2023年高三診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)

本卷須知：1．本試卷分第一卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)填寫在答題紙上。2．本試卷總分值150分，考試用時(shí)120分鐘。答題全部在答題紙上完成，試卷上答題無效。第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1．集合，，那么A．B．C．D．2．復(fù)數(shù)〔是虛數(shù)單位〕的虛部是A．B．C．D．3．設(shè)，，且，夾角，那么A．B．C．D．4．從數(shù)字、、、、中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，那么這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為A．B．C．D．5．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè)，那么A．B．C．D．6．某幾何體的三視圖如下列圖，且該幾何體的體積是3，那么正視圖側(cè)視圖俯視圖正視圖中的的值是正視圖側(cè)視圖俯視圖A．2 B．C．D．3是否S=S*i輸出是否S=S*i輸出S結(jié)束開始i=i-1i=12,S=1A．B．C．D．8．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，，，那么∥是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件9．不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，假設(shè)直線與平面區(qū)域有公共點(diǎn)，那么的取值范圍為是A． B．C． D．10．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是曲線：上任意一點(diǎn)，是曲線在點(diǎn)處的切線，且交坐標(biāo)軸于,兩點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是A．的面積為定值 B．的面積有最小值為C．的面積有最大值為 D．的面積的取值范圍是11．拋物線：的焦點(diǎn)為，以為圓心的圓交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，假設(shè)四邊形是矩形，那么圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A．B．C．D．12．己知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，，那么不等式的解集為A．B．C．D．第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部。第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22～24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分。13．，，那么．14．橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，假設(shè)橢圓的離心率等于，且它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．15．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)為，數(shù)列為等比數(shù)列且，假設(shè)，那么．三、解答題：解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．〔本小題總分值12分〕在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，．〔Ⅰ〕求的大?。弧并颉臣僭O(shè)，求的取值范圍．18．〔本小題總分值12分〕ABCDA1B1C1D1如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，∥，,,頂點(diǎn)ABCDA1B1C1D1的射影恰為點(diǎn)．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)假設(shè)直線與直線所成的角為,求平面與平面所成角〔銳角〕的余弦函數(shù)值．19．〔本小題總分值12分〕為迎接2023年在蘭州舉行的“中國蘭州國際馬拉松賽〞，某單位在推介晚會(huì)中進(jìn)行嘉賓現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)．抽獎(jiǎng)盒中裝有大小相同的個(gè)小球，分別印有“蘭州馬拉松〞和“綠色金城行〞兩種標(biāo)志，搖勻后，規(guī)定參加者每次從盒中同時(shí)抽取兩個(gè)小球〔登記后放回并搖勻〕，假設(shè)抽到的兩個(gè)小球都印有“蘭州馬拉松〞即可中獎(jiǎng)，并停止抽獎(jiǎng),否那么繼續(xù)，但每位嘉賓最多抽取次．從盒中抽取兩個(gè)小球不都是“綠色金城行〞標(biāo)志的概率為．〔Ⅰ〕求盒中印有“蘭州馬拉松〞標(biāo)志的小球個(gè)數(shù)；〔Ⅱ〕用表示某位嘉賓抽獎(jiǎng)的次數(shù)，求的分布列和期望．20．〔本小題總分值12分〕雙曲線：的一條漸近線為，右焦點(diǎn)到直線的距離為．〔Ⅰ〕求雙曲線的方程；〔Ⅱ〕斜率為且在軸上的截距大于的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，，假設(shè)，證明：過、、三點(diǎn)的圓與軸相切．21．〔本小題總分值12分〕設(shè)函數(shù)．〔Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍；〔Ⅱ〕假設(shè),試比較當(dāng)時(shí)，與的大小；〔Ⅲ〕證明：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式成立．請(qǐng)從下面所給的22、23、24三題中選定一題作答，如果多答按所答第一題評(píng)分。22．〔本小題總分值10分〕選修4—1：幾何證明選講如圖,切⊙于點(diǎn),割線交⊙于、兩點(diǎn),的平分線和、分別交于點(diǎn)、．求證:ABEPCDABEPCD?O〔Ⅱ〕．23．〔本小題總分值10分〕選修4－4：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，〔為參數(shù)〕，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(Ⅰ)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到上點(diǎn)的距離的最小值．一、選擇題題號(hào)123456789101112答案DCDBDDBACAAB7.解析：由題意，S表示從12開始的逐漸減小的假設(shè)干個(gè)整數(shù)的乘積，由于12×11=132，故此循環(huán)體需要執(zhí)行兩次所以每次執(zhí)行后i的值依次為11，10,由于i的值為10時(shí)，就應(yīng)該退出循環(huán)，再考察四個(gè)選項(xiàng)，B符合題意11.解析：依題意，拋物線：的焦點(diǎn)為,∴圓的圓心坐標(biāo)為∵四邊形是矩形，且為直徑，為直徑，為圓的圓心∴點(diǎn)為該矩形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)到直線的距離為∴直線的方程為：∴∴圓的半徑∴圓的方程為：12.解析：∵為偶函數(shù)，∴的圖象關(guān)于對(duì)稱,∴的圖象關(guān)于對(duì)稱∴設(shè)〔〕,那么又∵，∴〔〕，∴函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減∵,而∴∴應(yīng)選B．二、填空題13.14.15.16.15．解析：函數(shù)，那么，令得，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象，過點(diǎn)〔0，－1〕作的切線，設(shè)切點(diǎn)為〔x0，y0〕，那么切線的斜率，切線方程為.切點(diǎn)在切線上，那么，又切點(diǎn)在曲線上，那么，即切點(diǎn)為〔1，0〕.切線方程為.再由直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，知直線位于兩直線和之間，其斜率2a滿足：0＜2a＜1，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.三、解答題17.解：〔Ⅰ〕∵，∴∴∵∴…………6分〔Ⅱ〕由正弦定理得：，∴，∴∵∴即：…………12分18.解：(Ⅰ)證明:連接,那么平面,∴在等腰梯形中,連接∵,∥∴∴平面∴…………6分(Ⅱ)解法一:∵∥∴∵∴在底面中作,連接,那么,所以為平面與平面所成角的一個(gè)平面角在中,,∴∴即平面與平面所成角(銳角)的余弦函數(shù)值為…………12分解法二:由(Ⅰ)知、、兩倆垂直，∵∥∴∴ABCDA1B1C1D1xyzABCDA1B1C1D1xyz所以，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，那么，，設(shè)平面的一個(gè)法向量由得可得平面的一個(gè)法向量．又為平面的一個(gè)法向量．因此所以平面和平面所成的角(銳角)的余弦值為.19.解〔Ⅰ〕設(shè)印有“綠色金城行〞的球有個(gè),同時(shí)抽兩球不都是“綠色金城行〞標(biāo)志為事件,那么同時(shí)抽取兩球都是“綠色金城行〞標(biāo)志的概率是由對(duì)立事件的概率:=即，解得…………6分〔Ⅱ〕由，兩種球各三個(gè)，可能取值分別為，，(或)那么的分布列為：所以．…………12分20.解：〔Ⅰ〕依題意有，∵∴∴，∴∴曲線的方程為……………6分〔Ⅱ〕設(shè)直線的方程為，那么，，的中點(diǎn)為由得∴，∵，即∴〔舍〕或∴，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為∵∴∴過、、三點(diǎn)的圓以點(diǎn)為圓心，為直徑∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為∴∵∴過、、三點(diǎn)的圓與軸相切……………12分21.解：〔Ⅰ〕∵又函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù).∴或在上恒成立假設(shè)在上恒成立,即函數(shù)是定義域上的單調(diào)地增函數(shù),那么在上恒成立,由此可得；假設(shè)在上恒成立,那么在上恒成立.即在上恒成立.∵在上沒有最小值∴不存在實(shí)數(shù)使在上恒成立.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.……………4分〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，函數(shù).令那么顯然，當(dāng)時(shí)，,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減又，所以，當(dāng)時(shí)，恒有,即恒成立.故當(dāng)時(shí)，有……………8分〔Ⅲ〕證法一:由〔Ⅱ〕可知()∴()∴()∴………12分證法二:設(shè)那么∵∴欲證只需證只需證由〔Ⅱ〕知即。所以原命題成立。方法三：數(shù)學(xué)歸納法證明：1、當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，原不等式成立。2、設(shè)當(dāng)時(shí)，原不等式成立，即那么當(dāng)時(shí)，左邊=只需證明即證即證由〔Ⅱ〕知即令，即有。所以當(dāng)時(shí)成立由1、2知，原不等式成立。22.證明:(Ⅰ)切⊙于點(diǎn),∵平分,…………5分(Ⅱ)∽同理∽,…………10分23.解：(Ⅰ)由曲線：得即：曲線的普通方程為：由曲線：得：即：曲