2022-2023學(xué)年江蘇省常州市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年江蘇省常州市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(40題)1.函數(shù)z=x2-xy+y2+9x-6y+20有

A.極大值f(4,1)=63B.極大值f(0,0)=20C.極大值f(-4,1)=-1D.極小值f(-4,1)=-1

2.

3.設(shè)y=2x3，則dy=()

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

4.曲線y=x-3在點(diǎn)(1，1)處的切線斜率為()

A.-1B.-2C.-3D.-4

5.

6.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是

A.橢圓面B.圓錐面C.旋轉(zhuǎn)拋物面D.柱面

7.點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，“勻變速運(yùn)動(dòng)”指的是()。

A.aτ為常量

B.an為常量

C.為常矢量

D.為常矢量

8.下列函數(shù)在指定區(qū)間上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的是

A.

B.f(x)=(x-4)2，x∈[-2，4]

C.

D.f(x)=｜x｜，x∈[-1，1]

9.A.1/3B.1C.2D.3

10.

11.A.A.1B.2C.3D.4

12.

13.

14.若，則下列命題中正確的有()。A.

B.

C.

D.

15.

16.

17.設(shè)函數(shù)y=f(x)二階可導(dǎo)，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，則當(dāng)△x>0時(shí)，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

18.

19.

20.

21.設(shè)f(x)為連續(xù)的奇函數(shù)，則等于()．A.A.2af(x)

B.

C.0

D.f(a)-f(-a)

22.設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，則()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定為零

23.A.A.2B.1C.1/2D.0

24.

25.

26.二次積分等于()A.A.

B.

C.

D.

27.已知

則

=()。

A.

B.

C.

D.

28.下列等式中正確的是()。A.

B.

C.

D.

29.

30.A.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.無關(guān)條件31.設(shè)x2是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)=A.A.2x

B.x3

C.(1/3)x3+C

D.3x3+C

32.

33.

34.

35.設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，且，則f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.136.等于()。A.-1B.-1/2C.1/2D.1

37.

38.

39.

40.f(x)是可積的偶函數(shù)，則是()。A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶D.可奇可偶二、填空題(50題)41.42.不定積分=______．43.

44.

45.

46.

47.過點(diǎn)(1，-1，0)且與直線平行的直線方程為______。

48.

49.若函數(shù)f(x)=x-arctanx，則f'(x)=________.

50.

51.

52.

53.設(shè)f(x)=sin(lnx)，求f(x)=__________．

54.55.56.57.

58.59.為使函數(shù)y=arcsin(u＋2)與u=｜x｜-2構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，則x所屬區(qū)間應(yīng)為__________．60.61.62.

63.

64.65.66.設(shè)，則y'=________。67.

68.

69.

70.

71.

72.73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為______．83.84.

85.86.87.

88.

89.設(shè)區(qū)域D由y軸，y=x，y=1所圍成，則．

90.

三、計(jì)算題(20題)91.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量，則92.求微分方程的通解．93.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．

94.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

95.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

96.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．

97.

98.證明：99.

100.

101.求曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線方程．

102.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

103.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0．104.

105.

106.107.108.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù)．109.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線l的方程．110.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．四、解答題(10題)111.

112.設(shè)ex-ey=siny，求y’113.求由曲線y=3-x2與y=2x，y軸所圍成的平面圖形的面積及該封閉圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積．114.計(jì)算115.116.117.

118.

119.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d，問常數(shù)a，b，c滿足什么關(guān)系時(shí)，f(x)分別沒有極值、可能有一個(gè)極值、可能有兩個(gè)極值?

120.

五、高等數(shù)學(xué)(0題)121.求

的極值。

六、解答題(0題)122.

參考答案

1.D本題考查了函數(shù)的極值的知識(shí)點(diǎn)。

2.A解析：

3.B

4.C由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，若y=f(x)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處必定存在切線，且該切線的斜率為f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲線y=x-3在點(diǎn)(1，1)處的切線斜率為-3，故選C。

5.C

6.C

7.A

8.C

9.D解法1由于當(dāng)x一0時(shí)，sinax～ax，可知故選D．

解法2故選D．

10.A

11.A

12.A

13.C解析：

14.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為級(jí)數(shù)收斂性的定義。

15.A

16.C

17.B

18.B

19.C

20.B

21.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的對(duì)稱性．

由定積分的對(duì)稱性質(zhì)可知：若f(x)為[-a，a]上的連續(xù)的奇函數(shù)，則

可知應(yīng)選C．

22.A若點(diǎn)x0為f(x)的極值點(diǎn)，可能為兩種情形之一：(1)若f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，由極值的必要條件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在點(diǎn)x=0處取得極小值，但f(x)=|x|在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)，這表明在極值點(diǎn)處，函數(shù)可能不可導(dǎo)。故選A。

23.D

24.D

25.C

26.A本題考查的知識(shí)點(diǎn)為交換二次積分的積分次序．

由所給二次積分限可知積分區(qū)域D的不等式表達(dá)式為：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其圖形如圖1-1所示．

交換積分次序，D可以表示為

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知應(yīng)選A．

27.A

28.B

29.C

30.D

31.A由于x2為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，由原函數(shù)的定義可知f(x)=(x2)'=2x，故選A。

32.D

33.D

34.A

35.B由導(dǎo)數(shù)的定義可知

可知，故應(yīng)選B。

36.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的運(yùn)算。

故應(yīng)選C。

37.D

38.C

39.D

40.Bf(x)是可積的偶函數(shù)；設(shè)令t=-u,是奇函數(shù)。

41.

42.

；本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的換元積分法．

43.

44.0

45.ln2

46.x=2x=2解析：47.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為直線的方程和直線與直線的關(guān)系。由于兩條直線平行的充分必要條件為它們的方向向量平行，因此可取所求直線的方向向量為(2，1，-1)．由直線的點(diǎn)向式方程可知所求直線方程為

48.

49.x2/(1+x2)本題考查了導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式的知識(shí)點(diǎn)。

50.

51.2/3

52.

53.

54.F(sinx)+C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的換元法．

由于∫f(x)dx=F(x)+C，令u=sinx，則du=cosxdx，

55.

56.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為直線的方程和直線與直線的關(guān)系．

由于兩條直線平行的充分必要條件為它們的方向向量平行，因此可取所求直線的方向向量為(2，1，－1)．由直線的點(diǎn)向式方程可知所求直線方程為

57.本題考查了改變積分順序的知識(shí)點(diǎn)。

58.

59.[-1，1

60.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分運(yùn)算．

61.

62.

63.-exsiny

64.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的換元法．

解法1

解法2

令t＝1＋x2，則dt＝2xdx．

當(dāng)x＝1時(shí)，t＝2；當(dāng)x＝2時(shí)，t＝5．

這里的錯(cuò)誤在于進(jìn)行定積分變量替換，積分區(qū)間沒做變化．

65.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為隱函數(shù)的微分．

解法1將所給表達(dá)式兩端關(guān)于x求導(dǎo)，可得

從而

解法2將所給表達(dá)式兩端微分，

66.67.由可變上限積分求導(dǎo)公式可知

68.

69.

70.tanθ-cotθ+C

71.22解析：

72.

73.

74.

75.(12)

76.

77.

解析：

78.

解析：

79.y=f(0)80.

81.

82.(-2，2)；本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間．

由于所給級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)情形，

可知收斂半徑，收斂區(qū)間為(-2，2)．

83.84.1．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義．

由于f(1)=2，可知

85.0

86.

87.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為重要極限公式．

88.ee解析：89.1/2本題考查的知識(shí)點(diǎn)為計(jì)算二重積分．其積分區(qū)域如圖1-2陰影區(qū)域所示．

可利用二重積分的幾何意義或?qū)⒍胤e分化為二次積分解之．

解法1由二重積分的幾何意義可知表示積分區(qū)域D的面積，而區(qū)域D為等腰直角三角形，面積為1/2，因此．

解法2化為先對(duì)y積分，后對(duì)x積分的二次積分．

作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，沿y軸正向看，入口曲線為y=x，作為積分下限；出口曲線為y=1，作為積分上限，因此

x≤y≤1．

區(qū)域D在x軸上的投影最小值為x=0，最大值為x=1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化為先對(duì)x積分，后對(duì)Y積分的二次積分．

作平行于x軸的直線與區(qū)域D相交，沿x軸正向看，入口曲線為x=0，作為積分下限；出口曲線為x=y，作為積分上限，因此

0≤x≤y．

區(qū)域D在y軸上投影的最小值為y=0，最大值為y=1，因此

0≤y≤1．

可得知

90.dx91.由等價(jià)無窮小量的定義可知

92.93.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

注意

94.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

95.

96.

列表：

說明

97.

98.

99.

100.

101.曲線方程為，點(diǎn)(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

102.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％

103.

104.由一階線性微分方程通解公式有

105.

則

106.

107.

108.

109.

110.由二重積分物理意義知

111.

112.113.所給曲線圍成的平面圖形如圖1-3所示．

解法1利用定積分求平面圖形的面積．由于的解為x=1，y=2，可得

解法2利用二重積分求平面圖形面積．由于

的解為x=1，y=2，

求旋轉(zhuǎn)體體積與解法1同．本題考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)：利用定積分求平面圖形的面積；用定積分求繞坐