《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》同步練習(xí) 市賽一等獎(jiǎng)

《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》同步練習(xí)課時(shí)目標(biāo)1．掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)．2．掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn之間的關(guān)系．1．把a(bǔ)1＋a2＋…＋an叫數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以記作S16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．2．若{an}是等差數(shù)列，則Sn可以用首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an表示為Sn＝eq\f(na1＋an,2)；若首項(xiàng)為a1，公差為d，則Sn可以表示為Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d.3．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，且公差為eq\f(d,2).(2)Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S(3)設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，則eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).一、選擇題1．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于()A．13B．35C．49D．63答案C解析S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7a2＋a6,2)＝49.2．等差數(shù)列{an}中，S10＝4S5，則eq\f(a1,d)等于()\f(1,2)B．2\f(1,4)D．4答案A解析由題意得：10a1＋eq\f(1,2)×10×9d＝4(5a1＋eq\f(1,2)×5×4d)，∴10a1＋45d＝20a1＋40∴10a1＝5d，∴eq\f(a1,d)＝eq\f(1,2).3．已知等差數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9，且an<0，則S10為()A．－9B．－11C答案D解析由aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝eq\f(10a3＋a8,2)＝eq\f(10×－3,2)＝－15.4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36.則a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36答案B解析數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∵S3＝9，S6－S3＝27，則S9－S6＝45.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.5．在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為()A．765B．665C．763答案B解析∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋eq\f(1,2)×14×13×7＝665.6．一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，則該數(shù)列的公差是()A．3B．－3C．－2答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＋…＋a2n－1＝na1＋\f(nn－1,2)×2d＝90，,a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋\f(nn－1,2)×2d＝72，))得nd＝－18.又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.二、填空題7．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________.答案15解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則S3＝3a1＋eq\f(3×2,2)d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，S6＝6a1＋eq\f(6×5,2)d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，,2a1＋5d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝2.))故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.8．兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，則eq\f(a5,b5)的值是________．答案eq\f(65,12)解析eq\f(a5,b5)＝eq\f(9a1＋a9,9b1＋b9)＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(65,12).9．在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n的值為_(kāi)_______．答案10解析S奇＝eq\f(n＋1a1＋a2n＋1,2)＝165，S偶＝eq\f(na2＋a2n,2)＝150.∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴eq\f(n＋1,n)＝eq\f(165,150)＝eq\f(11,10)，∴n＝10.10．等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S答案210解析方法一在等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S∴30,70，S3m∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3方法二在等差數(shù)列中，eq\f(Sm,m)，eq\f(S2m,2m)，eq\f(S3m,3m)成等差數(shù)列，∴eq\f(2S2m,2m)＝eq\f(Sm,m)＋eq\f(S3m,3m).即S3m＝3(S2m－S三、解答題11．在等差數(shù)列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝a1＋n－1d，,Sn＝na1＋\f(nn－1,2)d，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2n－1＝11，,na1＋\f(nn－1,2)×2＝35，))解方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝5,a1＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝7，,a1＝－1.))12．設(shè){an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n項(xiàng)和，求Tn.解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d，∵S7＝7，S15＝75，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a1＋21d＝7,15a1＋105d＝75))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝1,a1＋7d＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2,d＝1))，∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(1,2)(n－1)d＝－2＋eq\f(1,2)(n－1)，∵eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－2，公差為eq\f(1,2)，∴Tn＝n×(－2)＋eq\f(nn－1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)n2－eq\f(9,4)n.能力提升13．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為()A．9B．10C答案B解析鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個(gè)．∴鋼管總數(shù)為：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).當(dāng)n＝19時(shí)，S19＝190.當(dāng)n＝20時(shí)，S20＝210>200.∴n＝19時(shí)，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根．14．已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，則使得eq\f(an,bn)為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A．2B．3C答案D解析eq\f(an,bn)＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(14n＋38,2n＋2)＝eq\f(7n＋19,n＋1)＝eq\f(7n＋1＋12,n＋1)＝7＋eq\f(12,n＋1)，∴n＝1,2,3,5,11.1．等差數(shù)