計(jì)算聲學(xué)第五章插值法

第五章插值法

在實(shí)際科學(xué)計(jì)算中常會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，由于函數(shù)的解析表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜不便計(jì)算，但是需要計(jì)算多個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值；或者函數(shù)的解析表達(dá)式未知，僅知道它在區(qū)間內(nèi)n+1個(gè)互異點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，需要構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)作為函數(shù)的近似表達(dá)式，使得這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為插值問(wèn)題，稱(chēng)為插值函數(shù)。如果插值函數(shù)類(lèi)是代數(shù)多項(xiàng)式，則相應(yīng)的插值問(wèn)題稱(chēng)為代數(shù)插值；如果是三角多項(xiàng)式，則相應(yīng)插值問(wèn)題稱(chēng)為三角插值。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值代數(shù)插值定義：設(shè)在區(qū)間上有定義，且在上的n+1個(gè)不同點(diǎn)的函數(shù)值為，如果存在一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式，其中為實(shí)數(shù)，使得成立，則稱(chēng)為函數(shù)的插值多項(xiàng)式，點(diǎn)稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn)，包含插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間稱(chēng)為插值區(qū)間，關(guān)系式稱(chēng)為插值條件。求插值多項(xiàng)式的問(wèn)題稱(chēng)為代數(shù)插值問(wèn)題。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值幾何意義：計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值

幾何意義為通過(guò)n+1個(gè)點(diǎn)做一條代數(shù)曲線(xiàn)，使其近似于曲線(xiàn)，利用上的點(diǎn)近似代替上的點(diǎn)。（用于對(duì)函數(shù)的離散數(shù)據(jù)建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型）余項(xiàng)：在區(qū)間上用近似，除了在插值節(jié)點(diǎn)處外，在區(qū)間其余點(diǎn)處一般都有誤差。令，則稱(chēng)為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)，它表示用近似時(shí)產(chǎn)生的截?cái)嗾`差。一般情況下，越小，近似程度越好。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值定理：在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)上滿(mǎn)足插值條件的次數(shù)不高于n次的插值多項(xiàng)式存在且唯一。證明：如果插值多項(xiàng)式的系數(shù)可以被唯一確定，則該多項(xiàng)式存在并且唯一。由插值條件，插值多項(xiàng)式中的系數(shù)滿(mǎn)足n+1階線(xiàn)性方程組計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值方程組中未知量的系數(shù)行列式為范德蒙行列式因?yàn)椴逯迭c(diǎn)互不相同，即，所以，方程組有唯一解，即插值多項(xiàng)式存在并且唯一。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值線(xiàn)性插值計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值分別為，用線(xiàn)性函數(shù)來(lái)近似代替，確定參數(shù)，使 則稱(chēng)線(xiàn)性函數(shù)為的線(xiàn)性插值函數(shù)。幾何意義：如圖所示，利用通過(guò)兩點(diǎn)和的直線(xiàn)去近似代替曲線(xiàn)。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值由直線(xiàn)方程的兩點(diǎn)式方程可求得的表達(dá)式為：記則都為的一次函數(shù)，并且具有下列性質(zhì)我們把具有這種性質(zhì)的函數(shù)稱(chēng)為線(xiàn)性插值基函數(shù)。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值線(xiàn)性插值函數(shù)用基函數(shù)可以表示為上式說(shuō)明，任何一個(gè)滿(mǎn)足插值條件的線(xiàn)性插值函數(shù)都可由線(xiàn)性插值基函數(shù)的一個(gè)線(xiàn)性組合來(lái)表示。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值定理：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)存在，是滿(mǎn)足插值條件的插值多項(xiàng)式，則對(duì)任何，插值余項(xiàng)（截?cái)嗾`差）為其中，且依賴(lài)于。如果，則截?cái)嗾`差限是計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值拋物線(xiàn)插值計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值

設(shè)已知在三個(gè)不同點(diǎn)上的值分別為，做一個(gè)二次插值多項(xiàng)式，使其滿(mǎn)足插值條件由于通過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)可做一條拋物線(xiàn)，所以稱(chēng)二次插值多項(xiàng)式為的拋物線(xiàn)插值函數(shù)。設(shè)二次插值多項(xiàng)式為（插值基函數(shù)的線(xiàn)性組合）計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值其中都是二次多項(xiàng)式，且滿(mǎn)足已知，即是的兩個(gè)零點(diǎn)，所以設(shè)其中為待定常數(shù)。由得到所以計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值同樣求得所以上式又稱(chēng)為的二次拉格朗日插值多項(xiàng)式。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值截?cái)嗾`差與截?cái)嗾`差限如果在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)存在，則用去近似的截?cái)嗾`差為其中，并且依賴(lài)于。如果，則截?cái)嗾`差限為計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值例：設(shè)，試分別應(yīng)用線(xiàn)性插值和拋物線(xiàn)插值公式計(jì)算的近似值（13.2287565553……）。解：取，則對(duì)應(yīng)的以為節(jié)點(diǎn)做線(xiàn)性插值以為節(jié)點(diǎn)做拋物線(xiàn)插值計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值由得到，所以計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值拉格朗日插值多項(xiàng)式設(shè)函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為，做一個(gè)n次插值多項(xiàng)式，并使在節(jié)點(diǎn)處滿(mǎn)足則n次插值基函數(shù)，就是在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿(mǎn)足條件的n次多項(xiàng)式。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得出n次插值基函數(shù)顯然滿(mǎn)足插值條件，所以上面插值多項(xiàng)式就稱(chēng)為n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。當(dāng)時(shí)，分別為線(xiàn)性插值多項(xiàng)式和二次插值多項(xiàng)式。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值羅爾定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，并且，則至少存在一點(diǎn)，使得。截?cái)嗾`差：如果在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)存在，是n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，則用去近似所產(chǎn)生的截?cái)嗾`差為其中且依賴(lài)于，。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值證明：由插值條件可以得到，即n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)是的零點(diǎn)，所以設(shè)

其中是與有關(guān)的待定函數(shù)。為了求得，對(duì)區(qū)間上異于的任意一點(diǎn)，作輔助函數(shù)計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值將看作是異于節(jié)點(diǎn)的一個(gè)固定點(diǎn)，則上式滿(mǎn)足（1），即在上有n+2個(gè)零點(diǎn)，分別為；（2）在內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù)，并且有由羅爾定理，在的兩個(gè)零點(diǎn)之間至少存在一個(gè)的零點(diǎn)，所以在內(nèi)至少有n+1個(gè)互異的零點(diǎn)。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，最后可以得到在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即所以由此得到計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值由于余項(xiàng)中含有因式如果插值點(diǎn)偏離插值節(jié)點(diǎn)比較遠(yuǎn)，則插值誤差會(huì)比較大。如果插值點(diǎn)位于插值區(qū)間內(nèi)，插值過(guò)程稱(chēng)為內(nèi)插，否則稱(chēng)為外推。根據(jù)余項(xiàng)定理，外推是不可靠的。另外余項(xiàng)公式中有高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，就要求足夠光滑否則誤差可能會(huì)比較大。代數(shù)多項(xiàng)式是任意光滑的，原則上只適用于逼近光滑性好的函數(shù)。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值例：已知在點(diǎn)的值由下表給出。試分別用線(xiàn)性插值與二次插值計(jì)算的近似值，并進(jìn)行誤差估計(jì)。解：取代入線(xiàn)性插值公式得1230.3678794410.1353352830.049787068計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值取代入二次插值公式得誤差估計(jì)：

計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值課后題：1、當(dāng)時(shí)，，求的二次插值多項(xiàng)式。2、已知函數(shù)的觀(guān)察值如下：試求其拉格朗日插值多項(xiàng)式。01230123230-1計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§2分段低次插值高次插值中的問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)，適當(dāng)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，會(huì)提高插值結(jié)果的準(zhǔn)確程度。但是，提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，插值多項(xiàng)式會(huì)變得復(fù)雜，計(jì)算量加大。并且高次插值多項(xiàng)式往往具有數(shù)值不穩(wěn)定的缺點(diǎn)，會(huì)產(chǎn)生高次插值不準(zhǔn)確的龍格現(xiàn)象。所以當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)數(shù)n+1較大，特別是插值區(qū)間也較大時(shí)，通常不采用高次插值，而采用分段低次插值。常用的有分段線(xiàn)性插值和分段拋物線(xiàn)插值。分段低次插值的優(yōu)點(diǎn)是公式簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，且有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并且避免了計(jì)算機(jī)上作高次乘冪時(shí)常遇到的上溢和下溢。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§2分段低次插值原因：(1)由拉格朗日插值多項(xiàng)式余項(xiàng)，當(dāng)差值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，的變化可能會(huì)很大，那么可能很大；特別是當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)比較分散、插值區(qū)間較大時(shí)，也比較大，這樣就造成了近似時(shí)的截?cái)嗾`差較大；(2)當(dāng)n增大時(shí)，拉格朗日插值多項(xiàng)式次數(shù)增加，計(jì)算量急劇增大，這樣就加大了計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差。

計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§2分段低次插值分段線(xiàn)性插值設(shè)在區(qū)間上有節(jié)點(diǎn)，函數(shù)在上述節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為，連接相鄰兩點(diǎn)，得到一條折線(xiàn)函數(shù)，如果滿(mǎn)足：（1）在區(qū)間上連續(xù)；（2）；（3）在每個(gè)子區(qū)間上是線(xiàn)性函數(shù)，則稱(chēng)折線(xiàn)函數(shù)為分段線(xiàn)性插值函數(shù)。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§2分段低次插值

在每個(gè)子區(qū)間上可以表示為

從幾何上講，分段線(xiàn)性插值就是用一條過(guò)n+1個(gè)點(diǎn)的折線(xiàn)來(lái)近似表示。在整個(gè)區(qū)間上用基函數(shù)來(lái)表示可以寫(xiě)為計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§2分段低次插值分段拋物線(xiàn)插值分段拋物線(xiàn)插值就是把區(qū)間分成若干個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上用拋物線(xiàn)去近似曲線(xiàn)，則用表示分段拋物線(xiàn)插值函數(shù)有下列性質(zhì)：(1)在區(qū)間上是連續(xù)函數(shù)；(2)；(3)在每個(gè)子區(qū)間上，是次數(shù)不超過(guò)二次的多項(xiàng)式計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§2分段低次插值插值點(diǎn)選擇：選擇插值點(diǎn)的原則是盡可能在插值點(diǎn)的鄰近。公式中i的取法歸結(jié)為計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式

拉格朗日插值法有一個(gè)缺點(diǎn)，當(dāng)有了新的數(shù)據(jù)，插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，插值多項(xiàng)式需要重新構(gòu)造和計(jì)算，之前的計(jì)算結(jié)果無(wú)法繼續(xù)利用。從構(gòu)造算法的一般原則來(lái)說(shuō)，應(yīng)設(shè)法充分利用已經(jīng)獲得和計(jì)算的數(shù)據(jù)信息。為了克服拉格朗日插值法的缺點(diǎn)，介紹牛頓插值多項(xiàng)式。它使用比較靈活，增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，只是在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加部分計(jì)算量，原來(lái)的計(jì)算結(jié)果仍可繼續(xù)利用，節(jié)約了計(jì)算時(shí)間。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式差商的定義

已知函數(shù)在n+1互異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值分別為，稱(chēng)為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的一階差商（平均變化率）。稱(chēng)為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的二階差商。

計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式

一般地，稱(chēng)為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的階差商。當(dāng)時(shí)稱(chēng)為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的零階差商，記為由于所以即差商是微商的離散形式。

計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式差商性質(zhì)：（1）函數(shù)關(guān)于節(jié)點(diǎn)的k階差商可以表示為函數(shù)值的線(xiàn)性組合，即式中，如果，則其在的導(dǎo)數(shù)為計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式（2）差商與其所含節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān)，即一般地，在k階差商中，任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序，其值不變。（3）設(shè)在包含互異節(jié)點(diǎn)的閉區(qū)間上有n階導(dǎo)數(shù)，則n階差商與n階導(dǎo)數(shù)之間有如下關(guān)系計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式差商計(jì)算：利用插商的遞推定義，差商的計(jì)算可列表計(jì)算，如下表所示計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式由高等代數(shù)理論可知，任何一個(gè)不高于n次的多項(xiàng)式，都可以表示成函數(shù)的線(xiàn)性組合。所以滿(mǎn)足插值條件的拉格朗日插值多項(xiàng)式又可以表示為式中為待定系數(shù)。稱(chēng)這種n次插值多項(xiàng)式為牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式，記作，即計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式由于滿(mǎn)足插值條件，即，所以由，得同樣可以求出其他系數(shù)。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式有是n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)于一般情況，設(shè)，則由差商定義計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式得到計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式將上式中第二式代入第一式式，得到式中可知是滿(mǎn)足插值條件的線(xiàn)性插值多項(xiàng)式。而為線(xiàn)性插值的余項(xiàng)。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式同樣，將第三式代入得到式中是滿(mǎn)足插值條件的二次插值多項(xiàng)式。而為二次插值的余項(xiàng)。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式類(lèi)似地將各式依次代入前式，最后可以得到其中為滿(mǎn)足插值條件的n次插值多項(xiàng)式，通常稱(chēng)其為n次牛頓插值多項(xiàng)式。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式與相比較，有而為牛頓型插值余項(xiàng)。

計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式

由于滿(mǎn)足插值條件的插值多項(xiàng)式存在且唯一，所以有如果在上有n+1階導(dǎo)數(shù)，則有即計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式容易看出，牛頓插值多項(xiàng)式具有遞推性，即記為具有節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式，則具有節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式為上式說(shuō)明，增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，只要在的基礎(chǔ)上，增加計(jì)算即可。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式例：已知一組觀(guān)察數(shù)據(jù)如表，構(gòu)造3次牛頓插值多項(xiàng)式。解：首先計(jì)算差商012312340-5-63一階差商二階差商三階差商102-5-53-6-1243951計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式將計(jì)算得到的差商代入公式得到整理得到計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式例：給出的函數(shù)表求四次牛頓插值多項(xiàng)式，由此求并估計(jì)誤差。解：選取最接近0.596的前5個(gè)節(jié)點(diǎn)，首先構(gòu)造差商表0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式一階差商二階差商三階差商四階差商五階差商0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330.324930.228630.03126-0.00012計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式

當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式未知或函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，常用牛頓插值多項(xiàng)式余項(xiàng)但由于公式中的n+1階差商的值與的值有關(guān)，因此不能準(zhǔn)確計(jì)算，只能對(duì)其做出一種估計(jì)。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式

當(dāng)n+1階差商變化不劇烈時(shí)，可用近似代替，即采用此法計(jì)算的誤差，則有截?cái)嗾`差很小，可用忽略不計(jì)。計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式例：某處海洋不同深度水溫如下表所示，試用牛頓插值公式求深度1000米處的水溫，并估計(jì)誤差。解：計(jì)算差商水深溫度

（m）46671495014221634

（oC）7.044.283.402.542.1304667.0417144.28-0.0111329503.40-0.0037290.00001529314222.54-0.0018220.000002693-0.416342.13-0.007934-0.000000163-0.0.893E-11計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式用三次牛頓插值多項(xiàng)式近似代替，得到計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§3差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式7、用拉格朗日插值和牛頓插值找經(jīng)過(guò)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式，并驗(yàn)證插值多項(xiàng)式的唯一性。8、利用函數(shù)表造出差商表，并利用牛頓插值公式計(jì)算在處的近似值（計(jì)算取5位小數(shù)）。1.6151.6341.7021.8281.9212.414502.464592.652713.030353.34066計(jì)算聲學(xué)第五章插值法§4差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式

在實(shí)際應(yīng)用中，常采用等距節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值計(jì)算，這時(shí)插值公式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。由于插值節(jié)點(diǎn)等距分布，被插值函數(shù)的平均變化率與自變量的區(qū)間無(wú)關(guān)，差商可用差分代替。設(shè)被插值函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)上的值已知，其中稱(chēng)為步長(zhǎng)，則分別稱(chēng)為被插值函數(shù)在處以為步長(zhǎng)的向前差分和向后差分，符號(hào)分別稱(chēng)為向前差分算子和向后差分算子。計(jì)算聲學(xué)第五