向上拋一顆石子必然下落；同性電荷必定相互排斥；在一個(gè)大氣壓下60度的水必定不會(huì)沸騰，等等。2.隨機(jī)現(xiàn)象:

例如，拋一枚硬幣結(jié)果可能是正面朝上、也可能是反面朝上；用同一門(mén)炮向同一目標(biāo)射擊的彈著點(diǎn)不盡相同，等等。這類(lèi)現(xiàn)象有一個(gè)共同特點(diǎn)：即在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性,而在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有某種規(guī)律性——統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.3.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)具有廣泛的應(yīng)用。

返回二、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn)(三個(gè)特征):(1)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確所有可能的結(jié)果;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能發(fā)生的結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件.簡(jiǎn)稱(chēng)為事件.事件通常用英文字母A，B，C……或A1,A2……表示，記成如下形式：A={可能發(fā)生的結(jié)果}.例子隨機(jī)事件例子例1：已知一批產(chǎn)品共30件，內(nèi)含正品26件，次品4件，從中一次取出5件的試驗(yàn).則Ai={恰有i件次品},(i=0，1，2，3，4)；B={最多有三件次品}；C={正品不超過(guò)2件}等都是隨機(jī)事件，他們?cè)谝淮卧囼?yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生.例2：擲一粒骰子，觀察它出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)?？赡艿慕Y(jié)果為：

A={1,2,3,4,5,6}。三、樣本空間

一般地，在隨機(jī)試驗(yàn)中，把不可分割的事件稱(chēng)為基本事件；由兩個(gè)及兩個(gè)以上基本事件組合而成的事件稱(chēng)為復(fù)合事件.

對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)基本事件，我們可以用只含一個(gè)元素的單元素{}表示，其中與{}表示的基本事件一一對(duì)應(yīng).和所有基本事件相對(duì)應(yīng)的元素的全體組成的集合稱(chēng)為該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，通常記作Ω

，樣本空間中的元素稱(chēng)為樣本點(diǎn).四、事件的關(guān)系與運(yùn)算1.包含關(guān)系和相等關(guān)系:

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱(chēng)事件B包含事件A,記作AB。若AB且AB,即A=B,則稱(chēng)A與B相等ΩBA2．事件的并

由屬于A或者屬于B的所有樣本點(diǎn)組成的集合，稱(chēng)為A與B的并（或者和），記作或者A+B.顯然事件表示“事件A與B事件至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件.ΩAB3．事件的交由屬于同時(shí)A又屬于B的所有樣本點(diǎn)組成的集合，稱(chēng)為A與B的交（或者積），記作或者.顯然事件表示“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”這一事件.ΩAB4．事件的差由屬于A但不屬于B的所有樣本點(diǎn)組成的集合，稱(chēng)為A與B的差，記作.事件表示“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”這一事件.ΩAB5．對(duì)立事件樣本空間與A的差稱(chēng)為事件A的對(duì)立事件（或者逆事件），記作，事件表示“事件A不發(fā)生”.對(duì)立事件A和間的關(guān)系可以表示為：.ΩA6．互不相容事件如果在同一試驗(yàn)中，事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，則稱(chēng)事件A與事件B互不相容.記作.基本事件是互不相容的.ΩAB補(bǔ)充點(diǎn)補(bǔ)充點(diǎn)事件的并、交和互不相容事件可推廣到n個(gè)事件間的關(guān)系.現(xiàn)就互不相容事件敘述如下：在一次事件中，如果n個(gè)事件兩兩互不相容，則稱(chēng)是互不相容的事件組.如果互不相容的事件組滿足 ，則稱(chēng)事件組為一個(gè)劃分.可以驗(yàn)證集合的運(yùn)算率均適用于事件的運(yùn)算，即事件的運(yùn)算滿足下列關(guān)系式：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）分配律：（4）德莫根(Demorgan)公式：其中分配律和德莫根公式可以推廣到有限多個(gè)事件的情形.返回例子1例一個(gè)貨箱中裝有12只同類(lèi)型的產(chǎn)品，其中3只是一等品，9只是二等品，從其中隨機(jī)地抽取兩次，每次任取一只，表示第i次抽取的是一等品，試用表示下列事件：B={兩只都是一等品}C={兩只都是二等品}D={一只一等品，另一只是二等品}E={第二次抽取的是一等品}解題過(guò)程解題過(guò)程解：由題意，{第i次抽取的是一等品}，故

{第i次抽取的是二等品}例子2例從1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)，A={取得的數(shù)為4的約數(shù)}，B={取得的數(shù)為偶數(shù)}，C={取得的數(shù)不小于5}.試用集合表示下列事件：(1)(2)事件“A發(fā)生，C不發(fā)生”；事件“B,C至少有一個(gè)發(fā)生”的逆事件

解題過(guò)程例子2解題過(guò)程解設(shè)i表示基本事件{取得的數(shù)為i}所對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)，則樣本空間(1)(2)返回練習(xí)題1。指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？（1）某商店有男店員2人，女店員8人，任意抽調(diào)3人去做其他的工作，那么A={3個(gè)都是女店員},B={3個(gè)都是男店員}，C={至少有1個(gè)男店員}，D={至少有1個(gè)女店員}(2)一批產(chǎn)品中只有2件次品，現(xiàn)從中任取3件，則A={三件都是次品}，B={至少1件正品}，C={至多1件正品}，D={恰有2件次品和1件正品}練習(xí)題2練習(xí)題22。一個(gè)工人加工了4個(gè)零件，設(shè)表示第i個(gè)零件是合格品，試用表示下列事件：（1）沒(méi)有一個(gè)零件是不合格品；（2）至少有一個(gè)零件是不合格品；（3）只有一個(gè)零件是不合格品.3。A,B,C為一次試驗(yàn)中的三個(gè)事件，試用A,B,C表示下列事件：（1）A發(fā)生，B,C不發(fā)生；(2)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生；

(3)A,B,C至少有一個(gè)不發(fā)生；(4)A,B,C至多有一個(gè)發(fā)生.返回§1.2概率一、概率的定義1.概率的統(tǒng)計(jì)定義2.概率的古典定義3.概率的定義與簡(jiǎn)單計(jì)算二、概率的運(yùn)算公式

加法公式一、概率的定義1.概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同的條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)m稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻數(shù)；m與n的比值稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻率，記作一般地，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，這時(shí)就把p稱(chēng)為事件A發(fā)生的概率，簡(jiǎn)稱(chēng)事件A的概率，記作

上述事件的概率是用統(tǒng)計(jì)事件發(fā)生的頻率來(lái)確定的，故這個(gè)定義稱(chēng)為概率的統(tǒng)計(jì)定義.根據(jù)這個(gè)定義，通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率，這是求一個(gè)事件的概率的常用基本方法.返回2.概率的古典定義考慮下面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)：E1：投擲一顆均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，基本事件有6個(gè)，由骰子的“均勻性”可知，每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等.E2：一批產(chǎn)品有N個(gè)，要隨機(jī)抽取一個(gè)，檢測(cè)其等級(jí)，則N個(gè)產(chǎn)品被抽取的機(jī)會(huì)是相同的，每一次檢測(cè)的結(jié)果就是一個(gè)基本事件，故N個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.這兩個(gè)試驗(yàn)都具有以下特點(diǎn)：

(1)只有有限個(gè)基本事件

(2)每個(gè)基本事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性相同.

這類(lèi)隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為等可能概型，由于這種概型在概率論發(fā)展初期是主要研究對(duì)象，所以也稱(chēng)為古典概型.在古典概型中，若基本事件的總數(shù)為n，事件包含的基本事件數(shù)為m，則事件的概率定義為，這個(gè)定義稱(chēng)為概率的古典定義.返回3．概率的定義與簡(jiǎn)單計(jì)算與隨機(jī)試驗(yàn)相聯(lián)系的數(shù)量指標(biāo)，都具有下列共同的屬性：(1)(2)(3)為互不相容事件，則在數(shù)學(xué)上，刻劃隨機(jī)試驗(yàn)中事件A的發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，如果滿足上述三條性質(zhì)，就稱(chēng)為事件的概率.由上述三條基本性質(zhì)還可以推出：

返回二、概率的運(yùn)算公式加法公式由概率的性質(zhì)知道，若事件A和B互不相容，即則

ΩAB事件時(shí)，上式就不成立了.

ΩAB而有該公式稱(chēng)為概率的加法公式加法公式可推廣到有限個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生的情形，如三個(gè)事件的并的加法公式為：返回§1.3條件概率一、條件概率與乘法公式1.條件概率2.乘法公式二、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式1.全概率公式2.貝葉斯公式

補(bǔ)充點(diǎn)練習(xí)題返回一、條件概率與乘法公式一般地，把“在事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率”稱(chēng)為條件概率，記作，讀作“在條件B下，事件A的概率”.同理ΩAB1.條件概率返回2.乘法公式由條件概率的一般公式,得上述公式稱(chēng)為概率的乘法公式.概率的乘法公式可推廣到有限個(gè)事件交的情形.設(shè)有n個(gè)事件滿足則

當(dāng)n=3時(shí)返回二、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式1.全概率公式設(shè)是聯(lián)系于一隨機(jī)試驗(yàn)的完備事件組.任一事件可表示成

由前面已學(xué)公式得該公式稱(chēng)為全概率公式返回2.貝葉斯(Bayes)公式設(shè)是樣本空間的一個(gè)完備事件組,A是任一事件,且,則該公式稱(chēng)為貝葉斯公式.在使用該公式時(shí)往往先利用全概率公式求出返回補(bǔ)充點(diǎn)對(duì)于全概率公式和貝葉斯公式.可以直觀地進(jìn)行如下理解:把事件A看成“結(jié)果”,把看成導(dǎo)致這一結(jié)果的“原因”,把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”,把貝葉斯公式看成“由結(jié)果找原因”。兩正好相反.返回§1.4事件的獨(dú)立性1.事件的獨(dú)立性

2.N重貝努利試驗(yàn)

返回1.事件的獨(dú)立性一般地，設(shè)事件A,B是一隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件,且，若 ，則稱(chēng)事件B對(duì)事件A是獨(dú)立的，否則稱(chēng)為不獨(dú)立的.結(jié)論結(jié)論由定義可推出下列結(jié)論：(1)若事件A獨(dú)立于事件B，則事件B也獨(dú)立于事件A,即兩事件的獨(dú)立性是相互的.(2)若事件A與事件B相互獨(dú)立，則三對(duì)事件與，A與，與B也都是相互獨(dú)立的.(3)事件A與B相互獨(dú)立的充要條件是，兩事件相互獨(dú)立的直觀意義是一事件發(fā)生的概率與另一事件是否發(fā)生互不影響.推廣推廣事件的獨(dú)立性可推廣到有限個(gè)事件的情形:若事件組中的任意k個(gè)事件交的概率等于它們的概率積，則稱(chēng)事件組是相互獨(dú)立的，也就是說(shuō)任一事件的概率不受其他事件發(fā)生與否的影響.例如:三個(gè)事件A,B,C若滿足等式則稱(chēng)事件A,B,C是相互獨(dú)立的

注意點(diǎn)注意點(diǎn)事件組相互獨(dú)立，其中任意兩事件相互獨(dú)立；反之卻不一定正確.在實(shí)際問(wèn)題中，兩事件是否獨(dú)立，并不總是用定義或充要條件來(lái)檢驗(yàn)的，而可以根據(jù)具體情況來(lái)分析、判斷.只要事件之間沒(méi)有明顯的聯(lián)系，我們就可以認(rèn)為它們是相互獨(dú)立的.返回2.N重貝努利試驗(yàn)如果隨機(jī)試驗(yàn)只出現(xiàn)兩種結(jié)果,則稱(chēng)其為伯努里試驗(yàn)

.在相同的條件下,對(duì)同一試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次,如果每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響,則稱(chēng)這n次重復(fù)試驗(yàn)為n次獨(dú)立試驗(yàn).n次獨(dú)立的伯努里試驗(yàn)稱(chēng)為n重伯努里試驗(yàn).對(duì)于n重貝努利試驗(yàn),我們最關(guān)心的是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率定理定理在n重貝努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(),則事件A恰好發(fā)生k次的概率若記則,由于恰好是展開(kāi)式的k+1項(xiàng),所以稱(chēng)此公式為二項(xiàng)概率公式返回2.隨機(jī)變量及其概率分布§2.1離散型隨機(jī)變量§2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布

§2.1離散型隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量的概念2.離散型分布變量及其分布律3.0-1分布與二項(xiàng)分布

0-1分布

二項(xiàng)分布

泊松分布

練習(xí)題2.1

返回1.隨機(jī)變量的概念為便于用數(shù)學(xué)的形式來(lái)描述、解釋和論證隨機(jī)試驗(yàn)的某種規(guī)律性，我們需要按照研究的目的將試驗(yàn)中的基本事件與實(shí)數(shù)集建立某種聯(lián)系.例如:某人向一飛機(jī)射擊，觀察其是否擊中飛機(jī)，

則基本事件A={擊中},B={未擊中}構(gòu)成一個(gè)完備事件組.為了便于研究,我們引進(jìn)變量X,規(guī)定X取1,0分別對(duì)應(yīng)“擊中”,“未擊中”事件.從而對(duì)事件A,B的研究就轉(zhuǎn)化為對(duì)實(shí)數(shù)X的研究.定義定義一般地，按研究隨機(jī)試驗(yàn)的某種規(guī)律性要求，建立樣本空間Ω與實(shí)數(shù)集的某個(gè)子集的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，使每個(gè)基本事件都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng).與全體基本事件相對(duì)應(yīng)的數(shù)組成的集合記為M，用一個(gè)變量在M中（或在M的某個(gè)范圍內(nèi)）的取值來(lái)表示和變量的取值所對(duì)應(yīng)的基本事件組成的事件，我們把這樣的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，M稱(chēng)為隨機(jī)變量的取值范圍.隨機(jī)變量通常用X,Y,Z等表示.返回2.離散型分布變量及其分布律若隨機(jī)變量的取值可以一一列舉（有限個(gè)或無(wú)窮可列個(gè)）出來(lái)，則稱(chēng)這類(lèi)隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.對(duì)于離散型隨機(jī)變量,我們需要知道它的所有可能值及取每一個(gè)可能值的概率.

分布律分布律設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,可能取值為且則稱(chēng)為X的分布律(或分布列)分布律常用表格表示,這樣更為直觀.X

……P……性質(zhì)分布律性質(zhì)隨機(jī)變量的分布律具有下列性質(zhì)：(1)(2)返回反之，若一數(shù)列具有以上性質(zhì)，就可以看作為某一隨機(jī)變量的分布律0-1分布若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值0,1,且則稱(chēng)X服從0-1分布.X的分布律為:其中010-1分布常用于隨機(jī)試驗(yàn)只考慮兩種結(jié)果,比如拋硬幣,正面與反面;投籃,中與不中等等.返回二項(xiàng)分布一般地，在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，X表示在n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為其中則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為二項(xiàng)分布是一種常用的分布。泊松定理泊松定理設(shè)是常數(shù)，n是任意正整數(shù)，且則對(duì)于任意取定的非負(fù)整數(shù)k，有由泊松定理，我們可得，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，有近似公式注：在實(shí)際的計(jì)算中，當(dāng)時(shí)，計(jì)算用上述公式效果頗佳！其中返回泊松分布如果隨機(jī)變量的分布律為 ，則稱(chēng)X服從參數(shù)的泊松分布，記作.服從泊松分布的隨機(jī)變量X的概率值可在附錄的泊松分布表中查出.返回§2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)1。分布函數(shù)的概念

2。分布函數(shù)的性質(zhì)返回1。分布函數(shù)的概念設(shè)X為隨機(jī)變量，稱(chēng)函數(shù)為X的分布函數(shù)。注意：隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義適應(yīng)于任意的隨機(jī)變量。

離散型的分布函數(shù)離散型的分布函數(shù)由于，由概率的性質(zhì)知，即:其中求和是對(duì)所有滿足時(shí)相應(yīng)的概率求和返回分布函數(shù)的性質(zhì)(1)

是不減函數(shù),即對(duì)于任意的有即(4)右連續(xù),即已知X的分布函數(shù)F(x),我們可以得出下列事件的概率.結(jié)論結(jié)論(1)(2)(3)返回§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2。均勻分布與指數(shù)分布3。正態(tài)分布

分位數(shù)返回1。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度若對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，有則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱(chēng)f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度（或密度函數(shù)）。

連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點(diǎn)的概率連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點(diǎn)的概率對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，，有當(dāng)f(x)可積時(shí)，F(xiàn)(x)為連續(xù)函數(shù)，令則

即連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點(diǎn)的概率為零.性質(zhì)性質(zhì)（1）（2）（3）（4）設(shè)x為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則存在，且另有若(1)(2)兩個(gè)性質(zhì)符合就是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度注，性質(zhì)(3)離散型沒(méi)有幾何意義幾何意義如圖yx0abf(x)圖中陰影部分面積代表了該區(qū)域的概率。返回2。均勻分布與指數(shù)分布定義:若隨機(jī)變量X的概率密度為則稱(chēng)X服從區(qū)間上的均勻分布,簡(jiǎn)記為其分布函數(shù)為:直觀圖形幾何圖形如圖f(x)0xabF(x)0abx另有計(jì)算公式另有公式如果是的一個(gè)子區(qū)間（即），則有上式表明X在任一子區(qū)間取值的概率與區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，X在區(qū)間上的概率分布是均勻的，因此叫做均勻分布.使用這一公式計(jì)算均勻分布的概率很方便.返回指數(shù)分布定義:若隨機(jī)變量X的概率密度為其中為常數(shù),則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.簡(jiǎn)記為其分布函數(shù)為指數(shù)分布有著廣泛的應(yīng)用，常用來(lái)做各種“壽命”分布的近似，例如動(dòng)物的壽命，電話的通話時(shí)間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等，都通常假定服從指數(shù)分布.

返回3。正態(tài)分布定義:若隨機(jī)變量X的概率密度為其中為常數(shù)且，則稱(chēng)X服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記作.正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像稱(chēng)為正態(tài)曲線

幾何圖形幾何圖形如圖f(x)x0圖形特點(diǎn)及正態(tài)分布曲線的性質(zhì)(1)曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)(2)當(dāng)時(shí)，取到最大值(3)參數(shù)決定正態(tài)曲線的形狀，較大曲線扁平，較小曲線狹高.

分布函數(shù)分布函數(shù)設(shè)，則X的分布函數(shù)為特別地，當(dāng)時(shí)的正態(tài)分布，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。其密度函數(shù)為其分布函數(shù)為

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形如圖0圖形關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在取得最大值標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)(1)(2)計(jì)算公式計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的值可以直接查表得。一般的正態(tài)分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系，設(shè)分位數(shù)（臨界值）定義標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值記為，滿足

則稱(chēng)點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)（或臨界值）由，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求.返回§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布

2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布返回1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布設(shè)g(x)是一給定的連續(xù)函數(shù),稱(chēng)為隨機(jī)變量X的一個(gè)函數(shù),顯然Y也是一個(gè)隨機(jī)變量.當(dāng)X取值x時(shí),Y取值y=g(x).重點(diǎn)在于討論如何由已知的隨機(jī)變量X的概率分布,去求函數(shù)的概率分布.結(jié)論結(jié)論離散型隨機(jī)變量X的取值可列,則Y的取值也是可列的,因此Y也是個(gè)離散型隨機(jī)變量.但是中可能有相等的情況.當(dāng)有相等的情況時(shí),應(yīng)把相等的那些所對(duì)應(yīng)的概率相加,作為Y取值的概率.注：在最后所得分布律，按Y的各取值的自然順序重新排列一下返回2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為設(shè)是一嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)榍?。記為的反函?shù)，則的概率密度特別地，當(dāng)時(shí)返回3.多維隨機(jī)變量及其概率分布§3.1多維隨機(jī)變量的概念§3.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性§3.3兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

返回§3.1多維隨機(jī)變量的概念1。二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)2。二維離散型隨機(jī)變量

3。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度返回1。二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)定義n個(gè)隨機(jī)變量，構(gòu)成的整體稱(chēng)為一個(gè)n維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量，稱(chēng)為X的第i個(gè)分量。定義設(shè)為一個(gè)二維隨機(jī)變量，記稱(chēng)二元函數(shù)為X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)或稱(chēng)為的分布函數(shù)。續(xù)（續(xù)）二維隨機(jī)變量

的兩個(gè)分量X與Y各自的分布函數(shù)分別稱(chēng)為二維隨機(jī)變量關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)，記為與。邊緣分布函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系。

幾何圖形幾何圖形如圖xyoDD為分布函數(shù)在處的函數(shù)值D為以為頂點(diǎn)，位于該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形xy0矩形域?yàn)槁湓趨^(qū)域內(nèi)的概率。計(jì)算公式計(jì)算公式落在矩形域內(nèi)概率為分布函數(shù)的性質(zhì)(1)是變量x或y的不減函數(shù)(2)(3)關(guān)于x和關(guān)于y均右連續(xù)(4)對(duì)任意固定的，有返回2。二維離散型隨機(jī)變量定義若二維隨機(jī)變量只取有限多對(duì)或可列無(wú)窮多對(duì)，則稱(chēng)為二維離散隨機(jī)變量。設(shè)二維隨機(jī)變量的所有可能取值為，在各個(gè)可能取值的概率為：分布律性質(zhì)性質(zhì)

的分布律具有下列性質(zhì)：(1)(2)由的分布律可求得它的分布數(shù)，邊緣分布律邊緣分布律定義對(duì)于離散型隨機(jī)變量（X,Y），分量X或Y的分布律稱(chēng)為（X,Y）關(guān)于X或Y的邊緣分布律，記為或可由（X,Y）的分布律求出。

性質(zhì)性質(zhì)邊緣分布律具有下列性質(zhì)：（1）（2）返回3。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度定義：設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為若存在非負(fù)可積函數(shù)為，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y都有則稱(chēng)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱(chēng)為的概率密度函數(shù)或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)。性質(zhì)性質(zhì)按定義：概率密度函數(shù)有以下性質(zhì)：（1）（2）分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系若在處連續(xù)，則有概率計(jì)算公式概率計(jì)算公式如果已知的概率密度，則在平面區(qū)域D內(nèi)取值的概率為：幾何意義：隨機(jī)點(diǎn)落在平面區(qū)域D上的概率等于以平面區(qū)域D為底，以曲面為頂?shù)那斨w的體積。兩種重要的分布兩種重要的分布1。均勻分布

定義

2。二維正態(tài)分布

定義

連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布返回均勻分布定義設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S>0，如果二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為則稱(chēng)（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布（或稱(chēng)（X,Y）在D上服從均勻分布），記作

特殊情形特殊情形（1）D為矩形區(qū)域，此時(shí)（2）D為圓形區(qū)域，如（X,Y）在以原點(diǎn)為圓心，R為半徑的圓域上服從均勻分布，則（X,Y）的概率密度為

返回二維正態(tài)分布定義若二維隨機(jī)變量（X,Y）概率密度為：其中都是常數(shù)，且則稱(chēng)（X,Y）服從二維正態(tài)分布，記作返回連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）的邊緣分布定義：對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y），分量X或Y的概率密度稱(chēng)為（X,Y）關(guān)于X或Y的邊緣概率密度，簡(jiǎn)稱(chēng)邊緣密度，記為或。邊緣密度可由概率密度求出：

返回§3.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性1。兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性

定義2。二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性3。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性

小結(jié)論4。n維隨機(jī)變量

返回定義設(shè)，和分別是二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)和兩個(gè)邊緣分布函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y有則稱(chēng)X與Y相互獨(dú)立。該式（3.2.1）等價(jià)于任意的實(shí)數(shù)x,y有

（3.2.1）返回2。二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，其分布律為邊緣分布律為X與Y相互獨(dú)立的充要條件為，對(duì)一切i,j有

返回3。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f(x,y)，，分別為（X,Y）的關(guān)于X與Y的邊緣概率密度，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是：等式注：上式幾乎處處成立返回小結(jié)論一般情況下：聯(lián)合分布可確定邊緣分布，但是邊緣分布不能確定聯(lián)合分布；但是由隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義及充要條件可知：當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，聯(lián)合分布可由邊緣分布確定。另有：當(dāng)X與Y相互獨(dú)立，那么它們各自的函數(shù)也互相獨(dú)立返回4。n維隨機(jī)變量定義：設(shè)的分布函數(shù)為其概率密度為，則函數(shù)和分別稱(chēng)為關(guān)于的邊緣概率分布函數(shù)和邊緣概率密度。n維隨機(jī)變量相互獨(dú)立n維隨機(jī)變量相互獨(dú)立定義：若對(duì)于一切，有即則稱(chēng)是相互獨(dú)立的返回§3.3兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1。離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布2。兩個(gè)獨(dú)立連續(xù)型隨機(jī)變量之和的概率分布

返回2。兩個(gè)獨(dú)立連續(xù)型隨機(jī)變量之和的概率分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x,y),關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為,設(shè)X,Y相互獨(dú)立,求Z=X+Y的概率密度.因?yàn)閄,Y相互獨(dú)立,所以Z=X+Y的分布函數(shù)為:概率密度概率密度令得Z的概率密度為同理可得上兩式稱(chēng)為獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積公式.返回4.隨機(jī)變量的數(shù)字特征§4.1隨機(jī)變量的期望§4.2方差§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)返回§4.1隨機(jī)變量的期望1。離散型隨機(jī)變量的期望

幾個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望2。連續(xù)型隨機(jī)變量的期望

幾個(gè)重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3。二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望4。期望的性質(zhì)返回1。離散型隨機(jī)變量的期望定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（即收斂），則定義X的數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱(chēng)均值或期望）為X的取值可以是有限多個(gè)，也可以是可列多個(gè)幾個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1。兩點(diǎn)分布

X01P1－pp2。二項(xiàng)分布

X～B(n,p)3。泊松分布

X~P(λ)E(X)=pE(X)=npE(X)=λ返回離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為令Y＝g(X)，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為：返回2。連續(xù)型隨機(jī)變量的期望定義:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),若廣義積分絕對(duì)收斂,則稱(chēng)該積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱(chēng)期望或均值),記為

,即返回幾個(gè)重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.均勻分布2.指數(shù)分布3.正態(tài)分布

返回連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義:設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為

,又隨機(jī)變量,當(dāng)收斂時(shí),有返回3.二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望定理（1）若（X,Y）為離散型隨機(jī)變量，其分布律為，邊緣分布律為則續(xù)（2）續(xù)（2）（2）若（X,Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，，分別為（X,Y）概率密度與邊緣概率密度,則二維連續(xù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二維連續(xù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理：設(shè)g(X,Y)為連續(xù)函數(shù)，對(duì)于二維隨機(jī)變量（X,Y）的函數(shù)g(X,Y)（1）若（X,Y）為離散型隨機(jī)變量，級(jí)數(shù)收斂，則（2）若（X,Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，且積分收斂，則返回4。期望的性質(zhì)性質(zhì)1常數(shù)的期望等于這個(gè)常數(shù)。即（C為常數(shù)）性質(zhì)2常數(shù)與隨機(jī)變量X的乘積的期望等于該常數(shù)與隨機(jī)變量X的期望的乘積，即性質(zhì)3隨機(jī)變量和的期望等于隨機(jī)變量期望之和，即性質(zhì)續(xù)性質(zhì)續(xù)性質(zhì)3可推廣如下：類(lèi)似可推廣到n個(gè)隨機(jī)變量性質(zhì)4兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積，即若X,Y是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，則性質(zhì)4可推廣到n個(gè)隨機(jī)變量返回§4.2方差1。方差的概念2。常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差3。方差的性質(zhì)返回1。方差的概念定義：設(shè)隨機(jī)變量的期望存在，則稱(chēng)為隨機(jī)變量X的方差，記為D（X）即若X為離散型隨機(jī)變量，則若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱(chēng)為X的標(biāo)準(zhǔn)差或（均方差）

簡(jiǎn)便計(jì)算公式簡(jiǎn)便計(jì)算公式計(jì)算方差常用如下公式：若X為離散型隨機(jī)變量，則若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則返回2。常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差（1）0－1分布（2）二項(xiàng)分布（3）泊松分布（4）均勻分布（5）指數(shù)分布（6）正態(tài)分布?xì)w納表格返回3。方差的性質(zhì)性質(zhì)1常數(shù)的方差等于零；隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于隨機(jī)變量的方差。即性質(zhì)2常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的方差等于這個(gè)常數(shù)的平方與隨機(jī)變量方差的乘積。即性質(zhì)3兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差等于它們方差之和即性質(zhì)3可推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。返回§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1.協(xié)方差2.相關(guān)系數(shù)

3.矩、協(xié)方差矩陣返回1.協(xié)方差定義設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y),且E(X),E(Y)存在,如果E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,則稱(chēng)此值為X與Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),即

Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]離散型計(jì)算公式連續(xù)型計(jì)算公式另有計(jì)算公式計(jì)算公式有如下計(jì)算公式特別地,取X=Y時(shí)有協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì)（1）（2）（3）（4）若X,Y互相獨(dú)立，則反之若，則X,Y一定不互相獨(dú)立另需注意，是X與Y相互獨(dú)立的必要非充分條件。返回2.相關(guān)系數(shù)定義：若，稱(chēng)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記為即相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（1）（2）的充分必要條件是存在常數(shù)a,b使定義若相關(guān)系數(shù)則稱(chēng)X與Y不相關(guān)注：兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)隨機(jī)變量間線性聯(lián)系密切程度的度量。越接近1，X與Y之間的線性關(guān)系越密切。注：易得X與Y不相關(guān)的充要條件是。特別地：二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，不相關(guān)的充要條件是兩者互相獨(dú)立返回3.矩、協(xié)方差矩陣定義：設(shè)X為一隨機(jī)變量，k為正整數(shù)，如果存在，則稱(chēng)為X的k階原點(diǎn)矩，記為，即如果存在，則稱(chēng)為X的k階中心矩，記為，即顯然：一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望，二階中心矩就是方差。定義續(xù)定義續(xù)定義：設(shè)X,Y為隨機(jī)變量，若存在，則稱(chēng)它為X和Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，若存在，則稱(chēng)它為X和Y的k+l階混合中心矩。協(xié)方差Cov(X,Y)就是X,Y的二階混合中心矩二維協(xié)方差矩陣二維協(xié)方差矩陣定義：將二維隨機(jī)