小波變換及其應(yīng)用信號(hào)與信息處理領(lǐng)域新技術(shù)講座

信號(hào)時(shí)頻分析的重要性：時(shí)間和頻率是描述信號(hào)的兩個(gè)最重要的物理量。信號(hào)的時(shí)域和頻域之間具有緊密的聯(lián)系。1

對(duì)于各種信號(hào)，可以有不同的分類方法，如確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)、周期信號(hào)與非周期信號(hào)、連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)、平穩(wěn)信號(hào)與非平穩(wěn)信號(hào)等。所謂信號(hào)分析就是在時(shí)(間)域或變換域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分析處理的過程。信號(hào)分析的最直接的方法就是在時(shí)域內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，其突出特點(diǎn)是方法簡(jiǎn)單、物理概念明確。然而，對(duì)于某些信號(hào)在時(shí)域很難分析、或特征不明顯，需要進(jìn)行某種變換，典型的方法是Fourier變換，即在變換域進(jìn)行分析。在信號(hào)變換域分析中，變換的目的就是尋求對(duì)信號(hào)的另外一種表示，使得比較復(fù)雜、特征不明顯的信號(hào)在變換域更加明顯，利于分析。Fourier變換及其反變換建立了時(shí)域信號(hào)和頻域譜(變換域)的一對(duì)一關(guān)系，時(shí)域和頻域構(gòu)成了兩種不同的分析信號(hào)方法。信號(hào)時(shí)域和頻域分析可以截然分開是以信號(hào)的頻率特性時(shí)不變或統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)為前提條件的。

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實(shí)際中的許多信號(hào)往往都表現(xiàn)出非平穩(wěn)性，在這種情況下，時(shí)、頻兩域的分析便不能截然分開，而這種不完全可分性會(huì)使得Fourier變換無能為力。另外Fourier變換在時(shí)域中沒有任何分辨率，即)(ωF在任何有限頻段上的信息均不足以刻畫任意小范圍內(nèi)的，也就是說經(jīng)典的Fourier變換分析法在理論與實(shí)際應(yīng)用中都受到一定的限制。

34FT在信號(hào)處理中的局限性用傅立葉變換提取信號(hào)的頻譜需要利用信號(hào)的全部時(shí)域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時(shí)間的變化信號(hào)頻率成分的變化情況。56在不少實(shí)際問題中，我們關(guān)心的是信號(hào)在局部范圍中的特征,例如：在音樂信號(hào)中人們關(guān)心的是什么時(shí)刻演奏什么樣的音符；對(duì)地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波；圖像識(shí)別中的邊緣檢測(cè)關(guān)心的是信號(hào)突變部分的位置，即紋理結(jié)構(gòu)。這些FT不能完成，需要引入時(shí)頻局部化分析7短時(shí)Fourier變換若是窗函數(shù)，則短時(shí)Fourier變換定義為短時(shí)Fourier變換也叫窗口Fourier變換短時(shí)FT是說明時(shí)頻局部化分析思想的很好例子8相空間是指以“時(shí)間”為橫坐標(biāo)，“頻域”為縱坐標(biāo)的歐氏空間，而相空間中的有限區(qū)域被稱為窗口，沿時(shí)間軸的一段區(qū)間被稱為時(shí)間窗，沿頻率軸的一段區(qū)間被稱為頻率窗。910實(shí)際中信號(hào)號(hào)分析的要要求：信號(hào)高頻部部分對(duì)應(yīng)時(shí)時(shí)域中的快快變成分，，如陡峭的的前沿、后后沿、尖脈脈沖等，分分析時(shí)對(duì)時(shí)時(shí)域分辨率率要求高，，對(duì)頻域分分辨率要求求低。信號(hào)低頻成成分對(duì)應(yīng)時(shí)時(shí)域中的慢慢變成分，，分析對(duì)時(shí)時(shí)域分辨率率要求低，，對(duì)頻域分分辨率要求求高。因此，短時(shí)Fourier變換不能敏感地反映信號(hào)的突變，不能很好地刻畫信息。11小波(wavelet)分析發(fā)展歷歷史1807年年Fourier提出傅里葉葉分析，，1822年發(fā)表表“熱傳傳導(dǎo)解析理理論”論文文1910年年Haar提出最簡(jiǎn)單單的小波1980年年Morlet首先提出平平移伸縮的的小波公式式，用于地地質(zhì)勘探。。1985年年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交交小波基””，此后形形成小波研研究的高潮潮。1988年年Mallat提出的多分分辨度分析析理論（MRA），，統(tǒng)一了語音音識(shí)別中的的鏡向?yàn)V波波，子帶編編碼，圖象象處理中的的金字塔法法等幾個(gè)不不相關(guān)的領(lǐng)領(lǐng)域。12小波的特點(diǎn)點(diǎn)和發(fā)展“小波分析析”是分分析原始信信號(hào)各種變變化的特性性，進(jìn)一步步用于數(shù)據(jù)據(jù)壓縮、噪噪聲去除、、特征選擇擇等。例如歌唱信信號(hào)：是高高音還是低低音，發(fā)聲聲時(shí)間長(zhǎng)短短、起伏、、旋律等。。從平穩(wěn)的的波形發(fā)現(xiàn)現(xiàn)突變的尖尖峰。小波波分析是利利用多種““小波基基函數(shù)”對(duì)對(duì)“原原始信號(hào)””進(jìn)行分分解。小波波變變換換及及時(shí)時(shí)頻頻分分析析的的目目的的就就是是根根據(jù)據(jù)實(shí)實(shí)際際非非穩(wěn)穩(wěn)定定信信號(hào)號(hào)的的分分析析特特點(diǎn)點(diǎn)，，結(jié)結(jié)合合信信號(hào)號(hào)的的時(shí)時(shí)、、頻頻特特性性，，對(duì)對(duì)其其信信號(hào)號(hào)進(jìn)進(jìn)行行時(shí)時(shí)頻頻分分析析，，以以達(dá)達(dá)到到最最佳佳的的分分析析效效果果。。13小波波的的時(shí)時(shí)間間和和頻頻率率特特性性運(yùn)用用小小波波基基，，可可以以提提取取信信號(hào)號(hào)中中的的““指指定定時(shí)時(shí)間間””和和““指指定定頻頻率率””的的變變化化。。時(shí)間間：：提提取取信信號(hào)號(hào)中中““指指定定時(shí)時(shí)間間””（（時(shí)時(shí)間間A或時(shí)時(shí)間間B））的變變化化。。顧顧名名思思義義，，小小波波在在某某時(shí)時(shí)間間發(fā)發(fā)生生的的小小的的波波動(dòng)動(dòng)。。頻率率：：提提取取信信號(hào)號(hào)中中時(shí)時(shí)間間A的比比較較慢慢速速變變化化，，稱稱較較低低頻頻率率成成分分；；而而提提取取信信號(hào)號(hào)中中時(shí)時(shí)間間B的比比較較快快速速變變化化，，稱稱較較高高頻頻率率成成分分。。時(shí)間間A時(shí)間間B14小波波基基表表示示發(fā)發(fā)生生的的時(shí)時(shí)間間和和頻頻率率“時(shí)時(shí)頻頻局局域域性性””圖圖解解：：Fourier變換換的的基基（（上上））小小波波變變換換基基（（中中））和時(shí)時(shí)間間采采樣樣基基（（下下））的的比比較較傅里里葉葉變換換(Fourier)基小波波基基時(shí)間間采采樣樣基基15小波波的的3個(gè)個(gè)特特點(diǎn)點(diǎn)小波波變變換換，，既既具具有有頻頻率率分分析析的的性性質(zhì)質(zhì)，，又又能能表表示示發(fā)發(fā)生生的的時(shí)時(shí)間間。。有有利利于于分分析析確確定定時(shí)時(shí)間間發(fā)發(fā)生生的的現(xiàn)現(xiàn)象象。。（（傅傅里里葉葉變換換只只具有有頻頻率率分分析析的的性性質(zhì)質(zhì)））小波波變變換換的的多多分分辨辨度度的的變變換換，，有有利利于于各各分分辨辨度度不不同同特特征征的的提提取?。ǎ▓D圖象象壓壓縮縮，，邊邊緣緣抽抽取取，，噪噪聲聲過過濾濾等等））小波波變變換換比比快快速速Fourier變換換還還要要快快一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)量量級(jí)級(jí)。。信號(hào)號(hào)長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為M時(shí)，，F(xiàn)ourier變換換（左左））和小波波變變換換（（右右））計(jì)計(jì)算算復(fù)復(fù)雜雜性性分分別別如如下下公公式式：：16連續(xù)續(xù)小小波波函函數(shù)數(shù)定定義義：：設(shè)，，則則下下面面的的函函數(shù)數(shù)族族叫小波波分分析析或連續(xù)續(xù)小小波波，叫叫基本本小小波波或小波波。若若是是窗窗函函數(shù)數(shù)，，就就叫叫為為窗窗口口小小波波函數(shù)數(shù)，，一一般般我我們們恒恒假假定定為為窗窗口口小小波波函函數(shù)數(shù)。。171819連續(xù)續(xù)小小波波函函數(shù)數(shù)窗窗口口的的““變變焦焦””特特性性:當(dāng)a變小小時(shí)時(shí)，，時(shí)時(shí)域域觀觀察察范范圍圍變變窄窄，，但但頻頻率率觀觀察察的的范范圍圍變變寬寬，，且且觀觀察察的的中中心心頻頻率率向向高高頻頻處處移移動(dòng)動(dòng)；；當(dāng)a變大大時(shí)時(shí)，，時(shí)時(shí)域域觀觀察察范范圍圍變變寬寬，，頻頻域域的的觀觀察察范范圍圍變變窄窄，，且且分分析析的的中中心心頻頻率率向向低低頻頻處處移移動(dòng)動(dòng).20多分分辨辨分分析析1988年年Mallat提出出的的多多分分辨辨度度分分析析理理論論，，統(tǒng)統(tǒng)一一了了幾幾個(gè)個(gè)不不相相關(guān)關(guān)的的領(lǐng)領(lǐng)域域：：包包括括語語音音識(shí)識(shí)別別中中的的鏡鏡向向?yàn)V濾波波，，圖圖象象處處理理中中的的金金字字塔塔方方法法，，地地震震分分析析中中短短時(shí)時(shí)波波形形處處理理等等。。當(dāng)在在某某一一個(gè)個(gè)分分辨辨度度檢檢測(cè)測(cè)不不到到的的現(xiàn)現(xiàn)象象，，在在另另一一個(gè)個(gè)分分辨辨度度卻卻很很容容易易觀觀察察處處理理。。例例如如：：21多分分辨辨分分析析22小波波分分解解和和小波波基基小波基D小波基A原始信號(hào)小波系數(shù)wd小波系數(shù)wa正變變換換：：原原始始信信號(hào)號(hào)在在小小波波基基上上，，獲獲得得““小小波波系系數(shù)數(shù)””分分量量反變變換換：：所所有有““小小波波分分解解””合合成成原原始始信信號(hào)號(hào)例如如：：小小波波分分解解a=小小波波系系數(shù)數(shù)wa×小波波基基A23Daubechies小波波24Coiflets小波波2526小波波除除噪噪算算法法傳統(tǒng)統(tǒng)的的建建立立在在付付氏氏變變換換基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上的的濾濾波波方方法法在在提提高高信信噪噪比比和和提提高高分分辨辨率率之之間間存存在在矛矛盾盾。。低低通通濾濾波波器器雖雖然然能能通通過過平平滑滑抑抑制制噪噪音音，，但但同同時(shí)時(shí)也也會(huì)會(huì)使使信信號(hào)號(hào)的的邊邊沿沿模模糊糊。。高高通通濾濾波波器器可可以以使使邊邊沿沿更更加加陡陡峭峭，，但但背背景景噪噪音音同同時(shí)時(shí)被被加加強(qiáng)強(qiáng)。。與與之之相相比比基基于于小小波波變變換換的的多多分分辨辨分分析析有有明明顯顯的的優(yōu)優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)。?；谟谛⌒〔úㄗ冏儞Q換分分析析的的多多分分辨辨分分析析即即相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)信信號(hào)號(hào)進(jìn)進(jìn)行行低低通通和和高高通通濾濾波波，，可可將將信信號(hào)號(hào)分分解解為為位位于于不不同同頻頻帶帶和和時(shí)時(shí)段段內(nèi)內(nèi)的的各各個(gè)個(gè)成成分分。。因因此此，，通過過Mallat算法法將將信信號(hào)號(hào)分分解解后后，，就就可可根根據(jù)據(jù)先先驗(yàn)驗(yàn)知知識(shí)識(shí)，，引引入入門門限限來來作作為為甄甄別別受受到到噪噪聲聲污污染染的的小小波波系系數(shù)數(shù)。。將將等等于于和和小小于于門門限限的的小小波波系系數(shù)數(shù)認(rèn)認(rèn)為為由由噪噪聲聲產(chǎn)產(chǎn)生生，，置置其其為為零零而而舍舍去去。。對(duì)對(duì)于于大大于于門門限限的的小小波波系系數(shù)數(shù),即認(rèn)認(rèn)為為是是含含有有用用信信號(hào)號(hào)成成分分，，給給予予保保留留。。再再由由Mallat重構(gòu)構(gòu)算算法法根根據(jù)據(jù)形形成成新新的的信信號(hào)號(hào)成成分分序序列列來來重重建建信信號(hào)號(hào),從而而即即獲獲得得濾濾除除噪噪聲聲后后的的信信號(hào)號(hào)，，又又不不致致于于引引起起重重建建結(jié)結(jié)果果的的明明顯顯失失真真。。這就就是是非非線線性性小小波波方方法法用用于于從從噪噪聲聲中中恢恢復(fù)復(fù)信信號(hào)號(hào)的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)。。要要用用小小波波方方法法很很好好地地實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)信信噪噪分分離離，，關(guān)關(guān)鍵鍵的的問問題題是是如如何何設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)出出好好的的門門限限。。27圖Donoho噪聲聲抑抑制制信信號(hào)號(hào)28小波波函函數(shù)數(shù)(bior2.2)分解解濾濾波波器器系系數(shù)數(shù)如如下下：：h0(-2,-1,0,1,2)={0，0，0.3536，0.7071，0.3536}；h1(-2,-1,0,1,2)={0.1768，0.3536，-1.0607，0.3536，0.1768}。小波波函函數(shù)數(shù)(bior2.2)重構(gòu)構(gòu)濾濾波波器器系系數(shù)數(shù)如如下下：：g0(-2,-1,0,1,2)={-0.1768，0.3536，1.0607，0.3536，-0.1768}；g1(-2,-1,0,1,2)={0，0.3536，-0.7071，0.3536，0}。含噪噪音音的的心心電電信信號(hào)號(hào)小小波波分分解解2930信號(hào)號(hào)突突變變點(diǎn)點(diǎn)的的小小波波檢檢測(cè)測(cè)原原理理在信信號(hào)號(hào)的的自自動(dòng)動(dòng)分分析析與與識(shí)識(shí)別別的的過過程程中中，，很很難難根根據(jù)據(jù)原原始始觀觀察察數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)給給出出直直接接解解釋釋，，故故總總要要提提取取它它的的某某些些特特征征來來表表征征它它。。提提取取何何種種特特征征需需要要根根據(jù)據(jù)信信號(hào)號(hào)特特點(diǎn)點(diǎn)和和分分析析目目的的決決定定，，但但也也不不排排斥斥提提取取一一些些具具有有共共性性的的特特征征，，如如信信號(hào)號(hào)的的過過零零點(diǎn)點(diǎn)、、極極值值點(diǎn)點(diǎn)以以及及過過零零間間隔隔等等。。信號(hào)的急劇變變化處常常是是分析特性的的關(guān)鍵點(diǎn)，例如心電圖中中的QRS波群。由信號(hào)號(hào)的小波變換換的奇異點(diǎn)(如過零點(diǎn)、極極值點(diǎn)等)來表征信號(hào)(特別是信號(hào)的的突變或瞬態(tài)態(tài)特征)是小波變換引引人注意的應(yīng)應(yīng)用領(lǐng)域。31對(duì)于信號(hào)奇異異性檢測(cè)來說說，小波變換換最重要的應(yīng)應(yīng)用就是用模模極大值定位位奇異點(diǎn)．第一，從直觀觀角度，小波波變換的實(shí)質(zhì)質(zhì)就是一種度度量波形相似似程度的方法法．信號(hào)與小小波越相似，，則小波系數(shù)數(shù)越大．這也也就可理解為為出現(xiàn)了小波波變換的模極極大值．因?yàn)闉楫?dāng)信號(hào)出現(xiàn)現(xiàn)奇異點(diǎn)時(shí)，，或是間斷點(diǎn)點(diǎn)，或是一階階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)續(xù)點(diǎn)，其在各各個(gè)尺度下都都將必然出現(xiàn)現(xiàn)大的小波系系數(shù)．從而可可以定位奇異異點(diǎn)！第二個(gè)方面從從小波的取法法來看，當(dāng)小小波取為光滑滑函數(shù)一階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)時(shí)，從公公式可以推導(dǎo)導(dǎo)出小波變換換將出現(xiàn)模極極大值點(diǎn)或是是過零點(diǎn)．也也就是模極大大值檢測(cè)和零零交叉檢測(cè)。。第三個(gè)方面小小波變換能夠夠通過多尺度度分析提取信信號(hào)的奇異點(diǎn)點(diǎn)?；驹砝硎钱?dāng)信號(hào)在在奇異點(diǎn)附近近的Lipschitz指數(shù)a>0時(shí)，其小波變變換的模極大大值隨尺度的的增大而增大大;當(dāng)a<0時(shí)，則隨尺度度的增大而減減小。噪聲對(duì)對(duì)應(yīng)的Lipschitz指數(shù)小于0,而信號(hào)邊沿對(duì)對(duì)應(yīng)的Lipschitz指數(shù)大于或等等于0,因此，利用小小波變換可以以區(qū)分噪聲和和信號(hào)邊沿，，有效地檢測(cè)測(cè)出強(qiáng)嗓聲背背景下的信號(hào)號(hào)邊沿(緩變或突變)。32333435小波分析的應(yīng)用小波變換用于于圖象壓縮有有良好的效果果，已形成圖圖象壓縮的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)如JPEG2000。視頻壓縮標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)H.264、MPEG4等。新一代通信系系統(tǒng)OFDMA等。36小波變換用于于圖象特征抽抽取第1級(jí)斜線細(xì)節(jié)第1級(jí)水平細(xì)節(jié)第1級(jí)垂直細(xì)節(jié)水平細(xì)節(jié)近似圖象垂直細(xì)節(jié)斜線細(xì)節(jié)37第1級(jí)L1斜線細(xì)節(jié)第1級(jí)L1水平細(xì)節(jié)第1級(jí)L1垂直細(xì)節(jié)第2級(jí)L2細(xì)節(jié)近似圖象第3級(jí)L3小波系數(shù)分級(jí)級(jí)方塊表示法法38第3級(jí)L3分辨率第2級(jí)L2分辨率第1級(jí)L1分辨率小波系數(shù)分級(jí)級(jí)樹形表示法法39小波變換用于于圖象壓縮采用小波進(jìn)行壓縮。作作“小波變換”后后，統(tǒng)計(jì)特性有改改善，消除行和列之之間的相關(guān)關(guān)關(guān)系。有損壓縮：根根據(jù)視覺原理理，不同分辨辨率小波系數(shù)數(shù)進(jìn)行比特分分配。然后轉(zhuǎn)換到一維作熵編碼，如算算術(shù)編碼或霍霍夫曼編碼。無損壓縮：40小波變換用于于圖象壓縮第3級(jí)L3水平、斜線、、垂直細(xì)節(jié)第2級(jí)L2水平、斜線、、垂直細(xì)節(jié)第1級(jí)L1水平、斜線、、垂直細(xì)節(jié)兩閾值線之間間的直方圖被被去除（有損損壓縮）41小波變