高階微分方程方程組

高階微分方程方程組教學(xué)要求（基本理論與方法）一階線性方程組的基本理論與解的性質(zhì)線性方程組的向量表示和存在唯一性齊次與非齊次線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)基解矩陣及常數(shù)變易公式

線性方程組微分方程的求解

exp(At)的定義與性質(zhì)

exp(At)的三種計(jì)算方法和兩種特例

常系數(shù)非齊次線性方程組的求解

齊次/非齊次線性方程組解的性質(zhì)和通解結(jié)構(gòu)解的性質(zhì)（疊加原理）；解的線性相關(guān)/無(wú)關(guān)性及判別

（Wronsky行列式）齊次與非齊次通解結(jié)構(gòu)（基本解組）基解矩陣及其性質(zhì)、常數(shù)變易公式基本概念：線性、齊次與非齊次、解（特解與通解）、初值問(wèn)題、二者關(guān)系、存在唯一性向量表示：向量（矩陣）函數(shù)及微積分、范數(shù)、向量序列與級(jí)數(shù)高階線性方程與方程組的基本概念與理論（與對(duì)比）矩陣指數(shù)與基解矩陣矩陣指數(shù)expA的定義與性質(zhì)基解矩陣表示基解矩陣的計(jì)算方法基解矩陣與特征值（向量）關(guān)系特征值（向量）方法若當(dāng)塊方法

遞推公式方法

高階(線性)微分方程的求解

常系數(shù)齊次線性方程（歐拉方程）的特征根法

常系數(shù)非齊次線性方程的比較系數(shù)法

一般非齊次線性方程的常數(shù)變易法一般高階（線性）方程的降解法*(了解)二階方程的冪級(jí)數(shù)法（Bessel方程）常系數(shù)齊次線性微分方程的通解---特征根法基本解組復(fù)解實(shí)值轉(zhuǎn)化歐拉方程的基本解組---變換特征方程基本解組非齊次常系數(shù)線性方程的特解----比較系數(shù)法類(lèi)型Ⅰ類(lèi)型II特解特解待定特解中的系數(shù)，將特解代入方程，比較方程兩端求出系數(shù)，從而得到特解（待定系數(shù)法?。﹏-k階方程n-1階方程n-1階方程并反復(fù)k次，得n-k階方程方程變換結(jié)果一般高階方程---降階法二階線性方程（已知非零解求另一非線性無(wú)關(guān)解）為齊次方程的基本解組，則通解：求一般非齊次線性方程的特解---常數(shù)變易法假設(shè)非齊次的某特解：冪級(jí)數(shù)解法

Bssel

方程的通解公式和Bessel函數(shù)二階線性方程----冪級(jí)數(shù)解法*齊次：基本解組非齊次：特解常系數(shù)齊次：特征根法常系數(shù)非齊次：比較系數(shù)法、常數(shù)變易法、降階法冪級(jí)數(shù)法*、分解法變系數(shù)方程（非齊次）：降階法、冪級(jí)數(shù)法*1計(jì)算特征值，n個(gè)無(wú)關(guān)的特征向量；（I）n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量情形2求解基解矩陣，求標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（實(shí)）；（2）求解子空間Uj并分解：（1）求A的特征值、特征向量（3）僅一個(gè)特征值利用公式(5.53);（4）（II）基解矩陣的計(jì)算方法---遞推法利用遞推法計(jì)算基解矩陣結(jié)論其中是下列初值問(wèn)題的解(III)基解矩陣的計(jì)算方法---遞推法練習(xí)§3.7

穩(wěn)定性問(wèn)題在研究許多實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時(shí)間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢(shì)。例如，在研究某頻危種群時(shí)，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會(huì)絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問(wèn)題。要解決這類(lèi)問(wèn)題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個(gè)與穩(wěn)定性有關(guān)的問(wèn)題。一般的微分方程或微分方程組可以寫(xiě)成：定義稱(chēng)微分方程或微分方程組為自治系統(tǒng)或動(dòng)力系統(tǒng)。（3.28）

若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱(chēng)點(diǎn)Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。例7本章第2節(jié)中的Logistic模型共有兩個(gè)平衡點(diǎn)：N=0和N=K，分別對(duì)應(yīng)微分方程的兩兩個(gè)特殊解。前者為No=0時(shí)的解而后者為No=K時(shí)的解。

當(dāng)No<K時(shí)，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當(dāng)No>K時(shí)，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱(chēng)為軌線）將趨于K。這說(shuō)明，平衡點(diǎn)N=0和N=K有著極大的區(qū)別。圖3-17

定義1自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標(biāo)的空間Rn。特別，當(dāng)n=2時(shí)，稱(chēng)相空間為相平面?？臻gRn的點(diǎn)集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱(chēng)為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱(chēng)為相圖。定義2設(shè)x0是（3.28）的平衡點(diǎn)，稱(chēng)：（1）x0是穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的ε>0，存在一個(gè)δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對(duì)所有的t都成立。（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過(guò)解析方法來(lái)討論，所用工具為以下一些定理。（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點(diǎn)N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)N=0則是不穩(wěn)定的。解析方法定理1設(shè)xo是微分方程的平衡點(diǎn)：若,則xo是漸近穩(wěn)定的若,則xo是漸近不穩(wěn)定的證由泰勒公式，當(dāng)x與xo充分接近時(shí)，有：由于xo是平衡點(diǎn)，故f(xo)=0。若，則當(dāng)x<xo時(shí)必有f(x)>0，從而x單增；當(dāng)x>xo時(shí)，又有f(x)<0，從而x單減。無(wú)論在哪種情況下都有x→xo，故xo是漸進(jìn)穩(wěn)定的。的情況可類(lèi)似加以討論。高階微分方程與高階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性討論較為復(fù)雜，大家有興趣可參閱微分方程定性理論。為了下兩節(jié)的需要，我們簡(jiǎn)單介紹一下兩階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性判別方法?？疾靸呻A微分方程組：（3.29）

令，作一坐標(biāo)平移，不妨仍用x記x’，則平衡點(diǎn)xo的穩(wěn)定性討論轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)的穩(wěn)定性討論了。將f(x1,x2)、g(x1,x2)在原點(diǎn)展開(kāi)，（3.29）又可寫(xiě)成:考察（3.29）的線性近似方程組:（3.30）其中：記λ1、λ2為A的特征值則λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，則，記。討論特征值與零點(diǎn)穩(wěn)定的關(guān)系（1）若△>0，可能出現(xiàn)以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定；當(dāng)p<0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定若q<0，λ1λ2<0

當(dāng)c1=0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定當(dāng)c1≠0時(shí),零點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)③q=0，此時(shí)λ1=p，λ2=0，零點(diǎn)不穩(wěn)定。（2）△=0，則λ1=λ2:

λ有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定當(dāng)p<0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定②如果λ只有一個(gè)特征向量當(dāng)p≥0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定（2）△<0，此時(shí)若a>0，零點(diǎn)穩(wěn)定若a=0，有零點(diǎn)為中心的周期解綜上所述：僅當(dāng)p<0且q>0時(shí)，（3.30）零點(diǎn)才是漸近穩(wěn)定