離散型隨機變量的期望與方差

關于離散型隨機變量的期望與方差第一頁，共六十五頁，2022年，8月28日回歸課本1.一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布列為則稱Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…為ξ的數(shù)學期望或平均值、均值，數(shù)學期望又簡稱為期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…第二頁，共六十五頁，2022年，8月28日第三頁，共六十五頁，2022年，8月28日3．如果離散型隨機變量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn，…且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn，…，設Eξ是隨機變量ξ的期望，那么把Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做隨機變量ξ的均方差，簡稱方差．Dξ的算術平方根叫做隨機變量ξ的標準差，記作σξ.隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．其中標準差與隨機變量本身有相同的單位．第四頁，共六十五頁，2022年，8月28日點評：當ξ的所有可能取值為x1，x2，…，xn這n個值時，若p1＝p2＝…＝pn＝，則x1，x2，…，xn的方差就是我們初中學過的方差．因此，現(xiàn)在學的方差是對初中學過的方差作了進一步拓展．第五頁，共六十五頁，2022年，8月28日第六頁，共六十五頁，2022年，8月28日考點陪練1.下面說法中正確的是(

)A．離散型隨機變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值B．離散型隨機變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平C．離散型隨機變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平D．離散型隨機變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值答案：C第七頁，共六十五頁，2022年，8月28日2．設ξ是隨機變量，a、b是非零常數(shù)，則下列等式中正確的是(

)A．D(aξ＋b)＝a2Dξ＋b

B．E(aξ)＝a2EξC．D(aξ)＝a2Dξ D．E(aξ＋b)＝aEξ解析：由公式D(aξ＋b)＝a2Dξ知C項正確．答案：C第八頁，共六十五頁，2022年，8月28日3．(2011·福建福州質檢)已知某一隨機變量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝6.3，則a的值為(

)A.5 B．6C．7 D．8解析：由分布列性質知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3∴a＝7.故選C.答案：Cξ4a9P0.50.1b第九頁，共六十五頁，2022年，8月28日4．已知隨機變量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，則Dη等于(

)A．0 B．1C．2 D．4解析：由ξ＝2η＋3得Dξ＝4Dη，而Dξ＝4，Dη＝1.故選B.答案：B第十頁，共六十五頁，2022年，8月28日答案：A第十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日類型一求離散型隨機變量的期望解題準備：求離散型隨機變量的期望，一般分兩個步驟：①列出離散型隨機變量的分布列；②利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…，求出期望值．【典例1】

(2011·福州市高中畢業(yè)班綜合測試卷)口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標有數(shù)字1，三張標有數(shù)字2，兩張標有數(shù)字3，第一次從口袋里任意抽取一張，放回口袋后第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為ξ.(1)ξ為何值時，其發(fā)生的概率最大？說明理由．(2)求隨機變量ξ的期望Eξ.第十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日第十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日[點評]

本題主要考查某事件發(fā)生概率的求法，以及離散型隨機變量分布列的數(shù)學期望的求法．問題(1)，對ξ的取值做到不重不漏，這是學生容易出錯的地方．利用好計數(shù)原理和排列、組合數(shù)公式，求事件發(fā)生的概率，問題(2)比較容易，用好離散型隨機變量分布列的數(shù)學期望公式即可．第十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日探究1：某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試．已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率為，科目B每次考試成績合格的概率為.假設各次考試成績合格與否均互不影響．(1)求他不需要補考就可獲得證書的概率；(2)在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學期望Eξ.第十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日解析：設“科目A第一次考試合格”為事件A1，“科目A補考合格”為事件A2；“科目B第一次考試合格”為事件B1，“科目B補考合格”為事件B2.(1)不需要補考就獲得證書的事件為A1·B1，注意到A1與B1相互獨立．第十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日第十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日第十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日類型二離散型隨機變量的方差解題準備：求離散型隨機變量ξ的期望與方差的方法．(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每個值的概率；(3)寫出ξ的分布列；(4)由期望的定義求Eξ；(5)由方差的定義求Dξ.第十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日【典例2】編號1,2,3的三位學生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的個數(shù)是ξ.(1)求隨機變量ξ的概率分布；(2)求隨機變量ξ的數(shù)學期望和方差．[分析]

(1)隨機變量ξ的意義表示對號入座的學生個數(shù)；它的取值只有0、1或3，若2人對號入座第3人必對號入座，所以ξ＝2不存在．由排列知識與等可能事件概率公式易求分布列．(2)直接用隨機變量的數(shù)學期望和方差計算公式即可．第二十頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日[點評]

本題是研究對號入座學生個數(shù)為離散型隨機變量的概率分布列、期望、方差問題，關鍵是分析對號入座學生個數(shù)的情況，以及每種取值下事件所包含的結果數(shù)，基本事件的總數(shù)．若問題推廣為錯位入座的學生個數(shù)．其變量ξ的概率分布列、期望、方差也可用類似方法解決．第二十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日探究2：甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η，且ξ與η的分布列為求：(1)a，b的值；(2)計算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲乙的技術狀況．：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3第二十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日解析：(1)由概率分布的性質：a＋0.1＋0.6＝1，解得a＝0.3，同理b＝0.4.(2)由(1)知，隨機變量ξ與η的分布列分別為：ξ123P0.30.10.6η123P0.30.40.3第二十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日則Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3；Dξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81.Eη＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2；Dη＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6；所以Eξ＞Eη，Dξ＞Dη說明甲平均得分高，但不如乙穩(wěn)定．

第二十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日類型三期望和方差性質的應用解題準備：隨機變量的有關知識屬于應用數(shù)學的范疇，在經濟以及其他社會領域應用廣泛，這更加突出了“數(shù)學來源于社會，又應用于社會”的原則．用離散型隨機變量的知識分析和解決實際問題的題目逐步成為高考的熱點，復習時應予以高度重視．第二十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日【典例3】一名博彩者，放6個白球和6個紅球在一個袋子中，定下規(guī)則：凡愿意摸彩者，每人交1元錢作為“手續(xù)費”，然后可以一次從袋中摸出5個球，中彩情況如下表：摸5個球中彩發(fā)放產品有5個白球1個帽子(價值20元)恰有4個白球1張賀卡(價值2元)恰有3個白球紀念品(價值0.5元)其他同樂一次(無任何獎品)第二十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日試計算：(1)摸一次能獲得20元獎品的概率；(2)按摸10000次統(tǒng)計，這個人能否賺錢？如果賺錢，求出凈賺多少錢？(精確到1元)[分析]

在一次摸球中，博彩者獲得的收入是不確定的，故可將其作為一個隨機變量，他能否賺錢，就看該隨機變量的期望是否大于0.第二十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日[點評]

本例屬于隨機變量期望的應用問題，解題關鍵是正確地設出隨機變量，由于就一次摸球而言，這個人的收入情況是不確定的，有－19元，－1元，0.5元，1元四種可能，故可將其設為隨機變量，然后通過計算這個隨機變量的期望值來判斷他是否賺錢．即期望值反映的是隨機變量的平均取值情況，它是比較兩隨機變量平均水平的最重要依據(jù)．第三十頁，共六十五頁，2022年，8月28日第三十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日第三種方案：李師傅的妻子認為：投入股市、基金均有風險，應該將10萬元全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款年利率為4%，存款利息稅率為5%.針對以上三種投資方案，請你為李師傅家選擇一種合理的理財方案，并說明理由．第三十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日若按方案二執(zhí)行，設收益為η萬元，則其分布列為：第三十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日由上知Dξ＞Dη.這說明雖然方案一、二收益相等，但方案二更穩(wěn)妥．所以，建議李師傅選擇方案二投資較為合理．

第三十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日快速解題技法據(jù)氣象臺預報，某三座城市A、B、C,10月1日這天下雨的概率分別為0.4、0.5、0.6，且每個城市下與不下雨互不影響．設ξ表示下雨的城市數(shù)與不下雨的城市數(shù)的差的絕對值．(1)求ξ的分布列及數(shù)學期望；(2)設“函數(shù)f(x)＝x2－3ξx＋1在區(qū)間[2，＋∞)上單調遞增”為事件A，求P(A)．第三十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日第三十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日其分布列為：ξ13P0.760.24第三十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日第三十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日上方

x＝μx＝μ1

μ

第三十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日越小

越大

第四十頁，共六十五頁，2022年，8月28日N(u，σ2)

0.6826

0.9544

0.9974

第四十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日第四十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日0.8

第四十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日第四十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日A

第四十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日B

第四十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日A

第四十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日第四十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日第四十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日第五十頁，共六十五頁，2022年，8月28日第五十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日第五十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日第五十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日第