三垂線定理及逆定理

三垂線定理及逆定理教師:劉中寧1精品ppt一、復(fù)習(xí)引入：1、什么叫平面的斜線、垂線,什么叫射影？aAPoα

PO是平面α的斜線,O為斜足;

PA是平面α的垂線,A為垂足;

AO是PO在平面α內(nèi)的射影.三垂線定理2精品pptaAPoα二、新課學(xué)習(xí):2.如果aα,a⊥AO，思考a與PO的關(guān)系如何？你能否由此得出一般的規(guī)律?∪3精品pptPaAoα三垂線定理已知:

PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α內(nèi)的射影，且aα,a⊥AO求證：a⊥PO∪

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。4精品ppt已知:

PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α內(nèi)的射影，且aα

，a⊥AO求證：a⊥PO∪PaAoα證明：線面垂直定義判定定理線面垂直定義線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直三垂線定理①PA⊥αaα∪PA⊥aAO⊥a②PO平面PAO∪a⊥PO③a⊥平面PAO5精品ppt三垂線定理：PaAoα提問:

若將條件a⊥AO與結(jié)論中a⊥PO交換位置是否還成立？

線射垂直線斜垂直三垂線定理已知:PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α內(nèi)的射影，且aα，a⊥AO求證：a⊥PO∪

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的垂直，那么它也和這條垂直。射影斜線6精品ppt

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條垂直，那么它也和這條斜線的垂直。PaAoα已知:PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α內(nèi)的射影，且aα，a⊥PO求證：a⊥AO∪斜線射影三垂線定理證明:PA⊥αaα∪①②PA⊥aPO⊥aa⊥AOa⊥平面PAOAO平面PAO∪③7精品ppt

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。三垂線逆定理：線斜垂直線射垂直已知:PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α內(nèi)的射影，且aα，a⊥PO求證：a⊥AO∪PaAoα三垂線定理8精品ppt

(1)、三垂線定理及逆定理描述的是PA(垂線)與α(平面)、AO(射影)與a(直線)

、PO(斜線)與

a(直線)之間的垂直關(guān)系;

(2)、a與PO可以相交，也可以異面;

(3)、三垂線定理實(shí)質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理;逆定理是平面內(nèi)一條直線和斜線的射影的垂直的判定定理.三垂線定理使用三垂線定理及逆定理還應(yīng)注意的問題…αPAOadcb9精品ppt三、例題分析：

例1、判定下列命題是否正確?

(1)若b是平面α的斜線、直線a垂直于b在平面α內(nèi)的射影，則b⊥a。()

(2)若b是平面α的斜線、平面α內(nèi)的直線a垂直于b在平面α內(nèi)的射影，則b⊥a。()×

√三垂線定理仔細(xì)想一想…10精品ppt例2.如圖；PA⊥面ABC，AB是圓O的直徑,C是圓O上的任一點(diǎn)（異于A、B兩點(diǎn)).則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)

三、例題分析:

D想想有幾個(gè)？PCBA11精品ppt

例3、路旁有一條河，彼岸有電塔AB，只有測(cè)角器和皮尺作測(cè)量工具，能否求出電視塔頂與道路的距離？解：在路邊取一點(diǎn)C，使BC與道邊所成水平角等于90°，再在道邊取一點(diǎn)D，使水平角∠CDB等于45°，測(cè)得C、D的距離等于am.BAC90°D⌒45°三垂線定理三、例題分析：12精品pptBAC90°D⌒45°

∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC

∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=am∴BC=am，答：電塔頂與道路的距離是

因此斜線AC的長度就是電塔頂與道路的距離。三垂線定理測(cè)出仰角∠ACB=θ,于是有AC=θ13精品ppt(1)已知:PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn).求證：PO⊥BD，PC⊥BD證明:ABCD為正方形O為BD的中點(diǎn)

AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD

同理，AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影PC⊥BD四、課堂練習(xí):三垂線定理POABCD14精品pptPMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMBC⊥AM證明:

PB=PCM是BC的中點(diǎn)PM

⊥BCPA⊥平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影三垂線定理15精品ppt

1、三垂線定理五、課堂小結(jié)(3)操作程序分三個(gè)步驟——“一垂,二射,三