多元函數(shù)極值

微積分(Ⅱ)§6.6

多元函數(shù)的極值1一﹑二元函數(shù)的極值定理1（極值存在的必要條件）若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)存在偏導(dǎo)數(shù)，且P0是極值點(diǎn)，則它必為函數(shù)的駐點(diǎn)，即反之，駐點(diǎn)不一定就是極值點(diǎn)。如：2雙曲拋物面（馬鞍面）:3在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，函數(shù)也可能取極值.如:定理2（極值存在的充分條件）若函數(shù)f(x,y)在U(P0)內(nèi)具有一階和二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足記4(3)當(dāng)B2-AC=0時(shí),不能判定

P0(x0,y0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn).(ⅱ)若A>0(或C>0),則P0(x0,y0)是

f(x,y)的極小值點(diǎn).(ⅰ)若A<0(或C<0),則P0(x0,y0)是

f(x,y)的極大值點(diǎn);(1)當(dāng)B2-AC<0時(shí),(2)當(dāng)B2-AC>0時(shí),則P0(x0,y0)

不是

f(x,y)的極值點(diǎn).5求函數(shù)極值的程序:(3)確定出B2-AC的符號(hào)，按定理2的結(jié)論判定f(x0,y0)是不是極值，是極大值還是極小值。(2)對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)P0(x0,y0)，計(jì)算出二階偏導(dǎo)數(shù)A,B,C;(1)求駐點(diǎn)：解方程組6練習(xí)求二元函數(shù)f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的極值.(09,數(shù)學(xué)三,9分)例5求下列二元函數(shù)的極值:

f(x,y)=x3－

y3

＋3x2＋3y2－9x填空題二元函數(shù)f(x,y)=3x+2y–xy+3的駐點(diǎn)為__________.(2,3)對(duì)此駐點(diǎn)，A=___,B=___,C=____,B2–AC=____.故它_____________________不是f(x,y)的極值點(diǎn).00-117最值的求法例6

求函數(shù)z=x2y(4-x-y)在直線x=0,y=0,x+y=6所圍成的三角形閉區(qū)域D上的最大值與最小值.DO668例7

某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，總收入R與兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量x,y的函數(shù)關(guān)系是R(x,y)=120x+140y-2x2-2xy-y2，總成本與兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量x,y的函數(shù)關(guān)系是c(x,y)=700+20x+60y.問該廠應(yīng)如何規(guī)定這兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，方可獲得最大利潤，最大利潤多少？9二﹑條件極值與拉格朗日乘數(shù)法1.條件極值的意義2.拉格朗日乘數(shù)法在約束條件

g(x,y)=0

(也稱約束方程)之下,求函數(shù)z=f(x,y)(通常稱為目標(biāo)函數(shù))的極值問題,有兩種方法:其一是轉(zhuǎn)化為無條件極值:從約束方程g(x,y)=0中解出y=φ(x),代入得z=f(x,φ(x)),這個(gè)一元函數(shù)的極值就是函10(1)

作輔助函數(shù)(稱拉格朗日函數(shù))L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ是待定常數(shù),稱為拉格朗日乘數(shù).

數(shù)

z=f(x,y)在約束條件

g(x,y)=0

下的條件極值.其二是拉格朗日乘數(shù)法,步驟如下:

(2)

求可能取極值的點(diǎn):解方程組11設(shè)法消去λ,解出x0和y0,則(x0,y0)就是可能取條件極值的點(diǎn).(3)

判別所求得的點(diǎn)(x0,y0)是否為極值點(diǎn).通常按問題的實(shí)際意義來判斷.若只有一個(gè)可能的極值點(diǎn)，而由問題本身知道極值一定存在,那么所求得的點(diǎn)就是條件極值點(diǎn).練習(xí)

周長為4的長方形的長x﹑寬y各為多少時(shí)面積最大?12推廣自變量多于兩個(gè)而約束條件多于一個(gè)的情形。如：u=f(x,y,z),φ(x,y,z)=0.解設(shè)長方體的長﹑寬﹑高分別為x,y,z,則約束條件為:xyz=V.而目標(biāo)函數(shù)為表面積S=2(xy+yz+xz).作拉格朗日函數(shù)例8用拉格朗日乘數(shù)法求解容量一定的具有最小表面積的長方體。13例10某公司的