3 確定二次函數(shù)的表達(dá)式

3確定二次函數(shù)的表達(dá)式

第二章二次函數(shù)考場(chǎng)對(duì)接題型一用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)的表達(dá)式例題1一拋物線(xiàn)和拋物線(xiàn)y=-2x2的形狀、開(kāi)口方向完全相同,其頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,3),則該拋物線(xiàn)的表達(dá)式為_(kāi)________.第二章二次函數(shù)y=-2x2-4x+1第二章二次函數(shù)例題2已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-2),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,10),求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.第二章二次函數(shù)解∵二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-2),∴設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+1)2-2.∵圖像過(guò)點(diǎn)(1,10),將(1,10)代入上式,得10=a(1+1)2-2,解得a=3.∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1.第二章二次函數(shù)錦囊妙計(jì)頂點(diǎn)式的適用情形當(dāng)已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)或?qū)ΨQ(chēng)軸直線(xiàn)x=h時(shí),一般將其函數(shù)表達(dá)式設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0),這樣會(huì)使計(jì)算簡(jiǎn)便.第二章二次函數(shù)題型二用交點(diǎn)式確定二次函數(shù)的表達(dá)式及其應(yīng)用例題3[寧波中考]如圖2-3-2,已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0),B(3,0),且過(guò)點(diǎn)C(0,-3).(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)請(qǐng)你寫(xiě)出一種平移方法,使平移后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)落在直線(xiàn)y=-x上,并寫(xiě)出平移后拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.第二章二次函數(shù)第二章二次函數(shù)解

(1)由拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A(1,0),B(3,0),可設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-1)(x-3)(a≠0).把(0,-3)代入表達(dá)式,得3a=-3,解得a=-1.故拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=-(x-1)(x-3),即y=-x2

+4x-3.∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).(2)答案不唯一,如先將拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2,則平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),落在直線(xiàn)y=-x上.第二章二次函數(shù)錦囊妙計(jì)交點(diǎn)式的適用情形當(dāng)已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可將拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2),再把另一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,從而求出a的值,即可得到拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.第二章二次函數(shù)題型三用一般式確定二次函數(shù)的表達(dá)式及其應(yīng)用第二章二次函數(shù)例題4[濱州中考]如圖2-3-3所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)若M是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),求AM+OM的最小值.第二章二次函數(shù)解

(1)把A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+c,得解這個(gè)方程組,得所以?huà)佄锞€(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=-

x2+x.第二章二次函數(shù)(2)y=-x2+x=

-(x-1)2+,可得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1,并且對(duì)稱(chēng)軸垂直平分線(xiàn)段OB.如圖2-3-4所示,連接AB交直線(xiàn)x=1于點(diǎn)M,則此時(shí)AM+OM的值最小.過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N.在Rt△ABN中,AB=,因此AM+OM的最小值.錦囊妙計(jì)用一般式確定二次函數(shù)表達(dá)式的步驟(1)設(shè)：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0)；(2)列：根據(jù)題意列方程組；(3)解：解方程組；(4)定：確定二次函數(shù)的表達(dá)式.第二章二次函數(shù)題型四利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定其表達(dá)式例題5某二次函數(shù)的部分圖像如圖2-3-5所示,則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為(

).A．y=-x2+2x+3B．y=x2+2x+3C．y=-x2+2x-3D．y=-x2-2x+3第二章二次函數(shù)D第二章二次函數(shù)分析由圖像知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1,且過(guò)點(diǎn)(-3,0),(0,3),設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+1)2+k,將(-3,0),(0,3)代入,得解得則二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.故選D.例題6有一個(gè)二次函數(shù),當(dāng)x＜-1時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)x＞-1時(shí),y隨x的增大而減小,且當(dāng)x=-1時(shí),y=3,它的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0).求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.第二章二次函數(shù)第二章二次函數(shù)第二章二次函數(shù)解根據(jù)增減性可知二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1,而當(dāng)x=-1時(shí),y=3,故可知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3).設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+1)2+3.∵二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),將其坐標(biāo)代入表達(dá)式,得0=9a+3,解得a=.∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=(x+1)2+3=.錦囊妙計(jì)利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定表達(dá)式的方法(1)若已知圖像經(jīng)過(guò)的任意三點(diǎn)的坐標(biāo),常用一般式求解.(2)若已知圖像與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo),選用交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便.(3)若已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo),或?qū)ΨQ(chēng)軸和函數(shù)的最大(小)值,選用頂點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便.第二章二次函數(shù)題型五建立直角坐標(biāo)系,確定二次函數(shù)的表達(dá)式第二章二次函數(shù)例題7[南京中考]如圖2-3-6是拋物線(xiàn)形拱橋,P處有一照明燈,水面OA寬4m,從O,A兩處觀(guān)測(cè)點(diǎn)P,仰角分別為α,β,且tanα=

,tanβ=

,以O(shè)為原點(diǎn),OA所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若水面上升1m,則水面的寬變?yōu)槎嗌倜?取1.41,結(jié)果精確到0.1m)？第二章二次函數(shù)解

(1)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于點(diǎn)H,如圖2-3-7,設(shè)PH=3xm.在Rt△OHP中,∵tanα==,∴OH=6xm.在Rt△AHP中,∵tanβ==,∴AH=2xm.∴OA=OH+AH=8x=4,∴x=,∴OH=3m,PH=m,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,).(2)若水面上升1m后到達(dá)BC的位置,如圖2-3-7.設(shè)過(guò)點(diǎn)O(0,0),A(4,0)的拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=ax(x-4),∵點(diǎn)P(3,)在拋物線(xiàn)y=ax(x-4)上,∴3a(3-4)=,解得a=.第二章二次函數(shù)∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=x(x-4).當(dāng)y=1時(shí),x(x-4)=1，解得x1=2+，x2=2-，

∴BC=(2+

)-(2-

)=2≈2×1.41=2.82≈2.8(m).答：若水面上升1m,則水面的寬變?yōu)榧s2.8m.錦囊妙計(jì)建立直角坐標(biāo)系,確定二次函數(shù)表達(dá)式的步驟與技巧建立直角坐標(biāo)系,確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式.建立直角坐標(biāo)系時(shí)要注意,盡量做到點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的表達(dá)式易求得.第二章二次函數(shù)題型六二次函數(shù)表達(dá)式的確定及應(yīng)用第二章二次函數(shù)例題8某公園草坪的防護(hù)欄由100段形狀相同的拋物線(xiàn)形構(gòu)件組成.為了牢固起見(jiàn),每段護(hù)欄需要間距0.4m加設(shè)一根不銹鋼的支柱,防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部0.5m(如圖2-3-8所示),則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長(zhǎng)度至少為(

).A．50mB．100mC．160mD．200mC第二章二次函數(shù)分析如圖2-3-9所示,根據(jù)所建平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)可設(shè)該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+c(a≠0).由題意,得B(0,0.5),C(1,0).將B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+c(a≠0),解得a=-,c=,∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+.當(dāng)x=0.2時(shí),y=0.48；當(dāng)x=0.6時(shí),y=0.32.∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×(0.48+0.32)=1.6(m),∴這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長(zhǎng)度至少為1.6×100=160(m).第二章二次函數(shù)C例題9如圖2-3-10,排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球,將球從點(diǎn)O正上方2m的A處發(fā)出,把球看成點(diǎn),其運(yùn)動(dòng)的高度y(m)與運(yùn)動(dòng)的水平距離x(m)滿(mǎn)足表達(dá)式y(tǒng)=a(x-h)2+k．已知球與點(diǎn)O的水平距離為6m時(shí),達(dá)到最大高度2.6m,球網(wǎng)與點(diǎn)O的水平距離為9m,高度為2.43m,球場(chǎng)的邊界與點(diǎn)O的水平距離為18m,則下列說(shuō)法正確的是(

).A．球不能過(guò)網(wǎng)B．球能過(guò)網(wǎng)但不會(huì)出界C．球能過(guò)網(wǎng)并會(huì)出界D．無(wú)法確定第二章二次函數(shù)分析∵球與點(diǎn)O的水平距離為6m時(shí),達(dá)到最大高度2.6m,∴設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=a(x-6)2+2.6.∵拋物線(xiàn)y=a(x-6)2+2.6過(guò)點(diǎn)(0,2),∴2=a(0-6)2+2.6,解得a=-,故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=-(x-6)2+2.6.當(dāng)x=9時(shí),y=-×(9-6)2+2.6=2.45>2.