三大抽樣分布

§5.4三大抽樣分布1精品ppt本次課教學(xué)目的：掌握三大抽樣分布的構(gòu)造性定義并熟悉一些重要結(jié)論重點難點:

三大抽樣分布的構(gòu)造及其抽樣分布一些重要結(jié)論教學(xué)基本內(nèi)容及其時間分配三大抽樣分布的構(gòu)造性定義——————30分鐘定理及其三個推論以及證明——————70分鐘根據(jù)本節(jié)課的特點所采取的教學(xué)方法和手段:啟發(fā)式講授，圖文結(jié)合加深對三大分布的印象2精品ppt引言有許多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有廣泛的應(yīng)用，這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，他們被稱為統(tǒng)計中的“三大抽樣分布”.若設(shè)是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個相互獨立的樣本，則此三個統(tǒng)計量的構(gòu)造及其抽樣分布如表5.4.1所示.3精品ppt4精品ppt5.4.1分布(卡方分布)問題：如何確定的分布？5精品ppt圖像：密度函數(shù)的圖像是一個只取非負(fù)值的偏態(tài)分布

數(shù)字特征：6精品ppt7精品ppt8精品ppt9精品ppt當(dāng)隨機(jī)變量～時，對給定的，稱滿足的是自由度為n的卡方分布的分位數(shù).10精品ppt11精品ppt5.4.2F分布其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度.定義5.4.2

設(shè)獨立，則稱的分布是自由度為m與n的F分布,記為問題：如何確定的分布？首先，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

第二步，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

12精品ppt首先，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

13精品pptZ的密度函數(shù)為

14精品ppt第二步，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

這就是自由度為m與n的F分布的密度函數(shù)。）

15精品ppt16精品ppt17精品ppt18精品ppt19精品ppt有F分布的構(gòu)造知，若F~F(m,n),則有1/F~F(n,m),故對給定，

20精品ppt例5.4.1若取m=10,n=5,

=0.05,那么從附表5上查得21精品ppt5.4.3t分布定義5.4.3設(shè)隨機(jī)變量獨立且則稱的分布為自由度為n的t分布，記為

問題：如何確定的分布？由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的對稱性知，從而t與-t有相同分布。

22精品ppt所以在上式兩邊同時關(guān)于y求導(dǎo)得t分布的密度函數(shù)為：這就是自由度為ｎ的ｔ分布的密度函數(shù)。

23精品pptｔ分布的密度函數(shù)的圖象是一個關(guān)于縱軸對稱的分布

與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些，尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。24精品ppt25精品ppt26精品ppt●自由度為1的ｔ分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，它的均值不存在；●ｎ>1時,ｔ分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0?！瘢?lt;1時,ｔ分布的方差存在，且為ｎ/(ｎ-2)；●當(dāng)自由度較大時，ｔ分布可以用Ｎ(0,1)分布近似(見下頁圖)27精品ppt28精品pptN(0，1)和t(4)的尾部概率比較c=2c=2.5c=3c=3.5X~N(0,1)0.04550.01240.00270.000465X~t(4)0.11610.06680.03990.024929精品ppt當(dāng)隨機(jī)變量時稱滿足的是自由度為ｎ的ｔ分布的1-ａ分位數(shù)。由于ｔ分布的密度函數(shù)關(guān)于0對稱，故其分位數(shù)間有如下關(guān)系譬如。那么從附表4上查到可以從附表4中查到。譬如ｎ=10,ａ=0.05,分位數(shù)30精品ppt31精品ppt32精品ppt5.4.4一些重要結(jié)論的樣本，其樣本定理5.4.1設(shè)是來自正態(tài)總體均值和樣本方差分別為和則有（1）與（2）（3）相互獨立；33精品ppt證明記，則有取一個n維正交矩陣A，其第一行的每一個元素均為,如34精品ppt令Y=AX，則由多維正態(tài)分布的性質(zhì)知Y仍服從n維正態(tài)分布，其均值和方差分別為由此，且都服從正態(tài)的各個分量相互獨立，分布，其方差均為,而均值不完全相同，35精品ppt這證明了結(jié)論（1）

這證明了結(jié)論（2）

這證明了結(jié)論（3）

36精品ppt推論5.4.1在定理5.4.1的記號下，有將5.4.4左端改寫為由于分子是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，分母的根號里是自由度為n-1的t變量除以它的自由度，且分子與分母相互獨立，由t分布定義可知，t~t（n-1），推論證完。證明由定理5.4.1（2）可以推出37精品ppt

推論5.4.2設(shè)是來自的樣本，是來自的樣本且此兩樣本相互獨立，記其中則有特別，若，則

38精品ppt證明:由兩樣本獨立可知，與相互獨立且由F分布定義可知F~F（m-1，n-1）39精品ppt推論5.4.3在推論5.4.2的記號下，設(shè),并記則40精品ppt證明由與獨立由定理5.4.1知，獨